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Deux grandeurs qui varient ensemble ne sont pas toujours proportionnelles : on apprend à le voir, puis à calculer.
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Reconnaître une situation de proportionnalité
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Compléter un tableau de proportionnalité
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Choisir une procédure : multiplier, additionner ou revenir à l'unité
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Lire une situation de proportionnalité sur un graphique
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Utiliser l'échelle d'un plan ou d'une carte
À la boulangerie, \(3\) croissants coûtent \(3.60 \ \text{€}\). Cinq croissants en coûtent \(6.00 \ \text{€}\).
Le prix d'un croissant ne change pas : \(1.20 \ \text{€}\).
Deux fois plus de croissants, deux fois plus cher : c'est une situation de proportionnalité.
Deux grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si, en multipliant les mesures de l'une par un même nombre non nul, on obtient les mesures de l'autre.
Exemple : le prix des pommes et leur masse.
Reconnaître une situation de proportionnalité
Toutes les situations ne relèvent pas de ce modèle : doubler l'une double-t-il l'autre ?
Situation |
Proportionnelle ? |
Pourquoi |
|---|---|---|
Le prix payé et la masse achetée |
Oui |
deux fois plus de marchandise coûte deux fois plus cher |
La distance parcourue et la durée, à vitesse constante |
Oui |
on multiplie toujours la durée par la même vitesse |
L'âge d'une personne et sa taille |
Non |
une personne deux fois plus âgée n'est pas deux fois plus grande |
Le prix d'un taxi, avec une prise en charge fixe |
Non |
à zéro kilomètre, on paie déjà la prise en charge |
Le côté d'un carré et son aire |
Non |
un côté doublé donne une aire quatre fois plus grande |
À zéro correspond toujours zéro : zéro kilo de pommes coûte zéro euro.
Le tableau de proportionnalité
Les mesures des deux grandeurs s'écrivent sur deux lignes.
Masse (kg) |
\(1\) |
\(2\) |
\(4\) |
\(6\) |
|---|---|---|---|---|
Prix (€) |
\(3\) |
\(6\) |
\(12\) |
\(18\) |
On passe d'une ligne à l'autre en multipliant par \(3\) : c'est le prix au kilo.
Les procédures de calcul
On choisit le chemin qui donne les calculs les plus simples.
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Multiplier par un même nombre
Si \(2 \ \text{kg}\) coûtent \(6 \text{ €}\), alors \(8 \ \text{kg}\) coûtent quatre fois plus, puisque \(8 = 2 \times 4\) :
$$ 6 \times 4 = 24 $$$$ 24 \text{ €} $$ -
Additionner deux situations connues
Si \(2 \ \text{kg}\) coûtent \(6 \text{ €}\) et \(4 \ \text{kg}\) coûtent \(12 \text{ €}\), alors \(6 \ \text{kg}\) coûtent :
$$ 6 + 12 = 18 $$$$ 18 \text{ €} $$Comme \(6 = 2 + 4\), on additionne les masses et les prix correspondants.
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Le retour à l'unité
On cherche ce que vaut une seule unité, puis on multiplie.
Si \(4 \ \text{kg}\) coûtent \(12 \text{ €}\), un kilo coûte :
$$ 12 \div 4 = 3 $$Alors \(7 \ \text{kg}\) coûtent :
$$ 3 \times 7 $$$$ 21 \text{ €} $$
Le produit en croix n'est pas au programme de sixième.
Représenter une situation de proportionnalité
Placés en points, les couples de mesures sont alignés avec l'origine.
Exemple : chaque colonne du tableau des pommes donne un point, la masse sur l'axe horizontal et le prix sur l'axe vertical.
Points non alignés, ou droite qui évite l'origine : la situation n'est pas proportionnelle.
Les échelles
Une échelle
L'échelle d'un plan indique par combien les distances réelles ont été divisées.
Une échelle de \(\frac{1}{100}\) signifie que \(1 \ \text{cm}\) sur le plan représente \(100 \ \text{cm}\) en réalité, soit \(1 \ \text{m}\).
Distances du plan et distances réelles sont proportionnelles.
Exemple : sur une carte à l'échelle \(\frac{1}{25 \ 000}\), deux villages sont distants de \(8 \ \text{cm}\). La distance réelle vaut :
soit :