Problèmes sur la proportionnalité

Les cahiers de la rentrée

Un lot de \(4\) cahiers identiques coûte \(6 \ \text{€}\).

1. Quel est le prix d'un cahier ?

   On revient à l'unité :

   $$ 6 \div 4 $$

   $$ 1.50 \ \text{€} $$
2. Combien coûtent \(10\) cahiers ?
   $$ 1.50 \times 10 $$

   $$ 15 \ \text{€} $$
3. Avec \(21 \ \text{€}\), combien de cahiers peut-on acheter ?

   Deux cahiers coûtent \(1.50 \times 2 = 3 \ \text{€}\). On cherche combien de fois \(3 \ \text{€}\) tient dans \(21 \ \text{€}\) :

   $$ 21 \div 3 = 7 $$

   On peut donc acheter \(7\) fois deux cahiers :

   $$ 7 \times 2 $$

   $$ 14 \text{ cahiers} $$

La recette de crêpes

Pour \(4\) personnes, une recette demande \(250 \ \text{g}\) de farine, \(2\) œufs et \(50 \ \text{cL}\) de lait.

1. Donner les quantités pour \(8\) personnes.

   Deux fois plus de personnes, donc deux fois plus de chaque ingrédient :

   $$ 500 \ \text{g} \hspace{2em} 4 \text{ œufs} \hspace{2em} 100 \ \text{cL} $$
2. Donner les quantités pour \(6\) personnes.

   On peut passer par \(2\) personnes, qui correspondent à la moitié de la recette : \(125 \ \text{g}\), \(1\) œuf et \(25 \ \text{cL}\).

   Puis on additionne les quantités pour \(4\) et pour \(2\) personnes, puisque \(6 = 4 + 2\) :

   $$ 375 \ \text{g} \hspace{2em} 3 \text{ œufs} \hspace{2em} 75 \ \text{cL} $$
3. Donner les quantités pour \(10\) personnes.

   Comme \(10 = 8 + 2\), on additionne les deux résultats déjà obtenus :

   $$ 500 + 125 = 625 \hspace{2em} 4 + 1 = 5 \hspace{2em} 100 + 25 = 125 $$

   $$ 625 \ \text{g} \hspace{2em} 5 \text{ œufs} \hspace{2em} 125 \ \text{cL} $$

La course en taxi

Un taxi facture une prise en charge de \(4 \ \text{€}\), puis \(2 \ \text{€}\) par kilomètre parcouru.

1. Calculer le prix d'une course de \(5 \ \text{km}\), puis d'une course de \(10 \ \text{km}\).
   $$ 4 + 2 \times 5 = 4 + 10 = 14 $$

   $$ 4 + 2 \times 10 = 4 + 20 = 24 $$

   $$ 14 \ \text{€} \quad \text{et} \quad 24 \ \text{€} $$
2. Le prix est-il proportionnel à la distance ? Justifier par un calcul.

   La course de \(10 \ \text{km}\) est deux fois plus longue que celle de \(5 \ \text{km}\). Si le prix était proportionnel, il devrait être deux fois plus élevé :

   $$ 14 \times 2 = 28 \hspace{2em} \text{alors que le prix réel est } 24 $$

   $$ \text{Non, ce n'est pas proportionnel} $$
3. Combien coûte une course de \(0 \ \text{km}\) ? En quoi cela confirme-t-il la réponse précédente ?

   Le client paie la prise en charge, même sans avancer :

   $$ 4 \ \text{€} $$

   Or dans une situation proportionnelle, à zéro correspond toujours zéro. La prise en charge, payée une seule fois, casse la proportionnalité.

La carte de randonnée

Une carte est à l'échelle \(\frac{1}{50 \ 000}\).

1. Deux refuges sont distants de \(6 \ \text{cm}\) sur la carte. Quelle est la distance réelle, en kilomètres ?

   Chaque centimètre de la carte représente \(50 \ 000 \ \text{cm}\) en réalité :

   $$ 6 \times 50 \ 000 = 300 \ 000 \ \text{cm} $$

   On convertit : \(100 \ 000 \ \text{cm}\) valent \(1 \ \text{km}\).

   $$ 3 \ \text{km} $$
2. Deux villages sont réellement distants de \(12 \ \text{km}\). Quelle distance les sépare sur la carte ?

   On raisonne à partir du résultat précédent : \(3 \ \text{km}\) correspondent à \(6 \ \text{cm}\), et \(12 = 3 \times 4\).

   $$ 6 \times 4 $$

   $$ 24 \ \text{cm} $$

Les travaux de peinture

Avec \(3\) litres de peinture, on recouvre \(36 \ \text{m}^2\) de mur.

1. Quelle surface recouvre un litre de peinture ?
   $$ 36 \div 3 $$

   $$ 12 \ \text{m}^2 $$
2. Quelle quantité de cette peinture faut-il pour recouvrir \(60 \ \text{m}^2\) ?
   $$ 60 \div 12 $$

   $$ 5 \text{ litres} $$
3. Quelle surface pourrait-on recouvrir avec \(7\) litres ?
   $$ 7 \times 12 $$

   $$ 84 \ \text{m}^2 $$
4. La peinture se vend en pots de \(2\) litres, à \(18 \ \text{€}\) le pot. Combien de pots faut-il acheter pour les \(60 \ \text{m}^2\), et quel sera le prix ?

   Il faut \(5\) litres. Deux pots ne donneraient que \(4\) litres : c'est insuffisant.

   $$ 3 \text{ pots} \ \longrightarrow \ 3 \times 2 = 6 \text{ litres} $$

   Il restera donc \(1\) litre inutilisé. Le prix vaut :

   $$ 3 \times 18 $$

   $$ 54 \ \text{€} $$

   Le nombre de pots ne s'obtient pas par une simple division : il faut arrondir au-dessus.

Le graphique des bonbons

Chez un confiseur, les bonbons se vendent au poids. Le graphique donne le prix payé pour quatre masses.

1. Sami affirme, en regardant le graphique, que le prix est proportionnel à la masse. A-t-il raison ? Justifier.

   Les trois premiers points sont alignés avec l'origine : \(100 \ \text{g}\) coûtent \(2 \ \text{€}\), et \(200 \ \text{g}\) puis \(300 \ \text{g}\) coûtent deux puis trois fois plus. Mais \(400 \ \text{g}\), quatre fois \(100 \ \text{g}\), devraient coûter :

   $$ 2 \times 4 = 8 $$

   Le graphique donne \(7 \ \text{€}\) : le dernier point n'est pas aligné avec les autres.

   $$ \text{Non, le prix n'est pas proportionnel à la masse} $$
2. Le confiseur explique qu'il fait une remise à partir de \(400 \ \text{g}\). Calculer le montant de cette remise pour \(400 \ \text{g}\).

   Sans remise, \(400 \ \text{g}\) coûteraient \(8 \ \text{€}\) :

   $$ 8 - 7 $$

   $$ 1 \ \text{€} \text{ de remise} $$

Le petit ou le grand paquet ?

Au supermarché, les mêmes céréales se vendent en deux formats : un paquet de \(300 \ \text{g}\) à \(2.70 \ \text{€}\), et un paquet de \(500 \ \text{g}\) à \(4.75 \ \text{€}\).

1. Calculer, pour chacun des deux paquets, le prix de \(100 \ \text{g}\) de céréales.

   Dans le petit paquet, il y a \(3\) fois \(100 \ \text{g}\) ; dans le grand, \(5\) fois :

   $$ 2.70 \div 3 = 0.90 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 4.75 \div 5 = 0.95 $$

   $$ \text{petit} : 0.90 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \text{grand} : 0.95 \ \text{€} $$
2. Lucie pense que le grand paquet est forcément le plus avantageux. A-t-elle raison ? Justifier.

   Non : \(100 \ \text{g}\) de céréales coûtent \(0.90 \ \text{€}\) dans le petit paquet et \(0.95 \ \text{€}\) dans le grand.

   $$ \text{le petit paquet est le plus avantageux} $$

   Le prix n'est pas proportionnel à la masse d'un format à l'autre : il faut comparer au même poids.

3. Pour la cantine de son centre de loisirs, Lucie doit acheter exactement \(1.5 \ \text{kg}\) de ces céréales, en paquets entiers et d'un seul format. Quel format doit-elle choisir, et combien économise-t-elle par rapport à l'autre ?

   \(1.5 \ \text{kg} = 1 \ 500 \ \text{g}\), soit \(5\) petits paquets ou \(3\) grands :

   $$ 5 \times 2.70 = 13.50 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 3 \times 4.75 = 14.25 $$

   $$ 14.25 - 13.50 = 0.75 $$

   $$ 5 \text{ petits paquets, soit } 0.75 \ \text{€} \text{ d'économie} $$

La menthe à l'eau

Léo prépare sa menthe à l'eau avec \(2\) doses de sirop pour \(7\) doses d'eau. Mia met \(3\) doses de sirop pour \(10\) doses d'eau.

1. Léo veut remplir une carafe de \(36\) doses qui ait le même goût que son verre. Combien de doses de sirop et combien de doses d'eau doit-il y verser ?

   Le verre de Léo compte \(2 + 7 = 9\) doses. La carafe en contient \(36 \div 9 = 4\) fois plus : il faut quatre fois plus de sirop et quatre fois plus d'eau.

   $$ 2 \times 4 = 8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 7 \times 4 = 28 $$

   $$ 8 \text{ doses de sirop} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 28 \text{ doses d'eau} $$

   Vérification : \(8 + 28 = 36\).

2. Lequel des deux verres a le plus le goût de menthe, celui de Léo ou celui de Mia ? Justifier.

   Le verre de Mia contient plus de sirop, mais aussi plus d'eau : on compare à quantité de sirop égale. \(6\) doses de sirop, ce sont trois verres de Léo ou deux verres de Mia :

   $$ \text{Léo} : \ 7 \times 3 = 21 \text{ doses d'eau} \hspace{2em} \text{Mia} : \ 10 \times 2 = 20 \text{ doses d'eau} $$

   Pour la même quantité de sirop, Mia met moins d'eau :

   $$ \text{Le verre de Mia a le plus le goût de menthe} $$
3. Mia veut que son verre ait exactement le goût de celui de Léo. Que doit-elle ajouter à son verre, et en quelle quantité ?

   Son verre est plus fort en menthe : elle doit ajouter de l'eau, en gardant ses \(3\) doses de sirop. Dans la recette de Léo, \(1\) dose de sirop va avec \(7 \div 2 = 3.5\) doses d'eau, donc \(3\) doses de sirop vont avec :

   $$ 3.5 \times 3 = 10.5 \text{ doses d'eau} $$

   $$ 10.5 - 10 = 0.5 $$

   $$ \text{Une demi-dose d'eau} $$

   Vérification : deux verres de Mia ainsi complétés font \(6\) doses de sirop pour \(21\) doses d'eau, exactement comme trois verres de Léo.

4. On revient aux deux verres de départ : Nina les verse tous les deux dans une même carafe. Son mélange a-t-il plus le goût de menthe que le verre de Léo ? Et que le verre de Mia ? Justifier.

   La carafe de Nina contient \(2 + 3 = 5\) doses de sirop et \(7 + 10 = 17\) doses d'eau.

   Face à Léo : pour \(10\) doses de sirop, Nina aurait \(17 \times 2 = 34\) doses d'eau, et Léo \(7 \times 5 = 35\). Nina met moins d'eau : son mélange est plus fort que celui de Léo.

   Face à Mia : pour \(15\) doses de sirop, Nina aurait \(17 \times 3 = 51\) doses d'eau, et Mia \(10 \times 5 = 50\). Nina met plus d'eau : son mélange est moins fort que celui de Mia.

   $$ \text{Plus fort que le verre de Léo, moins fort que celui de Mia} $$

   En mélangeant les deux verres, on obtient un goût compris entre les deux.

La course-poursuite

Tom part de la maison à pied à \(10\text{h}\) et parcourt \(4 \ \text{km}\) chaque heure. Sa sœur Léa part de la maison à \(10\text{h}30\), par le même chemin, à trottinette : elle parcourt \(6 \ \text{km}\) chaque heure. Le graphique donne la distance entre Tom et la maison selon l'heure.

1. Compléter le tableau des distances entre Léa et la maison, puis placer les points correspondants sur le graphique.

   Heure	$$ 10\text{h}30 $$	$$ 11\text{h} $$	$$ 11\text{h}30 $$	$$ 12\text{h} $$	$$ 12\text{h}30 $$
   Distance de Léa \((\text{km})\)

   Léa part à \(10\text{h}30\), et chaque demi-heure elle parcourt la moitié de \(6 \ \text{km}\), soit \(3 \ \text{km}\) :

   Heure	$$ 10\text{h}30 $$	$$ 11\text{h} $$	$$ 11\text{h}30 $$	$$ 12\text{h} $$	$$ 12\text{h}30 $$
   Distance de Léa \((\text{km})\)	$$ 0 $$	$$ 3 $$	$$ 6 $$	$$ 9 $$	$$ 12 $$

2. Tom affirme : « La distance entre Léa et la maison n'est pas proportionnelle à la durée écoulée depuis \(10\text{h}\). » A-t-il raison ? Et si l'on compte la durée écoulée depuis \(10\text{h}30\) ? Justifier.

   Depuis \(10\text{h}\) : au bout d'une heure, à \(11\text{h}\), Léa est à \(3 \ \text{km}\) ; au bout de deux heures, à \(12\text{h}\), elle est à \(9 \ \text{km}\), et non à \(3 \times 2 = 6 \ \text{km}\). Sur le graphique, ses points sont alignés, mais leur alignement ne passe pas par l'origine. Tom a raison.

   Depuis \(10\text{h}30\) : au bout d'une demi-heure, d'une heure, d'une heure et demie et de deux heures, Léa est à \(3\), \(6\), \(9\) et \(12 \ \text{km}\). Doubler la durée double la distance, la tripler la triple : Léa parcourt toujours \(6 \ \text{km}\) par heure.

   $$ \text{Depuis } 10\text{h} : \text{non} \hspace{2em} \text{depuis } 10\text{h}30 : \text{oui} $$

   À \(10\text{h}30\), Léa n'a encore rien parcouru : c'est depuis cet instant que la durée nulle correspond à la distance nulle.

3. À quelle heure Léa rattrape-t-elle Tom, et à quelle distance de la maison ? Vérifier sur le graphique.

   À \(10\text{h}30\), Tom a \(2 \ \text{km}\) d'avance. Chaque demi-heure, il parcourt \(2 \ \text{km}\) et Léa \(3 \ \text{km}\) : elle reprend \(1 \ \text{km}\). Il lui faut donc deux demi-heures pour reprendre les \(2 \ \text{km}\).

   $$ 11\text{h}30 \text{, à } 6 \ \text{km} \text{ de la maison} $$

   Vérification : sur le graphique, le point de Léa se pose sur celui de Tom à \(11\text{h}30\), à la hauteur de \(6 \ \text{km}\).

4. Un autre jour, Tom part toujours à \(10\text{h}\), mais Léa ne part qu'à \(11\text{h}\). Chacun garde la même allure. À quelle heure Léa rattrape-t-elle Tom, et à quelle distance de la maison ?

   À \(11\text{h}\), Tom a marché une heure : il a \(4 \ \text{km}\) d'avance. Léa reprend toujours \(1 \ \text{km}\) par demi-heure : il lui faut quatre demi-heures, soit \(2 \ \text{h}\).

   $$ 11\text{h} + 2 \ \text{h} = 13\text{h} $$

   À \(13\text{h}\), Léa a roulé \(2 \ \text{h}\), soit \(6 \times 2 = 12 \ \text{km}\) ; Tom a marché \(3 \ \text{h}\), soit \(4 \times 3 = 12 \ \text{km}\).

   $$ 13\text{h} \text{, à } 12 \ \text{km} \text{ de la maison} $$