Les nombres fractionnaires
Une fraction
Une fraction est un nombre \(F\) qui s'écrit :
$$ F = \frac{a}{b} \qquad (avec \ b \neq 0) $$
Multiplication de fractions
On multiplie les éléments du haut entre eux, et on fait de même pour les éléments du bas.
$$ M = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ M = \frac{a \times c}{b \times d} $$
Soit,
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{bd} $$
Exemple :
$$ M = \frac{1}{7} \times \frac{3}{2} $$
$$ M = \frac{3}{14} $$
Division de fractions
$$ D = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, c, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ D = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} $$
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
$$ D = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$
Soit,
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$
Exemple :
$$ D = \frac{4}{5} \div \frac{7}{6} $$
$$ D = \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} $$
$$ D = \frac{24}{35} $$
Addition de fractions
On doit absolument mettre tous les termes au même dénominateur pour pouvoir additionner des fractions entres elles.
$$ A = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ A = \frac{a}{b} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{b}{b}} $$
$$ A = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} $$
$$ A = \frac{ad + bc}{bd} \hspace{5em} (factorisation) $$
Soit,
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{b}{b}} $$
Exemple :
$$ A = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} $$
$$ A = \frac{1}{3} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{4}{4}} - \frac{3}{4} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{3}{3}} $$
$$ A = \frac{4}{12} - \frac{9}{12} $$
$$ A = -\frac{5}{12} $$
Simplification de fractions
De manière générale, on cherche à obtenir une écriture linéaire avec que des produit de fractions :
$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \ ...etc. \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d, f \ ...etc.) \neq 0 \Bigr) $$
pour pouvoir tout simplifier.
Exemple :
$$ S = \frac{64}{45} \times \frac{81}{16} \times \frac{24}{9} $$
Après décomposition, on a obtient :
$$ S = \frac{8 \times 8}{5 \times 9} \times \frac{9 \times 9}{4 \times 4} \times \frac{4 \times 6}{9} $$
$$ S = \frac{\cancel{4} \times 2 \times 8}{5 \times 9} \times \frac{\cancel{9} \times 9}{\cancel{4} \times \cancel{4}} \times \frac{\cancel{4} \times 6}{\cancel{9}} $$
$$ S = \frac{64}{45} $$
Aide :Toutes ces écritures sont équivalentes.
$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d, f) \neq 0 \Bigr) $$
$$ S = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times f} $$
$$ S = \frac{a}{d} \times \frac{c}{b} \times e \times \frac{1}{f} $$
La seule chose qui importante, c'est de conserver les éléments à leur place respective :
-
au numérateur : \(a, c, e\)
-
au dénominateur : \(b,d,f\)
Exemples
$$ \alpha = \left[ \left( - \frac{2}{3} \right) \times \left( - \frac{1}{4} \right) - 1 \right] + \frac{5}{6} + 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) $$
On gère d'abord les parenthèses.
$$ \alpha = \underbrace { \left[ \left( - \frac{2}{3} \right) \times \left( - \frac{1}{4} \right) - 1 \right] } _\text{un produit et une addition} \ + \frac{5}{6} + 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) $$
Dans cette parenthèse, on gère d'abord le produit.
Le signe du produit est positif car il y a deux facteurs, donc on gère maintenant la valeur numérique.
$$ \alpha = \underbrace { \left[ \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} - 1 \right] } _\text{le produit en premier} + \ \frac{5}{6} + 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) $$
$$ \alpha = \underbrace { \left[ \frac{2}{12} - 1 \right] } _\text{addition de fractions} + \ \frac{5}{6} + 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) $$
Toujours dans la prenthèse, on doit maintenant gérer la soustraction; comme ce sont des fractions, on doit mettre au mêmé dénominateur.
$$ \alpha = \underbrace { \left[ \frac{2}{12} - 1 \textcolor{#4A8051}{\times \frac{12}{12}} \right] } _\text{mise au même dénominateur} + \ \frac{5}{6} + 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) $$
$$ \alpha = \left[ \frac{2-12}{12} \right]+ \frac{5}{6} + 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) $$
$$ \alpha = -\frac{10}{12}+ \frac{5}{6} + 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) $$
Maintenant que les parenthèses sont gérées, on gère la division; on va multiplier par l'inverse.
$$ \alpha = -\frac{10}{12}+ \frac{5}{6} + \ \underbrace { 3 \div \left( - \frac{7}{2} \right) } _\text{division} $$
$$ \alpha = -\frac{10}{12}+ \frac{5}{6} + \ \underbrace { 3 \times \left( - \frac{2}{7} \right) } _\text{\( \times\) l'inverse} $$
$$ \alpha = -\frac{10}{12}+ \frac{5}{6} - \frac{6}{7} $$
Comme on n'a plus des additions/soustractions de fractions, on doit toutes les mettre au même dénominateur :
-
soit on donne à chacun ce qu'il n'a pas :
$$ \alpha = -\frac{10}{12} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{6 \times 7}{6 \times 7}} + \frac{5}{6} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{12 \times 7}{12 \times 7}} - \frac{6}{7} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{12 \times 6}{12 \times 6}} $$
$$ \alpha = -\frac{420}{504} + \frac{420}{504} - \frac{432}{504} $$
$$ \alpha = - \frac{432}{504} $$
$$ \alpha = - \frac{432}{504} $$
Puis on réduit :
$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 216}{\cancel{2} \times 252} $$
$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 108}{\cancel{2} \times 126} $$
$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times 54}{\cancel{2} \times 63} $$
$$ \alpha = - \frac{\cancel{9} \times 6}{ \cancel{9} \times 7} $$
$$ \alpha = - \frac{6}{7} $$
-
soit on cherche un dénominateur commun le plus bas possible :
Ici, ne l'occurrence, 84.
$$ \alpha = -\frac{10}{12} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{7}{7}} + \frac{5}{6} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{14}{14}} - \frac{6}{7} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{12}{12}} $$
$$ \alpha = -\frac{70}{84} + \frac{70}{84} - \frac{72}{84} $$
$$ \alpha = - \frac{72}{84} $$
Puis on réduit :
$$ \alpha = - \frac{\cancel{2} \times \cancel{6} \times 6}{\cancel{2} \times \cancel{6} \times 7} $$
$$ \alpha = - \frac{6}{7} $$
Trouver un dénominateur commun permet de monter moins haut pour éviter de tout réduire après coup...
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