Problèmes sur les pourcentages et les évolutions

Un pourcentage de pourcentage

Un lycée compte \(1\,200\) élèves. \(45\ \%\) d'entre eux sont en seconde, et \(30\ \%\) des élèves de seconde suivent l'option théâtre.

1. Calculer le nombre d'élèves de seconde.

   On prend \(45\ \%\) des \(1\,200\) élèves du lycée :

   $$ 1\,200 \times 0.45 = 540 $$

   $$ 540 \ \text{élèves de seconde} $$
2. Calculer le nombre d'élèves de seconde qui suivent l'option théâtre.

   Les \(30\ \%\) portent sur les \(540\) élèves de seconde, pas sur tout le lycée :

   $$ 540 \times 0.30 = 162 $$

   $$ 162 \ \text{élèves} $$
3. Exprimer en pourcentage la proportion que ces élèves de théâtre représentent dans l'ensemble du lycée.

   Les trois ensembles sont emboîtés : les proportions se multiplient.

   $$ p = 0.30 \times 0.45 = 0.135 $$

   On retrouve le même résultat avec les effectifs, \(\frac{162}{1\,200} = 0.135\).

   $$ p = 13.5 \ \% $$

Deux évolutions successives

Un article coûte \(80\ \text{€}\). Son prix augmente d'abord de \(25\ \%\), puis baisse de \(20\ \%\).

1. Calculer le prix après la hausse.

   Une hausse de \(25\ \%\) correspond au coefficient multiplicateur \(CM_1 = 1 + \frac{25}{100} = 1.25\) :

   $$ 80 \times 1.25 = 100 $$

   $$ 100 \ \text{€} $$
2. Calculer le prix après la baisse.

   La baisse de \(20\ \%\) s'applique au nouveau prix, \(100\ \text{€}\), avec le coefficient \(CM_2 = 1 - \frac{20}{100} = 0.8\) :

   $$ 100 \times 0.8 = 80 $$

   $$ 80 \ \text{€} $$
3. Déterminer le coefficient multiplicateur global, puis le taux d'évolution global.

   Les coefficients des évolutions successives se multiplient :

   $$ CM_{\text{global}} = 1.25 \times 0.8 = 1 $$

   $$ t = (CM_{\text{global}} - 1) \times 100 = (1 - 1) \times 100 = 0 $$

   $$ CM_{\text{global}} = 1 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} t = 0 \ \% $$

   Le prix est revenu à \(80\ \text{€}\) : ici, la baisse de \(20\ \%\) est exactement l'évolution réciproque de la hausse de \(25\ \%\).

4. Une hausse de \(25\ \%\) suivie d'une baisse de \(25\ \%\) laisserait-elle le prix inchangé ? Justifier par le coefficient multiplicateur global.

   La baisse de \(25\ \%\) a pour coefficient \(0.75\) :

   $$ CM_{\text{global}} = 1.25 \times 0.75 = 0.9375 $$

   Le coefficient global est inférieur à \(1\) : le prix baisse, et passerait de \(80\ \text{€}\) à \(80 \times 0.9375 = 75\ \text{€}\).

   $$ \text{Non} : t = (0.9375 - 1) \times 100 = - 6.25 \ \% $$

Revenir au prix de départ

Le prix d'un billet de train passe de \(60\ \text{€}\) à \(75\ \text{€}\).

1. Calculer le taux d'évolution de ce prix.

   La valeur de départ est \(V_D = 60\), la valeur d'arrivée \(V_A = 75\) :

   $$ t = \frac{75 - 60}{60} \times 100 = \frac{15}{60} \times 100 $$

   $$ t = 25 \ \% $$
2. Quel taux d'évolution ramènerait le prix à \(60\ \text{€}\) ? Justifier par le coefficient multiplicateur.

   Le coefficient multiplicateur de la hausse vaut :

   $$ CM = \frac{75}{60} = 1.25 $$

   L'évolution réciproque a pour coefficient l'inverse de celui-ci :

   $$ CM' = \frac{1}{1.25} = 0.8 $$

   $$ t' = (0.8 - 1) \times 100 = - 20 $$

   On vérifie : \(75 \times 0.8 = 60\).

   $$ t' = - 20 \ \% $$

   Une baisse de \(20\ \%\), et non de \(25\ \%\) : elle porte sur \(75\ \text{€}\), une base plus grande que \(60\ \text{€}\).

3. Comparer les deux prix par leur différence, puis par leur rapport. Que dit chacune de ces comparaisons ?
   $$ 75 - 60 = 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{75}{60} = 1.25 $$

   La différence répond à « combien de plus ? », dans l'unité du prix ; le rapport répond à « combien de fois plus ? », sans unité.

   $$ \text{Le billet coûte} \ 15 \ \text{€} \ \text{de plus, soit} \ 1.25 \ \text{fois plus cher} $$

Retrouver un prix avant remise

Pendant les soldes, un vélo est affiché à \(272\ \text{€}\) après une remise de \(15\ \%\). Pour retrouver le prix d'avant les soldes, Léo augmente ce prix de \(15\ \%\) :

1. Léo vérifie son résultat en appliquant la remise de \(15\ \%\) à \(312.80\ \text{€}\). Calculer ce qu'il obtient.

   Une remise de \(15\ \%\) correspond au coefficient \(0.85\) :

   $$ 312.80 \times 0.85 = 265.88 $$

   $$ 265.88 \ \text{€} \neq 272 \ \text{€} $$

   Léo ne retombe pas sur le prix affiché : son résultat est faux.

2. Expliquer l'erreur de Léo, à l'aide des coefficients multiplicateurs.

   La remise de \(15\ \%\) porte sur le prix d'avant les soldes, alors que Léo applique \(15\ \%\) à \(272\ \text{€}\), une autre base. Les deux coefficients ne se compensent pas :

   $$ 0.85 \times 1.15 = 0.9775 \neq 1 $$

   Pour annuler un coefficient de \(0.85\), il faut multiplier par son inverse \(\frac{1}{0.85} \approx 1.176\), soit une hausse d'environ \(17.6\ \%\), et non de \(15\ \%\).

3. Calculer le prix du vélo avant les soldes.

   Soit \(p\) le prix avant les soldes, en euros. Après la remise, il vaut \(272\ \text{€}\) :

   $$ 0.85 p = 272 $$

   $$ \frac{0.85 p}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.85}} = \frac{272}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.85}} $$

   $$ p = 320 \ \text{€} $$

   On vérifie : \(320 \times 0.85 = 272\).

4. On change d'article : après une hausse de \(8\ \%\), un casque coûte \(62.10\ \text{€}\). Calculer le prix du casque avant la hausse.

   Soit \(q\) le prix du casque avant la hausse, en euros. Le coefficient de la hausse vaut \(1.08\) :

   $$ 1.08 q = 62.10 $$

   $$ \frac{1.08 q}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{1.08}} = \frac{62.10}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{1.08}} $$

   $$ q = 57.50 \ \text{€} $$

   On vérifie : \(57.50 \times 1.08 = 62.10\).

Les adhérents d'un club

Un club de sport compte \(250\) adhérents, dont \(40\ \%\) de femmes. En un an, le nombre de femmes augmente de \(15\ \%\) et le nombre d'hommes baisse de \(10\ \%\).

1. Calculer le nombre de femmes et le nombre d'hommes au départ, puis un an plus tard.

   Au départ :

   $$ 250 \times 0.40 = 100 \ \text{femmes} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 250 - 100 = 150 \ \text{hommes} $$

   Un an plus tard, chaque effectif évolue avec son propre coefficient :

   $$ 100 \times 1.15 = 115 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 150 \times 0.90 = 135 $$

   $$ 115 \ \text{femmes} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 135 \ \text{hommes} $$
2. Le président annonce : « \(+\,15\ \%\) d'un côté, \(-\,10\ \%\) de l'autre, le club a gagné \(5\ \%\) d'adhérents. » Trancher, en calculant l'évolution du nombre total d'adhérents.

   Le club compte un an plus tard \(115 + 135 = 250\) adhérents :

   $$ t = \frac{250 - 250}{250} \times 100 = 0 $$

   $$ t = 0 \ \% $$

   Le nombre d'adhérents n'a pas changé : le président se trompe. Les deux taux ne portent pas sur le même effectif : \(15\ \%\) de \(100\) femmes font \(15\) adhérentes de plus, \(10\ \%\) de \(150\) hommes font \(15\) adhérents de moins. Des taux appliqués à des bases différentes ne s'additionnent pas.

3. Calculer la proportion de femmes dans ce même club un an plus tard.
   $$ p = \frac{115}{250} = 0.46 $$

   $$ p = 46 \ \% $$
4. Le journal local écrit : « la part des femmes a augmenté de \(6\ \%\) ». Comparer les deux proportions, \(40\ \%\) et \(46\ \%\), par leur différence puis par leur rapport, et dire ce qui ne va pas dans la phrase du journal.
   $$ 46 - 40 = 6 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{46}{40} = 1.15 $$

   La différence de deux pourcentages se compte en points : la part des femmes a gagné \(6\) points. Le rapport est un coefficient multiplicateur : la part des femmes a augmenté de \(15\ \%\).

   $$ + \, 6 \ \text{points, soit} \ + \, 15 \ \% $$

   Le journal a pris la différence pour un taux d'évolution.

5. L'année suivante, ce même club vise autant de femmes que d'hommes, avec toujours \(135\) hommes. Déterminer le taux d'évolution du nombre de femmes nécessaire, arrondi à \(0.1\ \%\).

   Il faudrait passer de \(115\) à \(135\) femmes :

   $$ t = \frac{135 - 115}{115} \times 100 = \frac{20}{115} \times 100 \approx 17.39 $$

   $$ t \approx 17.4 \ \% $$

La tablette qui rétrécit

Une tablette de chocolat change de format. Chaque carré pèse \(10 \ \text{g}\).

1. Le fabricant annonce une hausse de prix de \(5 \ \%\). Un client, voyant la masse baisser de \(10 \ \%\), estime que le prix au kilo a augmenté de \(5 + 10 = 15 \ \%\). Calculer le prix d'un carré avant et après, puis trancher.

   Les deux annonces sont exactes : \(2.40 \times 1.05 = 2.52\) et \(\frac{180}{200} = 0.9\). Un carré coûte :

   $$ \frac{2.40}{20} = 0.12 \ \text{€} \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} \frac{2.52}{18} = 0.14 \ \text{€} $$

   Un kilogramme compte toujours \(100\) carrés : le prix au kilo passe de \(12 \ \text{€}\) à \(14 \ \text{€}\).

   $$ t = \frac{14 - 12}{12} \times 100 \approx 16.7 $$

   $$ t \approx + 16.7 \ \% $$

   Le client sous-estime la hausse : les deux taux ne s'additionnent pas.

2. Le prix d'un produit est multiplié par \(CM_{\text{prix}}\) et sa masse par \(CM_{\text{masse}}\). Démontrer que son prix au kilo est multiplié par \(\frac{CM_{\text{prix}}}{CM_{\text{masse}}}\), puis vérifier sur cette même tablette.

   Notons \(P\) le prix de départ, en euros, et \(m\) la masse de départ, en kilogrammes. Le prix au kilo vaut \(\frac{P}{m}\) avant, et après :

   $$ \frac{P \times CM_{\text{prix}}}{m \times CM_{\text{masse}}} = \frac{P}{m} \times \frac{CM_{\text{prix}}}{CM_{\text{masse}}} $$

   $$ CM_{\text{kilo}} = \frac{CM_{\text{prix}}}{CM_{\text{masse}}} $$

   Vérification sur la tablette : \(\frac{1.05}{0.9} = \frac{7}{6}\), et le prix au kilo passe bien de \(12 \ \text{€}\) à \(12 \times \frac{7}{6} = 14 \ \text{€}\).

3. On change de produit : un paquet de biscuits de \(300 \ \text{g}\), vendu \(3 \ \text{€}\), passe à \(250 \ \text{g}\). Son fabricant s'interdit d'augmenter le prix au kilo de plus de \(8 \ \%\). Déterminer le prix maximal du nouveau paquet. Le prix affiché monte-t-il ou baisse-t-il ?

   La masse est multipliée par \(CM_{\text{masse}} = \frac{250}{300} = \frac{5}{6}\). D'après la question précédente, le prix au kilo ne doit pas être multiplié par plus de \(1.08\). Diviser par \(\frac{5}{6}\), c'est multiplier par \(\frac{6}{5}\) :

   $$ CM_{\text{prix}} \times \frac{6}{5} \leqslant 1.08 $$

   $$ CM_{\text{prix}} \times \frac{6}{5} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ \frac{5}{6}} \leqslant 1.08 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ \frac{5}{6}} $$

   $$ CM_{\text{prix}} \leqslant 0.9 $$

   Le nouveau prix ne dépasse pas \(3 \times 0.9 = 2.70 \ \text{€}\).

   $$ 2.70 \ \text{€} \ \text{au plus : le prix affiché baisse d'au moins} \ 10 \ \% $$

   Vérification : le kilo coûtait \(\frac{3}{0.3} = 10 \ \text{€}\) ; à \(2.70 \ \text{€}\) les \(250 \ \text{g}\), il coûte \(\frac{2.70}{0.25} = 10.80 \ \text{€}\), et \(\frac{10.80}{10} = 1.08\).

4. On change encore de produit : un paquet de céréales de \(500 \ \text{g}\) garde son prix affiché, mais son fabricant veut augmenter le prix au kilo d'au moins \(12 \ \%\). Prouver qu'une baisse de masse de moins de \(10 \ \%\) n'y suffit pas, puis déterminer la masse maximale du nouveau paquet, au gramme près.

   Le prix ne change pas, \(CM_{\text{prix}} = 1\) : le prix au kilo est multiplié par \(\frac{1}{CM_{\text{masse}}}\).

   Une baisse de masse de moins de \(10 \ \%\) donne \(CM_{\text{masse}} > 0.9\). La fonction inverse est décroissante sur \(\bigl] 0 \ ; \ + \infty \bigr[\) :

   $$ \frac{1}{CM_{\text{masse}}} < \frac{1}{0.9} \approx 1.111 $$

   Le prix au kilo augmente alors de moins de \(11.2 \ \%\).

   $$ \text{Une baisse de masse de moins de} \ 10 \ \% \ \text{ne suffit pas} $$

   Soit \(m\) la masse du nouveau paquet, en grammes. Le prix au kilo est multiplié par \(\frac{500}{m}\) :

   $$ \frac{500}{m} \geqslant 1.12 $$

   $$ \frac{500}{m} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ m} \geqslant 1.12 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ m} \hspace{2em} (m > 0) $$

   $$ 500 \geqslant 1.12 m $$

   $$ \frac{500}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{1.12}} \geqslant \frac{1.12 m}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{1.12}} $$

   $$ m \leqslant \frac{500}{1.12} \approx 446.4 $$

   $$ m = 446 \ \text{g} \ \text{au plus} $$

   Vérification : \(\frac{500}{446} \approx 1.121\) convient, \(\frac{500}{447} \approx 1.119\) ne convient pas. Le paquet perd alors \(54 \ \text{g}\), soit \(10.8 \ \%\) de sa masse.

L'élection des délégués

Dans une classe, chaque votant a choisi l'un des trois candidats. L'ENT affiche les résultats en pourcentage des votants, arrondis à l'unité.

1. Hugo remarque que les trois pourcentages ne font pas \(100 \ \%\), et accuse l'ENT d'avoir perdu une voix. Montrer par un exemple que trois pourcentages arrondis peuvent faire \(99 \ \%\) sans qu'aucune voix ne manque.

   Avec trois votants qui choisissent chacun un candidat différent, chaque candidat obtient :

   $$ \frac{1}{3} \approx 33.3 \ \% $$

   Chaque score s'arrondit à \(33 \ \%\), et \(33 + 33 + 33 = 99\).

   $$ 99 \ \% \ \text{sans aucune voix perdue} $$

   Chaque arrondi retire environ \(0.3\) point, et les trois écarts s'ajoutent.

2. Malo a-t-il pu n'obtenir qu'une seule voix ? Justifier.

   Notons \(n\) le nombre de votants. Un score arrondi à \(15 \ \%\) est compris entre \(14.5 \ \%\), inclus, et \(15.5 \ \%\), exclu. Avec une seule voix :

   $$ 0.145 \leqslant \frac{1}{n} < 0.155 $$

   On multiplie par \(n > 0\) :

   $$ 0.145 n \leqslant 1 < 0.155 n $$

   $$ n \leqslant \frac{1}{0.145} \approx 6.90 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} n > \frac{1}{0.155} \approx 6.45 $$

   Aucun entier n'est compris entre \(6.45\) et \(6.90\).

   $$ \text{Non : Malo a obtenu au moins deux voix} $$

   Vérification : avec \(6\) votants, une voix fait \(\frac{1}{6} \approx 16.7 \ \%\) ; avec \(7\), elle fait \(\frac{1}{7} \approx 14.3 \ \%\). Zéro voix ferait \(0 \ \%\).

3. En déduire le nombre minimal de votants, puis vérifier qu'il convient aussi pour Inès et pour Hugo.

   Malo a obtenu \(k \geqslant 2\) voix, et \(\frac{k}{n} < 0.155\), donc :

   $$ n > \frac{k}{0.155} \geqslant \frac{2}{0.155} \approx 12.9 $$

   Il y a au moins \(13\) votants. Avec \(13\) votants, \(6\) voix pour Inès, \(5\) pour Hugo et \(2\) pour Malo :

   $$ \frac{6}{13} \approx 46.15 \ \% \hspace{2em} \frac{5}{13} \approx 38.46 \ \% \hspace{2em} \frac{2}{13} \approx 15.38 \ \% $$

   Les trois scores s'arrondissent à \(46 \ \%\), \(38 \ \%\) et \(15 \ \%\), et \(6 + 5 + 2 = 13\).

   $$ 13 \ \text{votants au minimum} $$
4. La classe compte \(35\) élèves, et plus de la moitié d'entre eux a voté. Retrouver le nombre de votants et les voix de chaque candidat, puis prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité. On pourra compléter ce tableau, qui donne les nombres de votants possibles selon les voix de Malo.

   Voix de Malo \(k\)	\(\frac{k}{0.155} < n \leqslant \frac{k}{0.145}\)	Votants \(n\) possibles
   \(2\)	\(12.90 < n \leqslant 13.79\)	\(13\)
   \(3\)
   \(4\)
   \(5\)
   \(6\)

   Les bornes sont arrondies au centième ; aucun entier n'en est assez proche pour changer la dernière ligne.

   Voix de Malo \(k\)	\(\frac{k}{0.155} < n \leqslant \frac{k}{0.145}\)	Votants \(n\) possibles
   \(2\)	\(12.90 < n \leqslant 13.79\)	\(13\)
   \(3\)	\(19.35 < n \leqslant 20.69\)	\(20\)
   \(4\)	\(25.81 < n \leqslant 27.59\)	\(26\) ou \(27\)
   \(5\)	\(32.26 < n \leqslant 34.48\)	\(33\) ou \(34\)
   \(6\)	\(38.71 < n \leqslant 41.38\)	plus de \(35\)

   Si Malo a \(6\) voix ou plus, \(n > \frac{6}{0.155} \approx 38.7\) : plus d'élèves que la classe n'en compte. Plus de la moitié de la classe a voté, donc \(n \geqslant 18\) : il reste \(20\), \(26\), \(27\), \(33\) et \(34\) votants. On cherche les voix \(h\) de Hugo, dont le score s'arrondit à \(38 \ \%\) :

   Votants \(n\)	\(0.375 n \leqslant h < 0.385 n\)	Voix de Hugo \(h\)
   \(20\)	\(7.5 \leqslant h < 7.7\)	aucune
   \(26\)	\(9.75 \leqslant h < 10.01\)	\(10\)
   \(27\)	\(10.125 \leqslant h < 10.395\)	aucune
   \(33\)	\(12.375 \leqslant h < 12.705\)	aucune
   \(34\)	\(12.75 \leqslant h < 13.09\)	\(13\)

   Restent \(26\) et \(34\) votants. Inès a \(i\) voix, avec \(0.455 n \leqslant i < 0.465 n\) :

   $$ n = 34 : \ 15.47 \leqslant i < 15.81 \hspace{2em} \text{aucune valeur} $$

   $$ n = 26 : \ 11.83 \leqslant i < 12.09 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} i = 12 $$

   Seul \(n = 26\) convient, avec \(4\) voix pour Malo, et \(12 + 10 + 4 = 26\).

   $$ 26 \ \text{votants : Inès} \ 12 \ \text{voix, Hugo} \ 10 \ \text{voix, Malo} \ 4 \ \text{voix} $$

   Vérification : \(\frac{12}{26} \approx 46.15 \ \%\), \(\frac{10}{26} \approx 38.46 \ \%\) et \(\frac{4}{26} \approx 15.38 \ \%\).