Les nombres fractionnaires
Une fraction
Une fraction est un nombre \(F\) qui s'écrit :
$$ F = \frac{a}{b} \qquad (avec \ b \neq 0) $$
Multiplication de fractions
On multiplie les éléments du haut entre eux, et on fait de même pour les éléments du bas.
$$ M = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ M = \frac{a \times c}{b \times d} $$
Soit,
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a c}{bd} $$
Exemple :
$$ M = \frac{1}{7} \times \frac{3}{2} $$
$$ M = \frac{3}{14} $$
Division de fractions
$$ D = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, c, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ D = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} $$
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.
$$ D = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$
Soit,
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$
Attention : il est interdit de diviser par zéro (d'où les conditions précédentes).
Exemple :
$$ D = \frac{4}{5} \div \frac{7}{6} $$
$$ D = \frac{4}{5} \times \frac{6}{7} $$
$$ D = \frac{24}{35} $$
Addition de fractions
On doit absolument mettre tous les termes au même dénominateur pour pouvoir additionner des fractions entres elles.
$$ A = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d) \neq 0 \Bigr) $$
$$ A = \frac{a}{b} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{b}{b}} $$
$$ A = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} $$
$$ A = \frac{ad + bc}{bd} \hspace{5em} (factorisation) $$
Soit,
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{b}{b}} $$
Exemple :
$$ A = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} $$
$$ A = \frac{1}{3} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{4}{4}} - \frac{3}{4} \textcolor{#4A8051}{\times \frac{3}{3}} $$
$$ A = \frac{4}{12} - \frac{9}{12} $$
$$ A = -\frac{5}{12} $$
Simplification de fractions
De manière générale, on cherche à obtenir une écriture linéaire avec que des produit de fractions :
$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \ ...etc. \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d, f \ ...etc.) \neq 0 \Bigr) $$
pour pouvoir tout simplifier et obtenir une forme irréductible.
Exemple :
$$ S = \frac{64}{45} \times \frac{81}{16} \times \frac{24}{9} $$
Après décomposition, on a obtient :
$$ S = \frac{8 \times 8}{5 \times 9} \times \frac{9 \times 9}{4 \times 4} \times \frac{4 \times 6}{9} $$
$$ S = \frac{\cancel{4} \times 2 \times 8}{5 \times 9} \times \frac{\cancel{9} \times 9}{\cancel{4} \times \cancel{4}} \times \frac{\cancel{4} \times 6}{\cancel{9}} $$
$$ S = \frac{64}{45} $$
Aide :Toutes ces écritures sont équivalentes.
$$ S = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} \hspace{5em} \Bigl(avec \ (b, d, f) \neq 0 \Bigr) $$
$$ S = \frac{a \times c \times e}{b \times d \times f} $$
$$ S = \frac{a}{d} \times \frac{c}{b} \times e \times \frac{1}{f} $$
La seule chose qui importante, c'est de conserver les éléments à leur place respective :
-
au numérateur : \(a, c, e\)
-
au dénominateur : \(b,d,f\)
Exemple
Exemple de calcul de fractions
$$ \alpha = \left( 1 -\frac{2}{3} \right) + \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} $$
On gère d'abord les parenthèses, on doit mettre au même dénominateur.
$$ \alpha = \underbrace { \left( 1\textcolor{#4A8051}{\times \frac{3}{3}} -\frac{2}{3} \right) } _\text{mettre au même dénominateur} + \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} $$
$$ \alpha = \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \times \frac{1}{3} $$
On peut dans un second temps gérer la multiplication à droite.
$$ \alpha = \frac{1}{3} + \frac{5 \times 1}{2 \times 3} $$
$$ \alpha = \frac{1}{3} + \frac{5}{6} $$
Enfin, il faut à nouveau mettre au même dénominateur.
$$ \alpha = \frac{1}{3}\textcolor{#4A8051}{\times \frac{2}{2}} + \frac{5}{6} $$
$$ \alpha = \frac{2}{6} + \frac{5}{6} $$
$$ \alpha = \frac{2 + 5}{6} $$
$$ \alpha = \frac{7}{6} $$
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