Les fonctions affines

Une fonction affine

Une fonction affine répond à la formule générale :

$$f(x) = ax + b $$

Ces fonctions seront toujours représentées par des droites dans un plan.

Elles se composent de :

• \(a\) : la pente

• \(b\) : l'ordonne à l'origine

Dans le cas particulier où \((b = 0)\), alors c'est une fonction linéaire , et sa formule devient :

$$f(x) = ax $$

C'est le cas à chaque que l'on se trouve dans une situation de proportionnalité .

Calculer une pente : \(a\)

On calcule ce coefficent grâce à deux points \(M_1\bigl( x_1 ; y_1 \bigr)\) et \(M_2\bigl[ x_2 ; y_2 \bigr]\) de la courbe :

$$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

Déterminer l'ordonnée à l'origine : \(b\)

On l'obtient une fois avoir calculé \(a\) en récupérent un point (par exemple \(M_1\)) appartenant à la droite.

Si le point \(M_1\) appartient à la droite, alors :

$$ f(x_1) = ax_1 + b $$

$$ f(x_1) - ax_1 = b $$

$$ b = f(x_1) - ax_1 $$

Les tranches d'imposition sur le revenu

Les différentes tranches d'imposition sont des fonctions linéaires par morceaux.

1. À l'aide des points de départ et d'arrivée de ces différentes fonctions affines, calculer les différents taux d'imposition.

   Ces taux d'imposition étant les pentes respectives de chacune des droites.

   À chaque fois, on arrondira au pourcentage le plus proche.

   Fraction du revenu imposable (pour une part)	Taux d'imposition à appliquer sur la tranche
   Jusque \(11 \ 497 \ \text{€}\)
   Entre \(11 \ 498 \ \text{€}\) et \(29 \ 315 \ \text{€}\)
   Entre \(29 \ 316 \ \text{€}\) et \(83 \ 823 \ \text{€}\)
   Entre \(83 \ 324 \ \text{€}\) et \(180 \ 294 \ \text{€}\)
   Au-delà de \(180 \ 294 \ \text{€}\)

   Pour la première tranche :

   $$ a_1 = \frac{0 - 0}{11 \ 497 - 0} $$

   $$ a_0 = 0 \text{ %} $$

   Pour la deuxième tranche :

   $$ a_2 = \frac{3 \ 225 - 1 \ 264}{29 \ 315 - 11 \ 498} $$

   $$ a_2 \approx 0.11 $$

   $$ a_2 = 11 \text{ %} $$

   Pour la troisième tranche :

   $$ a_3 = \frac{25 \ 146 - 8 \ 794}{83 \ 823 - 29 \ 316} $$

   $$ a_3 \approx 0.299 $$

   $$ a_3 = 30 \text{ %} $$

   Pour la quatrième tranche :

   $$ a_4 = \frac{73 \ 921 - 34 \ 368}{180 \ 294 - 83 \ 824} $$

   $$ a_4 \approx 0.299 $$

   $$ a_4 = 41 \text{ %} $$

   Pour la cinquième et dernière tranche :

   $$ a_5= \frac{90 \ 000 - 81 \ 133}{200 \ 000 - 180 \ 295} $$

   $$ a_5 \approx 0.449 $$

   $$ a_5 = 45 \text{ %} $$

   Fraction du revenu imposable (pour une part)	Taux d'imposition à appliquer sur la tranche
   Jusque \(11 \ 497 \ \text{€}\)	\(0 \%\)
   Entre \(11 \ 498 \ \text{€}\) et \(29 \ 315 \ \text{€}\)	\(11 \%\)
   Entre \(29 \ 316 \ \text{€}\) et \(83 \ 823 \ \text{€}\)	\(30 \%\)
   Entre \(83 \ 324 \ \text{€}\) et \(180 \ 294 \ \text{€}\)	\(41 \%\)
   Au-delà de \(180 \ 294 \ \text{€}\)	\(45 \%\)

2. Combien d'impôts va payer un contribuable avec un revenu de \(80 \ k\text{€}\) ?

   Le montant de son impôt sur le revenu sera la somme de chaque tranche.

   $$ M(\textcolor{#6187B2}{80 \ 000}) = 11 \ 497 \times \frac{0}{100} + (29 \ 315 - 11 \ 498) \times \frac{11}{100} + (\textcolor{#6187B2}{80 \ 000} - 29 \ 316) \times \frac{30}{100} $$

   $$ M(80 \ 000) = 17 \ 165.07 \ \text{€} $$

3. Ce même contribuable hésite à signer un nouveau contrat à \(90 \ k\text{€}\), car cela va lui faire payer plus d'impôts.

   Quel sera le nouveau montant de son imposition ?

   Le montant de son impôt sur le revenu sera la somme de chaque tranche.

   $$ M(\textcolor{#6187B2}{90 \ 000}) = 11 \ 497 \times \frac{0}{100} + (29 \ 315 - 11 \ 498) \times \frac{11}{100} + (83 \ 323 - 29 \ 316) \times \frac{30}{100} + (\textcolor{#6187B2}{90 \ 000} - 83 \ 324) \times \frac{41}{100} $$

   $$ M(90 \ 000) = 20 \ 899.13 \ \text{€} $$

4. Est-ce qu'en passant dans la tranche supérieure et en payant plus d'impôts, est-ce que ce salarié y gagne tout de même au change ?

   Justifier par un calcul.

   Lorsqu'il était à \(80 \ k\text{€}\), après impôt il lui restait :

   $$ S_{net}(\textcolor{#6187B2}{80 \ 000}) = \textcolor{#6187B2}{80 \ 000} - 17 \ 165.07 $$

   $$ S_{net}(\textcolor{#6187B2}{80 \ 000}) = 62 \ 834.93 \ \text{€} $$

   Alors que si son salaire monte à \(90 \ k\text{€}\), après impôt il lui restera :

   $$ S_{net}(\textcolor{#6187B2}{90 \ 000}) = \textcolor{#6187B2}{90 \ 000} - 20 \ 899.13 $$

   $$ S_{net}(\textcolor{#6187B2}{90 \ 000}) = 69 \ 100.87 \ \text{€} $$

   
   

   Donc tout compte fait, cela vaut le coup de payer plus d'impôts .

5. Enfin, comparer les évolutions de salaires entre l'augmentation théorique (salaire brut) et la réelle augmentation (salaire net).

   Pour le salaire brut :

   $$ \frac{90 \ 000 - 80 \ 000}{80 \ 000} = 12.5 \text{ %} $$

   Pour le salaire net :

   $$ \frac{69 \ 100.87 - 62 \ 834.93}{62 \ 834.93} \approx 9.97 \text{ %} $$

La conversion \(°C \longleftrightarrow °F \)

En voyage aux États-unis, on a relevé des températures avec un thermomètre français mais aussi avec un thermomètre acheté sur place.

On a relevé les différentes températures dans le tableau suivant :

1. Existe-t-il un rapport de proportionnalité entre ces deux unités ?

   S'il existait un rapport de proportionnalité dans ces valeurs, cela veut dire que le produit en croix fonctionnerait.

   Alors, pour les valeurs des deux premières lignes, on aurait :

   $$ \frac{27}{8.5} = \frac{80.6}{47.3} \Longrightarrow \frac{27 \times 47.3}{8.5} = 80.6 $$

   Or,

   $$ \frac{27 \times 47.3}{8.5} \approx 150.25 \neq 80.6 $$

   Donc ce tableau n'est pas proportionnel .

   
   

   Modélisation : on souhaite modéliser une formule qui relierai ces deux unités entres elles, pour pouvoir effectuer des conversions par la suite.

2. Reporter sur le graphique suivant les données du tableau.

   

   

3. Au vue des deux la questions précédentes, quelle est la forme de l'équation de cette fonction ?

   Étant donné que c'est une droite, mais qu'il n'y a pas de lien de proportionnalité, la seule possibilité est que ce soit une fonction affine :

   Son équation doit être de la forme :

   $$ T_{F} = a \times T_{C} + b $$
4. Déterminer alors les coefficients correspondants.

   Calculons la pente, puis l'ordonnée à l'origine.

   1. Calcul de la pente \(a\)

      Avec deux points \(P\bigl[ 27 ; 80.6 \bigr]\) et \(Q\bigl[ 8.5 ; 47.3 \bigr]\) des valeurs du tableau :

      $$ a = \frac{47.3 - 80.6}{8.5-27} $$
      $$ a = \frac{-33.3}{-18.5} $$
      $$ a = \frac{9}{5} $$

   2. Calcul de l'ordonnée à l'origine \(b\)

      On utilise le point \(P\).

      $$ 80.6 = \frac{9}{5} \times 27 + b $$
      $$ 80.6 - \frac{9}{5} \times 27 = b $$
      $$ b = 32 $$

   3. Formule

      On a alors :

      $$T_{F} = \frac{9}{5} T_{C} + 32 $$