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Primitives et équations différentielles

Ce chapitre cherche des fonctions, et non plus des nombres : des primitives, puis des solutions d'équations différentielles.

Un réservoir percé se vide d'autant plus vite qu'il est plein. Le débit n'est pas constant : il dépend de ce qui reste.

Connaître le débit à chaque instant, c'est presque connaître le volume restant : il manque seulement de savoir par où l'on est parti.

Chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse de la dérivation - et la constante dit d'où l'on part.

Chercher une primitive, c'est remonter le tableau des dérivées. Et résoudre une équation différentielle, c'est chercher une fonction, non plus un nombre : c'est la nouveauté du chapitre.

Ce qu'est une primitive

Primitive

\(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) si \(F\) y est dérivable et si \(F' = f\).

On dit une primitive et non la primitive : il y en a une infinité, et elles ne diffèrent que d'une constante.

$$ \text{Si} \ F' = f \ \text{sur} \ I, \ \text{les primitives de} \ f \ \text{sont les} \ F + k \hspace{2em} (k \in \mathbb{R}) $$

Décalage à une constante près

Soient \(F\) et \(G\) deux primitives de \(f\) sur l'intervalle \(I\). Posons \(h = G - F\).

$$ h'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0 $$

La dérivée de \(h\) est nulle sur tout l'intervalle : \(h\) y est donc constante.

$$ G = F + k $$

L'hypothèse d'intervalle n'est pas décorative : sur une réunion de deux intervalles disjoints, une fonction de dérivée nulle peut prendre une constante différente sur chacun.

Une condition supplémentaire - souvent \(F(a) = b\) - fixe la constante, et donc la primitive. Sans elle, la réponse reste une famille de fonctions.

Les primitives de référence

Ce sont les dérivées usuelles, lues de droite à gauche.

\(f(x)\)
une primitive \(F(x)\)
sur
\(x^n\), \(n \geqslant 0\)
\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(\mathbb{R}\)
\(\frac{1}{x^n}\), \(n \geqslant 2\)
\(\frac{-1}{(n-1) \, x^{n-1}}\)
\(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\)
\(\frac{1}{x}\)
\(\ln(x)\)
\(\bigl]0 \ ; \ +\infty\bigr[\)
\(e^x\)
\(e^x\)
\(\mathbb{R}\)
\(\cos(x)\)
\(\sin(x)\)
\(\mathbb{R}\)
\(\sin(x)\)
\(-\cos(x)\)
\(\mathbb{R}\)
le signe moins de la dernière ligne est celui que l'on oublie

Les formes composées

Ce sont les mêmes lignes, où \(x\) est remplacé par une fonction \(u\), et où \(u'\) apparaît en facteur. Reconnaître ce facteur est tout le travail.

\(f\)
une primitive
\(u' \, e^u\)
\(e^u\)
\(\frac{u'}{u}\), avec \(u > 0\)
\(\ln(u)\)
\(u' \, u^n\)
\(\frac{u^{n+1}}{n+1}\)
\(\frac{u'}{\sqrt{u}}\), avec \(u > 0\)
\(2\sqrt{u}\)
\(u' \cos(u)\)
\(\sin(u)\)
toutes se vérifient en dérivant la colonne de droite

Exemple :

$$ f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} $$

Le numérateur est la dérivée du dénominateur, qui est strictement positif :

$$ F(x) = \ln\bigl(x^2 + 1\bigr) $$

Quand le facteur \(u'\) manque un coefficient près, on le fabrique : pour \(x \, e^{x^2}\), on écrit \(\frac{1}{2} \times 2x \, e^{x^2}\), et la primitive est \(\frac{1}{2} e^{x^2}\).

L'équation différentielle \(y' = ay\)

Solutions de \(y' = ay\)

Les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont exactement les fonctions :

$$ f(x) = C \, e^{ax} \hspace{2em} (C \in \mathbb{R}) $$

Unicité de la solution

Soit \(f\) une solution, c'est-à-dire une fonction dérivable vérifiant \(f' = af\). Posons :

$$ g(x) = f(x) \, e^{-ax} $$

Dérivons ce produit :

$$ g'(x) = f'(x) \, e^{-ax} - a \, f(x) \, e^{-ax} = e^{-ax}\bigl(f'(x) - a f(x)\bigr) $$

La parenthèse est nulle, puisque \(f' = af\). Donc \(g' = 0\), et \(g\) est constante sur \(\mathbb{R}\) :

$$ f(x) \, e^{-ax} = C \quad \Longleftrightarrow \quad f(x) = C \, e^{ax} $$

Réciproquement, ces fonctions vérifient bien l'équation :

$$ \bigl(C e^{ax}\bigr)' = aC e^{ax} = a \times C e^{ax} $$

Une condition initiale, souvent \(f(0)\), détermine \(C\) et donc l'unique solution du problème posé.

L'équation \(y' = ay + b\)

On cherche d'abord une solution constante : si \(y\) est constante, sa dérivée est nulle.

$$ 0 = a \, y + b \quad \Longleftrightarrow \quad y = -\frac{b}{a} \hspace{2em} (a \neq 0) $$
$$ f(x) = C \, e^{ax} - \frac{b}{a} \hspace{2em} (C \in \mathbb{R}) $$

Le procédé est général : une solution particulière, plus les solutions de l'équation sans second membre. C'est aussi ainsi que se traite \(y' = ay + f\), lorsque l'énoncé fournit une solution particulière.

La constante \(-\frac{b}{a}\) est aussi la limite du phénomène quand \(a\) est négatif : l'exponentielle s'éteint, et il ne reste qu'elle. C'est la température de la pièce, la charge finale du condensateur, l'effectif d'équilibre.