Problèmes sur le théorème de Pythagore en troisième

Un triangle à mesurer, une échelle contre un mur, une armoire à redresser : des longueurs qu'aucune règle ne donne, et que le théorème calcule.

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, en repérant d'abord l'hypoténuse.
Utiliser la réciproque pour démontrer qu'un triangle est rectangle.
Appliquer le théorème deux fois de suite, dans l'espace.
Trancher une situation concrète par le calcul.

Trois triangles

$ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6 \ \text{cm}$ et $AC = 8 \ \text{cm}$. Calculer $BC$.

L'hypoténuse est $BC$, car le triangle est rectangle en $A$ :

$$ BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $$

$$ BC = 10 \ \text{cm} $$
Un autre triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $BC = 5 \ \text{cm}$ et $AC = 13 \ \text{cm}$. Calculer $AB$.

L'hypoténuse est $AC$, car le triangle est rectangle en $B$ :

$$ AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 $$

$$ AB = 12 \ \text{cm} $$
Un troisième triangle a pour côtés $9 \ \text{cm}$, $12 \ \text{cm}$ et $15 \ \text{cm}$. Déterminer s'il est rectangle.

Étape 1 : Calculer le carré du plus grand côté.

Étape 2 : Calculer la somme des carrés des deux autres côtés.

Conclure :

Étape 1 : le plus grand côté mesure $15 \ \text{cm}$ :

$$ 15^2 = 225 $$

Étape 2 :

$$ 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 $$

Conclusion : les deux résultats sont égaux, l'égalité de Pythagore est vérifiée ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore :

$$ \text{le triangle est rectangle} $$

L'angle droit est opposé au plus grand côté, celui de $15 \ \text{cm}$.

L'échelle contre le mur

Une échelle de $5 \ \text{m}$ est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé à $1.4 \ \text{m}$ du mur. On note $h$ la hauteur atteinte sur le mur, en mètres.

Calculer la hauteur $h$ à laquelle l'échelle atteint le mur.

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse.

$$ h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04 $$

$$ h = 4.8 \ \text{m} $$
Par sécurité, on éloigne le pied de cette même échelle à $2 \ \text{m}$ du mur. Calculer la nouvelle hauteur atteinte, arrondie au centimètre.

L'échelle reste l'hypoténuse du triangle rectangle :

$$ h^2 = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 $$

$$ h = \sqrt{21} \approx 4.58 \ \text{m} $$
Calculer de combien la hauteur atteinte a diminué entre les deux positions.

$$ 4.8 - 4.58 = 0.22 $$

$$ \text{environ } 22 \ \text{cm} $$

Éloigner le pied de $60 \ \text{cm}$ ne fait perdre que $22 \ \text{cm}$ en hauteur.

La diagonale du pavé

Un pavé droit mesure $3 \ \text{cm}$ de large, $4 \ \text{cm}$ de profondeur et $12 \ \text{cm}$ de hauteur. On cherche la longueur de sa grande diagonale, celle qui joint deux sommets opposés.

Calculer d'abord la diagonale $d$ de la base.

La base est un rectangle de $3 \ \text{cm}$ sur $4 \ \text{cm}$ :

$$ d^2 = 3^2 + 4^2 = 25 $$

$$ d = 5 \ \text{cm} $$
En déduire la grande diagonale $D$ du pavé.

La diagonale de la base, la hauteur et la grande diagonale forment un second triangle rectangle, la hauteur étant perpendiculaire à la base.

$$ D^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $$

$$ D = 13 \ \text{cm} $$
Vérifier ce résultat en calculant directement $\sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}$.

$$ \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} $$

$$ 13 \ \text{cm} $$

Les deux applications successives du théorème se résument à cette formule, qui les contient.

Le calcul de Léo

Le triangle $RST$ est rectangle en $S$, avec $RT = 17 \ \text{cm}$ et $ST = 8 \ \text{cm}$.

Léo cherche la longueur $RS$ et écrit :

$$ RS^2 = 17^2 + 8^2 = 289 + 64 = 353 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} RS \approx 18.8 \ \text{cm} $$

Expliquer, sans refaire le calcul, pourquoi le résultat de Léo ne peut pas être juste.

Étape 1 : Repérer, sans calcul, le plus long côté du triangle $RST$.

Étape 2 : Comparer ce côté à la longueur $RS$ trouvée par Léo.

Conclure :

Étape 1 : dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus grand côté. Le triangle $RST$ est rectangle en $S$ : son plus long côté est $\bigl[RT\bigr]$, de $17 \ \text{cm}$.

Étape 2 : Léo trouve $RS \approx 18.8 \ \text{cm}$, plus long que $RT = 17 \ \text{cm}$.

Conclusion : un côté serait plus grand que l'hypoténuse, ce qui est impossible.
Nommer l'hypoténuse de ce même triangle $RST$, puis écrire l'égalité de Pythagore qui convient.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, donc au sommet $S$ : c'est $\bigl[RT\bigr]$.

$$ RS^2 + ST^2 = RT^2 $$

Léo a additionné les carrés comme si $\bigl[RS\bigr]$ était l'hypoténuse.
Calculer la longueur $RS$.

$$ RS^2 = RT^2 - ST^2 $$

$$ RS^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225 $$

$$ RS = 15 \ \text{cm} $$

Cette fois, $RS$ est bien plus court que l'hypoténuse $RT = 17 \ \text{cm}$.

L'armoire à redresser

Pour la déplacer, on a couché une armoire sur le dos. Elle mesure $2.30 \ \text{m}$ de haut et $60 \ \text{cm}$ de profondeur. Pour la remettre debout, on la fait basculer autour de l'arête posée au sol, dans une pièce dont le plafond est à $2.40 \ \text{m}$.

Pendant le basculement, le coin opposé à l'arête au sol décrit l'arc de cercle en pointillés. Expliquer pourquoi c'est la diagonale $d$ du côté de l'armoire, et non sa hauteur, qu'il faut comparer à la hauteur du plafond.

Étape 1 : Déterminer la distance entre ce coin et l'arête au sol, pendant tout le basculement.

Étape 2 : Déterminer la plus grande hauteur atteinte par ce coin.

Étape 3 : Comparer cette hauteur à celle de l'armoire.

Conclure :

Étape 1 : ce coin reste toujours à la distance $d$ de l'arête au sol : il décrit un arc de cercle de rayon $d$.

Étape 2 : il monte donc jusqu'à la hauteur $d$, au moment où la diagonale passe à la verticale, avant que l'armoire soit debout.

Étape 3 : $d$, hypoténuse, est plus longue que la hauteur $2.30 \ \text{m}$.

Conclusion : pendant le basculement, le coin monte plus haut que l'armoire debout : c'est $d$ qui doit passer sous le plafond.
Calculer $d$, arrondie au centimètre, puis dire si l'armoire peut être redressée.

Le côté de l'armoire est un rectangle : $d$ est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $2.30 \ \text{m}$ et $0.60 \ \text{m}$.

$$ d^2 = 2.30^2 + 0.60^2 $$

$$ d^2 = 5.29 + 0.36 = 5.65 $$

$$ d = \sqrt{5.65} \approx 2.38 \ \text{m} $$

Comme $2.38 \ \text{m} < 2.40 \ \text{m}$, le coin passe sous le plafond :

$$ \text{l'armoire peut être redressée} $$
On change d'armoire : même hauteur, mais $80 \ \text{cm}$ de profondeur. Dire si cette seconde armoire peut être redressée dans la même pièce.

$$ d^2 = 2.30^2 + 0.80^2 = 5.29 + 0.64 = 5.93 $$

$$ d = \sqrt{5.93} \approx 2.44 \ \text{m} $$

Cette fois, $2.44 \ \text{m} > 2.40 \ \text{m}$ :

$$ \text{la seconde armoire touche le plafond} $$
Pour une armoire de $2.30 \ \text{m}$ de haut, déterminer la profondeur maximale, au centimètre près, qui permet encore de la redresser dans cette pièce.

La diagonale ne peut pas dépasser $2.40 \ \text{m}$. La profondeur $p$ la plus grande vérifie donc :

$$ 2.30^2 + p^2 = 2.40^2 $$

$$ p^2 = 5.76 - 5.29 = 0.47 $$

$$ p = \sqrt{0.47} \approx 0.6856 \ \text{m} $$

On arrondit par défaut : avec $69 \ \text{cm}$, la diagonale dépasserait déjà $2.40 \ \text{m}$.

$$ \text{profondeur maximale} : 68 \ \text{cm} $$

Les barres du jeu de construction

Dans un jeu de construction, les barres sont percées de trous espacés d'une unité. Deux barres sont vissées à angle droit par leur trou $O$. Pour rigidifier l'assemblage, on visse une troisième barre en diagonale, d'un trou $A$ de la barre horizontale à un trou $B$ de la barre verticale : c'est possible seulement si la distance $AB$ est un nombre entier d'unités.

Sur la figure, $OA = 6$ et $OB = 8$. Prévoir par le calcul la longueur de la barre rouge, puis vérifier en comptant ses trous. Avec $OA = 4$ et $OB = 6$, une barre peut-elle être vissée ?

Étape 1 : Calculer $AB^2$ lorsque $OA = 4$ et $OB = 6$.

Étape 2 : Encadrer $AB$ entre deux nombres entiers consécutifs.

Conclure :

Les deux barres sont perpendiculaires : le triangle $OAB$ est rectangle en $O$, d'hypoténuse $\bigl[AB\bigr]$. D'après le théorème de Pythagore :

$$ AB^2 = OA^2 + OB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $$

$$ AB = 10 \ \text{unités} $$

Vérification : la barre rouge porte $11$ trous, donc $10$ intervalles d'une unité.

Étape 1 : avec $OA = 4$ et $OB = 6$, le triangle est encore rectangle en $O$ :

$$ AB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 $$

Étape 2 : $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$ : comme $49 < 52 < 64$, la longueur $AB = \sqrt{52}$ est comprise entre $7$ et $8$.

Conclusion : $AB$ n'est pas un nombre entier.

$$ \text{aucune barre ne convient} $$
Pour un nombre entier $n$ supérieur ou égal à $2$, on place les trous $A$ et $B$ tels que $OA = 2n$ et $OB = n^2 - 1$. Démontrer qu'une barre de $n^2 + 1$ unités convient toujours, puis retrouver la figure pour une valeur de $n$.

Étape 1 : Exprimer $AB^2$ en fonction de $n$, sous forme développée.

Étape 2 : Développer $\bigl(n^2 + 1\bigr)^2$.

Conclure :

Étape 1 : le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ ; d'après le théorème de Pythagore, en développant avec la deuxième identité remarquable :

$$ AB^2 = (2n)^2 + \bigl(n^2 - 1\bigr)^2 $$

$$ AB^2 = 4n^2 + n^4 - 2n^2 + 1 = n^4 + 2n^2 + 1 $$

Étape 2 : la première identité remarquable donne le même résultat pour le carré de $n^2 + 1$ :

$$ \bigl(n^2 + 1\bigr)^2 = n^4 + 2n^2 + 1 $$

Conclusion : $AB^2 = \bigl(n^2 + 1\bigr)^2$, et comme les deux longueurs sont positives :

$$ AB = n^2 + 1 $$

Pour $n = 3$ : $OA = 6$, $OB = 8$ et $AB = 10$, c'est la figure.

On fixe maintenant $OA = 12$. Trouver toutes les positions du trou $B$ qui conviennent, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre. On pourra noter $b = OB$ et $c = AB$, justifier que $(c - b)(c + b) = 144$, puis compléter ce tableau.

$c - b$	$1$	$2$
$c + b$	$144$	$72$
$c$	$72.5$	$37$
$b$	$71.5$	$35$

Étape 1 : Justifier que $(c - b)(c + b) = 144$.

Étape 2 : Déterminer toutes les valeurs possibles de $c - b$.

Étape 3 : Calculer $c$ et $b$ pour chacune de ces valeurs.

Conclure :

Étape 1 : le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ ; d'après le théorème de Pythagore, $c^2 = 12^2 + b^2$, donc $c^2 - b^2 = 144$. Avec la troisième identité remarquable :

$$ (c - b)(c + b) = 144 $$

Étape 2 : l'hypoténuse est le plus grand côté : $c - b$ est un nombre entier positif, plus petit que $c + b$. S'il valait $12$ ou plus, $c + b$ aussi, et le produit dépasserait $144$ : $c - b$ est donc un diviseur de $144$ inférieur à $12$, soit $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$ ou $9$.

Étape 3 : en ajoutant puis en retranchant les deux égalités $c - b = \ldots$ et $c + b = \ldots$, on obtient $2c$ et $2b$ :

$c - b$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$8$	$9$
$c + b$	$144$	$72$	$48$	$36$	$24$	$18$	$16$
$c$	$72.5$	$37$	$25.5$	$20$	$15$	$13$	$12.5$
$b$	$71.5$	$35$	$22.5$	$16$	$9$	$5$	$3.5$

Conclusion : le tableau contient toutes les possibilités, et seules quatre colonnes donnent des nombres entiers :

$$ OB = 5 \quad \text{ou} \quad OB = 9 \quad \text{ou} \quad OB = 16 \quad \text{ou} \quad OB = 35 $$

Vérification : $12^2 + 5^2 = 169 = 13^2$ ; $12^2 + 9^2 = 225 = 15^2$ ; $12^2 + 16^2 = 400 = 20^2$ ; $12^2 + 35^2 = 1 \ 369 = 37^2$. La dernière position est celle de la question 2, avec $n = 6$.

La corde à grimper

Dans un gymnase, une corde à grimper pend d'un crochet $H$ fixé au plafond ; elle est plus longue que la hauteur du plafond, et $50 \ \text{cm}$ traînent au sol. Pour connaître cette hauteur sans échelle, Samia écarte la corde et la tend jusqu'à ce que son extrémité touche tout juste le sol, en $P$, à $2.5 \ \text{m}$ du point $O$ situé sous le crochet. On note $h = OH$, en mètres.

Exprimer la longueur de la corde en fonction de $h$, puis démontrer que $(h + 0.5)^2 = h^2 + 6.25$.

Étape 1 : Justifier que le triangle $HOP$ est rectangle.

Étape 2 : Écrire une égalité entre les longueurs $HP$, $OH$ et $OP$.

Conclure :

Au repos, la corde descend jusqu'au sol, puis s'y allonge encore de $0.5 \ \text{m}$ :

$$ HP = h + 0.5 $$

Étape 1 : le point $O$ est à la verticale du crochet, et le sol est horizontal : le triangle $HOP$ est rectangle en $O$, d'hypoténuse $\bigl[HP\bigr]$.

Étape 2 : d'après le théorème de Pythagore :

$$ HP^2 = OH^2 + OP^2 $$

Conclusion : on remplace $HP$ par $h + 0.5$, $OH$ par $h$ et $OP$ par $2.5$, dont le carré vaut $6.25$ :

$$ (h + 0.5)^2 = h^2 + 6.25 $$
Calculer la hauteur du plafond, puis vérifier le résultat.

On développe le premier membre avec la première identité remarquable :

$$ h^2 + 2 \times h \times 0.5 + {0.5}^2 = h^2 + 6.25 $$

$$ h^2 + h + 0.25 = h^2 + 6.25 $$

On retranche $h^2$, puis $0.25$, aux deux membres :

$$ h = 6.25 - 0.25 $$

$$ h = 6 \ \text{m} $$

Vérification : la corde mesure $6.5 \ \text{m}$, et $6^2 + {2.5}^2 = 36 + 6.25 = 42.25 = {6.5}^2$.
On change de gymnase : $e$ mètres de corde traînent au sol, et la corde tendue touche le sol à $d$ mètres du point situé sous le crochet. Démontrer que la hauteur du plafond vaut $h = \frac{d^2 - e^2}{2e}$, puis la calculer pour $e = 1$ et $d = 4$.

Étape 1 : Écrire une égalité reliant $h$, $e$ et $d$.

Étape 2 : Transformer cette égalité jusqu'à obtenir $2eh = d^2 - e^2$.

Conclure :

Étape 1 : la corde mesure $h + e$, et le triangle est encore rectangle ; d'après le théorème de Pythagore :

$$ (h + e)^2 = h^2 + d^2 $$

Étape 2 : on développe le premier membre, puis on retranche $h^2$ et $e^2$ aux deux membres :

$$ h^2 + 2eh + e^2 = h^2 + d^2 $$

$$ 2eh = d^2 - e^2 $$

Conclusion : on divise les deux membres par $2e$, qui n'est pas nul :

$$ h = \frac{d^2 - e^2}{2e} $$

Pour $e = 1$ et $d = 4$ :

$$ h = \frac{4^2 - 1^2}{2 \times 1} = \frac{15}{2} $$

$$ h = 7.5 \ \text{m} $$

Vérification : la corde mesure $8.5 \ \text{m}$, et ${7.5}^2 + 4^2 = 56.25 + 16 = 72.25 = {8.5}^2$.
Retour au premier gymnase. Les $50 \ \text{cm}$ sont sûrs, mais Samia a pu se tromper de $5 \ \text{cm}$ en mesurant $OP$, qui est donc compris entre $2.45 \ \text{m}$ et $2.55 \ \text{m}$. Lucas affirme que la hauteur trouvée est alors juste, elle aussi, à $5 \ \text{cm}$ près. Trancher.

Étape 1 : Exprimer $h$ en fonction de $d$ seulement.

Étape 2 : Encadrer la hauteur $h$ du plafond.

Étape 3 : Déterminer à combien de centimètres près cette hauteur est connue.

Conclure :

Étape 1 : avec $e = 0.5$, la formule de la question 3 devient :

$$ h = \frac{d^2 - 0.25}{2 \times 0.5} = d^2 - 0.25 $$

Étape 2 : plus la distance $d$ est grande, plus son carré est grand, et plus $h$ l'est aussi. La hauteur est donc comprise entre les valeurs obtenues pour $d = 2.45$ et pour $d = 2.55$ :

$$ {2.45}^2 - 0.25 = 6.0025 - 0.25 = 5.7525 $$

$$ {2.55}^2 - 0.25 = 6.5025 - 0.25 = 6.2525 $$

$$ 5.7525 \ \text{m} \leqslant h \leqslant 6.2525 \ \text{m} $$

Étape 3 : la hauteur n'est connue qu'à environ $25 \ \text{cm}$ près.

Conclusion : $25 \ \text{cm}$, et non $5 \ \text{cm}$ : l'erreur sur $OP$ est multipliée par cinq.

$$ \text{Lucas a tort} $$

\(c - b\)	\(1\)	\(2\)
\(c + b\)	\(144\)	\(72\)
\(c\)	\(72.5\)	\(37\)
\(b\)	\(71.5\)	\(35\)

\(c - b\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)	\(9\)
\(c + b\)	\(144\)	\(72\)	\(48\)	\(36\)	\(24\)	\(18\)	\(16\)
\(c\)	\(72.5\)	\(37\)	\(25.5\)	\(20\)	\(15\)	\(13\)	\(12.5\)
\(b\)	\(71.5\)	\(35\)	\(22.5\)	\(16\)	\(9\)	\(5\)	\(3.5\)