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Les probabilités du jeu de dés

Un dé est composé de six faces, dont six valeurs sont possibles pour le résultat :

Calcul de probabilités avec un seul dé

Dans cette première partie, on réalise des lancers avec un seul dé. Calculer les probabilités des évènements suivants :

1. A : "Obtenir exactement 6"

On considère un cas sur possible sur les 6, alors la probabilité d'obtenir exactement un 6 est :

$$ P(A) = \frac{1}{6} $$
2. B : "Obtenir n'importe quel nombre"

Cette probabilité a \(100 \%\) de chances de se produire :

$$ P(\text{\(B\)}) = 1 $$
3. C : "Obtenir 1 ou 6"

Reconnaître une situation de probabilité : \(P(E_1 \text{ ou } E_2)\)

Lorsque deux évènements \(E_1\) et \(E_2\) sont incompatibles, la probabilité d'obtenir l'un ou l'autre se traduit par une addition :

$$ P(E_1 \text{ ou } E_2) = P(E_1) + P(E_2) $$

On appelle :

• 1 : "Obtenir exactement 1"

• 6 : "Obtenir exactement 6"

Pour obtenir l'un ou l'autre des deux évènements, on fait l'addition des deux, alors la probabilité d'obtenir un 1 ou un 6 est :

$$ P(C) = P(1) + P(6) $$

$$ P(C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} $$

$$ P(C) = \frac{2}{6} $$

$$ P(C) = \frac{\cancel{2} \times 1}{\cancel{2} \times 3} $$

$$ P(C) = \frac{1}{3} $$
4. D : "Ne pas obtenir de 3 du tout"

Reconnaître une situation de probabilité complémentaire : \(P(\bar{A})\)

Avec un évènement \(A\), la probabilité d'obtenir l'évènement contraire \(\bar{A}\) revient à faire :

$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$

Ne pas obtenir de 3 du tout, revient à l'éliminer de tous les cas possibles.

On appelle l'évènement \( n \) l'évènement par lequel on obtient exactement un certain nombre \(n\) :

• 1 : "Obtenir exactement 1"

• 2 : "Obtenir exactement 2"

• ...etc.




Alors, la probabilité de ne pas obtenir de 3 du tout est :

$$ P(D) = P(\overline{3}) $$

$$ P(D) = 1 - P(3) $$

$$ P(D) = 1 - \frac{1}{6} $$

$$ P(D) = 1 \textcolor{#9F6A6A}{\times \frac{6}{6}} - \frac{1}{6} $$

$$ P(D) = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} $$

$$ P(D) = \frac{6 - 1}{6} $$

$$ P(D) = \frac{5}{6} $$

Calcul de probabilités avec deux dés

On s'intéresse maintenant aux probabilités avec deux dés. Calculer les probabilités des évènements suivants :

1. E : "Obtenir 1 au premier lancer, puis 6 au second"

Reconnaître une situation de probabilité : \(P(E_1 \text{ et } E_2)\)

Lorsque deux évènements \(E_1\) et \(E_2\) sont indépendants, la probabilité d'obtenir l'un et l'autre évènement à la suite se traduit par une multiplication :

$$ P(E_1 \text{ et } E_2) = P(E_1) \times P(E_2) $$
$$ P(E) = P(1) \times P(6) $$
$$ P(E) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} $$
$$ P(E) = \frac{1}{36} $$
2. F : "Obtenir 1 et 6 (à l'issue des deux lancers)"

On peut compter le nombre de cas favorables, au nombre de \(2\) : \( \Bigl\{ (1,6), (6,1) \Bigr \}\).

Le nombre de cas total est de : \(6 \times 6 = 36\).

$$ P(F) = \frac{2}{36} $$

$$ P(F) = \frac{\textcolor{#6F79AB}{\cancel{2}} \times 1}{\textcolor{#6F79AB}{\cancel{2}} \times 18} $$

$$ P(F) = \frac{1}{18} $$
3. G : "Obtenir exactement un double 6"

On peut compter le nombre de cas favorables, au nombre de \(1\) : \( \Bigl\{ (6,6) \Bigr \}\).

Le nombre de cas total est de : \(6 \times 6 = 36\).

$$ P(G) = \frac{1}{36} $$
4. H : "Obtenir n'importe quel double"

On appelle l'évènement \( D_n \) l'évènement par lequel on obtient exactement un double \(n\) :

• \( D_1 \) : "Obtenir exactement un double 1"

• \( D_2 \) : "Obtenir exactement un double 2"

• ...etc.

Pour obtenir n'importe quel double, il faut faire l'addition de tous les doubles possibles :

$$ P(H) = P(D_1 \text{ ou } D_2 \text{ ou } D_3 \text{ ou } D_4 \text{ ou } D_5 \text{ ou } D_6) $$

$$ P(H) = P(D_1) + P(D_2) + P(D_3) + P(D_4) + P(D_5) + P(D_6) $$

On a calculé précédemment la probabilité de faire exactement un double, qui était de \(\frac{1}{36}\).

$$ P(H) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} $$

$$ P(H) = \frac{6}{36} $$

$$ P(H) = \frac{\cancel{6} \times 1 }{\cancel{6} \times 6} $$

$$ P(H) = \frac{1}{6} $$
5. I : "Ne pas obtenir de 3 du tout"

Ne pas obtenir de 3 du tout, revient à n'obtenir aucun 3 aux deux lancers.

Alors, la probabilité de ne pas obtenir de 3 du tout est :

$$ P(I) = P(\overline{3} \text{ et } \overline{3}) $$

$$ P(I) = P(\overline{3}) \times P(\overline{3}) $$

$$ P(I) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} $$

$$ P(I) = \frac{5 \times 5}{6 \times 6} $$

$$ P(I) = \frac{25}{36} $$
6. J : "Obtenir au moins un 3"

La probabilité d'obtenir au moins un 3 correspond à la probabilité contraire de n'en obtenir aucun \( \bigl(P(I)\bigr) \).

$$ P(J) = 1 - P(I) $$

$$ P(J) = 1\textcolor{#9F6A6A}{\times \frac{36}{36}} - \frac{25}{36} $$

$$ P(J) = \frac{36 - 25}{36} $$

$$ P(J) = \frac{11}{36} $$
7. K : "Obtenir aucun 4, ni aucun 5"
$$ P(K) = P\Bigl( \bigl(\overline{4 \text{ ou } 5} \bigr) \text{ et } \bigl(\overline{4 \text{ ou } 5}\bigr) \Bigr) $$
$$ P(K) = P(\overline{4 \text{ ou } 5}) \times P(\overline{4 \text{ ou } 5}) $$
$$ P(K) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} $$
$$ P(K) = \frac{4}{9} $$
8. L : "Obtenir 4 ou 5"

Ici, on peut utiliser la probabilité contraire à celle de n'obtenir ni un 4, ni un 5 sur chacun des lancers \( \bigl(P(K)\bigr) \).

$$ P(L) = 1 - P(K) $$

$$ P(L) = 1 - \frac{4}{9} $$

$$ P(L) = 1\textcolor{#9F6A6A}{\times \frac{9}{9}} - \frac{4}{9} $$

$$ P(L) = \frac{9 - 4}{9} $$

$$ P(L) = \frac{5}{9} $$