Activité : le prêt immobilier à annuités constantes

Un courtier immobilier affiche cette promotion sur sa vitrine web et physique :

Pancarte taux — pancarte d'un promoteur immobilier sur ses nouveaux taux

Calcul de l'évolution des taux

Calculer un taux d'évolution

Calculer une évolution consiste à appliquer un taux d'évolution (en $\%$) à une valeur de départ. Une évolution peut être soit une augmentation , soit une diminution :

$$\tau =\frac{V_A - V_D}{V_D} \times 100 \qquad \bigl[\% \bigr] $$

Quelle est le pourcentage de diminution du taux que propose ce courtier immobilier ?

Calcul intuitif des intérêts d'un prêt

Admettons qu'une personne lambda ait été attirée par cette offre, et décide de faire une simulation de crédit avec les données suivantes :

capital à emprunter : $200 \ 000 \text{ €}$
durée du crédit : $20 \text{ ans}$
taux d'intérêt : $3.75 \text{ %}$

Quel va être selon vous le montant des intérêts totaux payés une fois le crédit remboursé totalement ?

Calcul plus réaliste des intérêts d'un prêt à annuites constantes

Dans cette partie, on reprendra les valeurs utilisées à l'exercice précédent.

En réalité, le calcul des intérêts en bien plus complexe qu'un simple calcul de pourcentage. Il se fait notamment sur les hypothèses suivantes :

l'annuité calculée sera réglée de manière constante sur la durée du crédit
les intérêts à l'année $n$ sont recalculés sur la base du montant restant dû à l'année $(n-1)$
les annuités versées remboursent en priorité les intérêts puis le crédit, avec un pourcentage variable progressivement

L'annuité $A$ théorique se calcule en fonction du capital $(K_0)$, de la durée de crédit $(n)$ et du taux d'intérêt $(t)$ :

$$A = K_0 \times \frac{(1+\frac{t}{100})^n \times \frac{t}{100} }{(1+\frac{t}{100})^{n}-1}$$

$$ avec \enspace \left \{ \begin{gather*} K_0 : \text{le capital emprunté (en €)} \\ n : \text{la durée de l'emprunt (en années)} \\ t : \text{le taux de l'emprunt (en %)} \\ \end{gather*} \right \} $$

Si on n'exprime pas le taux en pourcentage, mais en valeur réelle, cela donne :

$$A = K_0 \times \frac{ (1+\tau)^n \times \tau }{(1+\tau)^{n}-1}$$

$$ avec \enspace \Bigl \{ \begin{gather*} \tau : le \ taux \ de \ l'emprunt \end{gather*} $$

Calculer grâce aux données précédentes, quelle va être le montant de l'annuité constante $A$.
En déduire le montant des monsualités $M$.
Quel va être le montant total remboursé au créancier à l'issue de la durée totale du crédit ?
Avec ces données calculées, déduire quelle va être la part de intérêts totaux remboursés, en comparaison avec le capital initial emprunté ?
Démontrer que cette part des intérêts remboursée ne dépend pas de la somme empruntée, mais uniquement des deux autres paramètres.
Que représente en pourcentage, la variation des intérêts payés en comparaison à ce que l'on s'attendait à payer au départ ?

Comparatif de crédit

Grâce à cet outil de comparatif de crédit , vérifiez le résultat trouvé précédemment.