Problèmes sur les pourcentages et les statistiques

Tableau de variations sur des prix

On souhaite établir des statistiques sur diverses variations de prix.

1. Compléter le tableau suivant.

   Prix avant \(\bigl[\text{€}\bigr]\)	Taux \(\bigl[\%\bigr]\)	Coefficient multiplicateur	Prix après \(\bigl[\text{€}\bigr]\)	Diminution / Augmentation ?
   $$ 20 $$			$$ 28 $$	$$ \nearrow $$
   		$$ 1.8 $$	$$ 36 $$
   	$$ +19.6 $$		$$ 119.6 $$
   	$$ -20 $$		$$ 250 $$
   $$ 2 \ 400 $$			$$ 1 \ 800 $$
   $$ 854 $$		$$ 0.24 $$

   Trois relations suffisent à remplir chaque ligne :

   $$ \text{coefficient} = \frac{\text{prix après}}{\text{prix avant}} \hspace{2em} \text{taux} = (\text{coefficient} - 1) \times 100 \hspace{2em} \text{prix avant} = \frac{\text{prix après}}{\text{coefficient}} $$

   Par exemple, pour la deuxième ligne : \(\frac{36}{1.8} = 20\) et \((1.8 - 1) \times 100 = +80\). Pour la quatrième, un taux de \(-20 \ \%\) donne le coefficient \(0.8\), puis \(\frac{250}{0.8} = 312.5\).

   Prix avant \(\bigl[\text{€}\bigr]\)	Taux \(\bigl[\%\bigr]\)	Coefficient multiplicateur	Prix après \(\bigl[\text{€}\bigr]\)	Diminution / Augmentation ?
   $$ 20 $$	$$ +40 $$	$$ 1.4 $$	$$ 28 $$	$$ \nearrow $$
   $$ 20 $$	$$ +80 $$	$$ 1.8 $$	$$ 36 $$	$$ \nearrow $$
   $$ 100 $$	$$ +19.6 $$	$$ 1.196 $$	$$ 119.6 $$	$$ \nearrow $$
   $$ 312.5 $$	$$ -20 $$	$$ 0.8 $$	$$ 250 $$	$$ \searrow $$
   $$ 2 \ 400 $$	$$ -25 $$	$$ 0.75 $$	$$ 1 \ 800 $$	$$ \searrow $$
   $$ 854 $$	$$ -76 $$	$$ 0.24 $$	$$ 204.96 $$	$$ \searrow $$

   Un coefficient supérieur à \(1\) traduit une augmentation, un coefficient inférieur à \(1\) une diminution.

Le meilleur marqueur de la NBA

Lebron James est le meilleur marqueur de l'histoire de la NBA. Au moment de battre le record, il avait marqué en tout \(40 \ 474\) points dans sa carrière.

Voici ses statistiques de tirs, tous tirs confondus pendant le jeu \((FG)\) et à 3 points \((3pt)\) :

Il a réussi \(N_{FG}\) paniers pendant le jeu, dont \(N_{3pt}\) paniers à 3 points. Les pourcentages étant arrondis, les résultats seront des valeurs approchées.

1. Calculer le nombre de paniers réussis pendant le jeu, puis le nombre de paniers à 3 points réussis.

   Le pourcentage de réussite s'applique au nombre de tirs tentés :

   $$ N_{FG} = 29 \ 313 \times \frac{50.6}{100} \approx 14 \ 832.4 $$

   $$ N_{FG} \approx 14 \ 832 \ \text{paniers} $$

   Et de même pour les paniers à 3 points :

   $$ N_{3pt} = 6 \ 926 \times \frac{34.8}{100} \approx 2 \ 410.2 $$

   $$ N_{3pt} \approx 2 \ 410 \ \text{paniers} $$
2. Parmi ces paniers réussis pendant le jeu, en déduire le nombre de paniers à 2 points.

   On note \(N_{2pt}\) le nombre de paniers à 2 points réussis. Un panier réussi pendant le jeu vaut 2 ou 3 points :

   $$ N_{FG} = N_{2pt} + N_{3pt} $$

   $$ N_{2pt} = N_{FG} - N_{3pt} $$

   $$ N_{2pt} \approx 14 \ 832 - 2 \ 410 $$

   $$ N_{2pt} \approx 12 \ 422 \ \text{paniers} $$
3. On appelle \(P_{FG}\) le nombre de points marqués pendant le jeu. Avec les valeurs trouvées aux questions précédentes, effectuer le calcul suivant :
   $$ P_{FG} = 2 \times N_{2pt} + 3 \times N_{3pt} $$

   En déduire le nombre de lancers francs \(N_{FT}\) qu'il a réussis pendant sa carrière.

   $$ P_{FG} \approx 2 \times 12 \ 422 + 3 \times 2 \ 410 $$

   $$ P_{FG} \approx 32 \ 074 \ \text{points} $$

   Le total des points \(P_T = 40 \ 474\) est la somme des points marqués pendant le jeu et des points marqués sur lancers francs \(P_{FT}\) :

   $$ P_T = P_{FG} + P_{FT} $$

   $$ P_{FT} = P_T - P_{FG} $$

   $$ P_{FT} \approx 40 \ 474 - 32 \ 074 = 8 \ 400 \ \text{points} $$

   Un lancer franc réussi vaut 1 point, donc :

   $$ N_{FT} \approx 8 \ 400 \ \text{lancers francs} $$

Moyenne simple ou moyenne coefficientée

Un élève a obtenu la série de notes suivante au baccalauréat, avec les coefficients indiqués :

1. Calculer la moyenne de ces six notes sans tenir compte des coefficients.

   On additionne les six notes et on divise par leur nombre :

   $$ M_A = \frac{14 + 13 + 10 + 15.5 + 8 + 19}{6} = \frac{79.5}{6} $$

   $$ M_A = 13.25 $$
2. Calculer à présent la moyenne coefficientée de ces mêmes notes.

   Chaque coefficient joue le rôle d'un effectif : on divise par la somme des coefficients, \(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5 = 10\).

   $$ M = \frac{1 \times 14 + 1 \times 13 + 1 \times 10 + 1 \times 15.5 + 1 \times 8 + 5 \times 19}{10} = \frac{155.5}{10} $$

   $$ M = 15.55 $$
3. Laquelle des deux moyennes est la plus avantageuse pour cet élève ? Expliquer pourquoi.

   La moyenne coefficientée est la plus avantageuse : \(15.55 > 13.25\).

   Sa meilleure note, \(19\) en spécialité, pèse cinq fois plus que les autres et tire la moyenne vers le haut. Un élève dont la spécialité serait la plus faible note aurait l'effet inverse.

Statistiques de taille

On a relevé la taille \(T\), en centimètres, de \(1 \ 000\) individus. Les résultats sont regroupés en classes :

1. Calculer une valeur approchée de la taille moyenne de cet échantillon.

   On remplace chaque classe par son centre : \(155\), \(165\), \(175\), \(185\) et \(195\). La moyenne pondérée par les effectifs vaut :

   $$ \overline{x} = \frac{267 \times 155 + 340 \times 165 + 250 \times 175 + 82 \times 185 + 61 \times 195}{1 \ 000} $$

   $$ \overline{x} = \frac{168 \ 300}{1 \ 000} $$

   $$ \overline{x} \approx 168.3 \ \text{cm} $$

   C'est une valeur approchée : on suppose les tailles réparties régulièrement autour du centre de chaque classe.

2. Déterminer la classe qui contient la médiane, puis celles qui contiennent le premier et le troisième quartile. Interpréter par une phrase.

   On calcule les effectifs cumulés croissants :

   Taille \(\bigl[\text{cm}\bigr]\)	$$ 150 < T \leqslant 160 $$	$$ 160 < T \leqslant 170 $$	$$ 170 < T \leqslant 180 $$	$$ 180 < T \leqslant 190 $$	$$ 190 < T \leqslant 200 $$
   Effectif cumulé	$$ 267 $$	$$ 607 $$	$$ 857 $$	$$ 939 $$	$$ 1 \ 000 $$

   Avec \(n = 1 \ 000\) : \(Q_1\) est la \(250\)-ième valeur, la médiane la moyenne des \(500\)-ième et \(501\)-ième, \(Q_3\) la \(750\)-ième.

   $$ Q_1 \in \bigl] 150 \ ; \ 160 \bigr] \hspace{2em} M \in \bigl] 160 \ ; \ 170 \bigr] \hspace{2em} Q_3 \in \bigl] 170 \ ; \ 180 \bigr] $$

   Au moins un quart des individus mesure \(160 \ \text{cm}\) ou moins, au moins la moitié mesure \(170 \ \text{cm}\) ou moins, et au moins un quart mesure plus de \(170 \ \text{cm}\).

3. Calculer une valeur approchée de l'écart-type de cette série, puis interpréter ce résultat.

   On garde les centres des classes et la moyenne \(\overline{x} = 168.3\) :

   $$ \mathrm{Var}(x) = \frac{267 \times (155 - 168.3)^2 + 340 \times (165 - 168.3)^2 + 250 \times (175 - 168.3)^2 + 82 \times (185 - 168.3)^2 + 61 \times (195 - 168.3)^2}{1 \ 000} $$

   $$ \mathrm{Var}(x) = \frac{47 \ 229.63 + 3 \ 702.6 + 11 \ 222.5 + 22 \ 868.98 + 43 \ 486.29}{1 \ 000} = \frac{128 \ 510}{1 \ 000} = 128.51 $$

   $$ \sigma = \sqrt{128.51} $$

   $$ \sigma \approx 11.3 \ \text{cm} $$

   Les tailles s'écartent de la moyenne de \(168.3 \ \text{cm}\) d'environ \(11 \ \text{cm}\), en moyenne.

Le bonus accordé aux élèves

Un professeur propose un exercice bonus sur un contrôle noté sur \(20\). L'énoncé est :

1. Un élève a obtenu \(12\). Calculer sa note avec chacun des deux bonus.

   Augmenter de \(10 \ \%\), c'est multiplier par \(1.1\) :

   $$ 12 \times 1.1 = 13.2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 12 + 2 = 14 $$

   $$ 13.2 \ \text{avec les} \ 10 \ \% \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 14 \ \text{avec les} \ 2 \ \text{points} $$
2. Pour une note \(n\) quelconque, déterminer quel bonus il faut répondre.

   Le bonus de \(10 \ \%\) rapporte \(0.1 \times n\) points. Il ne dépasse les \(2\) points que si :

   $$ 0.1 \times n > 2 $$

   $$ \frac{0.1 \times n}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.1}} > \frac{2}{\textcolor{rgb(93 183 129)}{0.1}} $$

   $$ n > 20 $$

   C'est impossible sur un contrôle noté sur \(20\) ; pour \(n = 20\) les deux bonus rapportent autant.

   Il faut donc répondre le bonus de \(2\) points, jamais moins avantageux.

Le temps d'un jeune devant son écran

Voici les résultats d'une enquête sur le temps que passent par jour, en moyenne, les jeunes de 13 à 19 ans devant un écran :

1. Calculer le taux d'évolution de chacune des deux séries entre 2010 et 2020.

   On convertit d'abord le temps d'écran en minutes : \(2\text{h}40 = 160 \ \text{min}\) et \(4\text{h}00 = 240 \ \text{min}\).

   $$ t_{\text{écran}} = \frac{240 - 160}{160} = \frac{80}{160} = 0.5 $$

   Et pour le temps de concentration :

   $$ t_{\text{concentration}} = \frac{16 - 40}{40} = \frac{- 24}{40} = - 0.6 $$

   $$ t_{\text{écran}} = + 50 \ \% \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} t_{\text{concentration}} = - 60 \ \% $$
2. Peut-on en déduire que les écrans sont la cause de la baisse de concentration ? Justifier.

   Non. Les deux séries évoluent en même temps, en sens contraire, mais cela ne prouve pas que l'une provoque l'autre.

   D'autres facteurs ont pu changer pendant ces dix ans (sommeil, notifications, rythme de vie), et l'enquête ne permet pas de les séparer : elle montre une évolution simultanée, pas un lien de cause à effet.

La note effacée

Léa a eu cinq notes ce trimestre. Sur son relevé, l'une d'elles est illisible : \(9\) ; \(14\) ; \(11\) ; \(x\) ; \(15\). Le logiciel de la classe affiche pourtant sa moyenne : \(12\).

1. Retrouver la note effacée \(x\).

   La moyenne des cinq notes vaut \(12\) :

   $$ \frac{9 + 14 + 11 + x + 15}{5} = 12 $$

   $$ \frac{49 + x}{5} \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ 5} = 12 \textcolor{rgb(93 183 129)}{\times \ 5} $$

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{49} + x \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 60 $$

   $$ x = 60 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 49} $$

   $$ x = 11 $$
2. Le professeur ajoute un même bonus à chacune de ces cinq notes de Léa, et sa moyenne passe à \(13.5\). Retrouver ce bonus, puis la nouvelle médiane de Léa.

   Ajouter \(b\) à chacune des cinq notes ajoute \(5b\) à leur somme, donc \(\frac{5b}{5} = b\) à la moyenne :

   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{12} + b \overset{\textcolor{rgb(232 124 124)}{\Huge \curvearrowright}}{=} 13.5 $$

   $$ b = 13.5 \textcolor{rgb(232 124 124)}{- 12} $$

   $$ b = 1.5 $$

   Rangées dans l'ordre croissant, les notes de départ sont \(9\) ; \(11\) ; \(11\) ; \(14\) ; \(15\) : leur médiane est la troisième, \(11\). Le bonus décale toutes les notes sans changer leur ordre, donc la médiane augmente elle aussi de \(1.5\) :

   $$ M = 11 + 1.5 = 12.5 $$

Quel lycée réussit le mieux ?

Deux lycées présentent chacun \(300\) candidats au baccalauréat, dans la voie générale ou dans la voie technologique. Voici leurs résultats :

1. Calculer le taux de réussite global de chacun des deux lycées.

   Le lycée A a \(57 + 192 = 249\) reçus, le lycée B \(222 + 45 = 267\) reçus, sur \(300\) candidats chacun :

   $$ \frac{249}{300} = 0.83 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{267}{300} = 0.89 $$

   $$ \text{Lycée A} : 83 \ \% \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{Lycée B} : 89 \ \% $$
2. Pour ces deux mêmes lycées, calculer le taux de réussite dans chaque voie.

   Ce sont des fréquences conditionnelles : on se restreint aux candidats d'une voie, ligne par ligne.

   $$ \text{Lycée A} : \frac{57}{60} = 0.95 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{192}{240} = 0.8 $$

   $$ \text{Lycée B} : \frac{222}{240} = 0.925 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{45}{60} = 0.75 $$

   $$ \text{générale} : 95 \ \% \ (\text{A}) \ \text{contre} \ 92.5 \ \% \ (\text{B}) \hspace{2em} \text{technologique} : 80 \ \% \ (\text{A}) \ \text{contre} \ 75 \ \% \ (\text{B}) $$
3. Un journal classe le lycée B devant le lycée A ; le proviseur du lycée A affirme que son lycée fait mieux. Trancher, en expliquant d'où vient le désaccord.

   Les deux affirmations reposent sur des calculs justes. Mais dans chaque voie, le lycée A réussit mieux que le lycée B.

   Le taux global mélange deux publics : les candidats de la voie technologique, où la réussite est plus faible dans les deux lycées, forment \(\frac{240}{300} = 80 \ \%\) des candidats du lycée A, contre \(\frac{60}{300} = 20 \ \%\) de ceux du lycée B. C'est cette composition qui fait baisser le taux global du lycée A.

   À voie égale, c'est donc le proviseur du lycée A qui a raison : le classement du journal compare deux populations qui ne se ressemblent pas.

Le parking de covoiturage

Cinq collègues habitent le long d'une même route, aux points kilométriques \(0\), \(2\), \(3\), \(7\) et \(13\). Chaque matin, chacun rejoint en voiture un parking de covoiturage placé au bord de cette route, au point kilométrique \(a\).

1. Pour que le total des kilomètres parcourus jusqu'au parking soit le plus petit possible, Lucas propose de placer le parking à la moyenne des cinq positions, Emma à leur médiane. Calculer ce total dans les deux cas.

   La moyenne vaut \(\frac{0 + 2 + 3 + 7 + 13}{5} = \frac{25}{5} = 5\). Les cinq positions sont rangées : la médiane est la troisième, \(3\). Un collègue au point \(x\) parcourt \(|x - a|\) kilomètres :

   $$ a = 5 : \ 5 + 3 + 2 + 2 + 8 = 20 $$

   $$ a = 3 : \ 3 + 1 + 0 + 4 + 10 = 18 $$

   $$ 20 \ \text{km avec la moyenne} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 18 \ \text{km avec la médiane} $$
2. Prouver qu'aucun emplacement ne fait mieux que la médiane. On pourra regrouper les collègues des points \(0\) et \(13\), puis ceux des points \(2\) et \(7\).

   Pour deux collègues aux points \(x\) et \(y\), avec \(x < y\), la somme \(|x - a| + |y - a|\) est la longueur du trajet de \(x\) à \(y\) qui passe par \(a\) :

   Si \(a\) est entre \(x\) et \(y\) : \((a - x) + (y - a) = y - x\).

   Si \(a < x\) : \((x - a) + (y - a) = y - x + 2(x - a)\), qui dépasse \(y - x\) ; de même si \(a > y\).

   Donc \(|x - a| + |y - a| \geqslant y - x\), avec égalité seulement si \(a\) est entre \(x\) et \(y\). Pour tout emplacement \(a\) :

   $$ |0 - a| + |13 - a| \geqslant 13 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} |2 - a| + |7 - a| \geqslant 5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} |3 - a| \geqslant 0 $$

   En additionnant :

   $$ |0 - a| + |2 - a| + |3 - a| + |7 - a| + |13 - a| \geqslant 13 + 5 + 0 = 18 $$

   Les trois inégalités ne sont des égalités que si \(a = 3\).

   $$ \text{total minimal} : 18 \ \text{km, atteint seulement au point} \ 3 $$
3. Un sixième collègue s'installe au point kilométrique \(9\). Trouver tous les emplacements qui rendent alors le total minimal. La moyenne et la médiane des six positions en font-elles partie ?

   On regroupe les points \(0\) et \(13\), \(2\) et \(9\), \(3\) et \(7\) :

   $$ \text{total} \geqslant 13 + 7 + 4 = 24 $$

   L'égalité a lieu lorsque \(a\) est à la fois entre \(0\) et \(13\), entre \(2\) et \(9\), et entre \(3\) et \(7\), c'est-à-dire entre \(3\) et \(7\).

   $$ a \in \bigl[ 3 \ ; \ 7 \bigr] : \text{total minimal de} \ 24 \ \text{km} $$

   La médiane vaut \(\frac{3 + 7}{2} = 5\) et la moyenne \(\frac{34}{6} \approx 5.67\) : toutes deux en font partie. Vérification pour \(a = 5\) : \(5 + 3 + 2 + 2 + 4 + 8 = 24\).

4. On revient aux cinq collègues. Pour pénaliser les longs trajets, on additionne désormais les carrés des distances : \(f(a) = (a - 0)^2 + (a - 2)^2 + (a - 3)^2 + (a - 7)^2 + (a - 13)^2\). Vérifier que \(f(a) = 5(a - 5)^2 + 106\), puis trouver l'emplacement qui rend \(f(a)\) minimal. Quel indicateur statistique ce minimum permet-il de calculer ?

   On développe chaque carré :

   $$ f(a) = a^2 + (a^2 - 4a + 4) + (a^2 - 6a + 9) + (a^2 - 14a + 49) + (a^2 - 26a + 169) $$

   $$ f(a) = 5a^2 - 50a + 231 $$

   Et de l'autre côté :

   $$ 5(a - 5)^2 + 106 = 5(a^2 - 10a + 25) + 106 = 5a^2 - 50a + 231 $$

   Un carré est positif ou nul, et \(5(a - 5)^2\) ne s'annule que pour \(a = 5\) :

   $$ f(a) \geqslant 106 = f(5) $$

   $$ a = 5 : \text{la moyenne, avec} \ f(5) = 106 $$

   \(f(5)\) est la somme des carrés des écarts à la moyenne : \(\frac{106}{5} = 21.2\) est la variance des cinq positions, et \(\sqrt{21.2} \approx 4.6 \ \text{km}\) leur écart-type. La médiane rend minimale la somme des distances, la moyenne celle de leurs carrés.

L'attente aux urgences

Un journal a relevé le temps d'attente de \(200\) patients aux urgences d'un hôpital, avant leur prise en charge par un médecin. Il publie ce graphique.

1. Sur ce graphique, la barre des attentes de \(1\) h à \(2\) h est la plus haute. Expliquer pourquoi il trompe le lecteur, puis tracer le véritable histogramme, où la hauteur de chaque rectangle est le nombre de patients par tranche de \(30\) minutes.

   Les quatre barres ont la même largeur, alors que les classes n'ont pas la même amplitude : \(30\) min pour les deux premières, \(60\) min pour la troisième, \(120\) min pour la dernière. Dans un histogramme, c'est l'aire d'un rectangle qui représente l'effectif.

   La classe \(\bigl[ 60 \ ; \ 120 \bigr[\) compte \(2\) tranches de \(30\) min, la classe \(\bigl[ 120 \ ; \ 240 \bigr[\) en compte \(4\) :

   $$ \frac{40}{1} = 40 \hspace{2em} \frac{50}{1} = 50 \hspace{2em} \frac{60}{2} = 30 \hspace{2em} \frac{50}{4} = 12.5 $$

   $$ \text{les attentes de} \ 30 \ \text{min à} \ 1 \ \text{h sont les plus fréquentes, à durée égale} $$
2. Estimer le temps d'attente moyen de ces \(200\) patients.

   On remplace chaque classe par son centre, \(15\), \(45\), \(90\) et \(180\) :

   $$ \overline{x} = \frac{40 \times 15 + 50 \times 45 + 60 \times 90 + 50 \times 180}{200} = \frac{600 + 2 \ 250 + 5 \ 400 + 9 \ 000}{200} = \frac{17 \ 250}{200} $$

   $$ \overline{x} \approx 86 \ \text{min} $$

   Soit près d'une heure et demie. C'est une valeur approchée : on suppose les attentes réparties régulièrement dans chaque classe.

3. Le journal titre : « La moitié des patients attend plus d'une heure et demie. » En supposant les attentes réparties régulièrement dans chaque classe, estimer la médiane, puis dire d'où le journal a pu tirer son titre.

   Les effectifs cumulés valent \(40\) à \(30\) min, \(90\) à \(60\) min, \(150\) à \(120\) min et \(200\) à \(240\) min. La médiane sépare les \(100\) premiers patients des \(100\) derniers : elle est dans la classe \(\bigl[ 60 \ ; \ 120 \bigr[\), au \(10\)^e de ses \(60\) patients.

   Les \(60\) patients de cette classe se répartissent régulièrement sur \(60\) min :

   $$ M \approx 60 + \frac{100 - 90}{60} \times 60 = 70 $$

   $$ M \approx 70 \ \text{min} $$

   La moitié des patients attend donc plus de \(1\) h \(10\) min environ, pas plus d'une heure et demie. Le journal a sans doute pris la moyenne, près de \(86\) min, pour la médiane : les longues attentes de la dernière classe tirent la moyenne vers le haut.

4. Les données regroupées ne donnent pas la médiane exacte. Combien de patients de la classe \(\bigl[ 60 \ ; \ 120 \bigr[\) devraient, au minimum, avoir attendu plus d'une heure et demie pour que le titre du journal soit vrai ? Juger si c'est vraisemblable.

   Le titre est vrai si au moins \(100\) patients sur \(200\) ont attendu plus de \(90\) min. Les \(90\) patients des deux premières classes ont attendu moins d'une heure ; les \(50\) de la dernière, au moins \(2\) h. Il manque \(100 - 50 = 50\) patients, à trouver dans la classe \(\bigl[ 60 \ ; \ 120 \bigr[\).

   $$ 50 \ \text{patients sur les} \ 60 \ \text{de cette classe, au minimum} $$

   Réparties régulièrement, les attentes de cette classe n'en placeraient que la moitié, \(30\) patients, au-delà de \(90\) min. Il faudrait que \(5\) patients sur \(6\) de la classe aient attendu plus d'une heure et demie : ce n'est pas impossible, mais rien dans le relevé ne l'indique, et le titre n'est pas justifié.