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Géométrie-topologie

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Convertir les différentes valeurs dans l'unité d'arrivée.

La piste d'athlétisme

Soit une piste d'athlétisme telle que la figure suivante :

En fonction des deux distances théoriques \(L\) et \(l\) :

1. Quel est le périmètre de cette piste ?

Le périmètre de cette piste vaut :

$$ P = L + l + L + l $$

$$P = 2L + 2l $$
2. Quel est l'aire totale du terrain ?

L'aire totale du terrain vaut l'aire du rectangle, à laquelle on ajoute l'aire de deux demi-cercles :

$$ A_{totale} = A_{rect} + 2 \times A_{demi-cercle} $$

$$ A_{totale} = L \ l + 2 \frac{\pi l^2}{2} $$

$$ A_{totale} = L \ l + \cancel{2} \frac{\pi l^2}{\cancel{2}} $$

$$A_{totale} = L \ l + \pi l^2 $$

L'aire de différentes parcelles d'un terrain

Soit un terrain \(ADEH\) divisé en différentes parcelles, telle que la figure suivante :

Calculer les aires des différentes parcelles de terrain.

La pente d'un toit

On dispose du toit en charpente suivante :

Calculer la valeur de la pente de ce toit en pourcentage.

La surface d'un terrain triangulaire

On souhaite calculer la surface \(S\) d'un terrain triangulaire.

Pour cela, on dispose des valeurs suivantes :

Quelle est la valeur de cette surface \(S\) ?

Calcul de dénivelé

Un téléphérique parcourt une distance \(b\), dont une partie horizontale est inaccessible à cause des rochers.

On dispose des données suivantes :

Quelle est la hauteur du dénivelé \(h\) parcourue par le téléphérique ?

La distance traversant le lac

Pour des mesures sur un terrain, on cherche à connaître une distance, mais cette distance est inaccessible car un lac est situé en plein milieu de cette axe.

Cependant, on dispose de deux mesures de longueur, et d'une mesure d'angle :

Soit un triangle \(abc\), ainsi qu'un angle \(\alpha\) en face du côté \(a\).

1. Quelle est la longueur de cette distance \(c\) ?

En appliquant le théorème d'Al-Kashi, on a :

$$ c^2 = a^2 + b^2 -2ab \ \cos(\gamma) $$

$$ c = \sqrt{a^2 + b^2 -2ab \ \cos(\gamma)} $$

Soit,

$$ c \approx 61 \ m $$
2. À l'aide des trois longueurs connues, calculer une approximation de la surface du triangle \(\bigl \{ a, b, c\bigr\}\)

En appliquant la formule de Héron, on a :

$$ S \approx \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \qquad \bigl(\text{Formule de Héron}\bigr) $$

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p : \text{demi-périmètre du triangle} \\ p = \frac{a+b+c}{2} \end{gather*} $$

Calculons d'abord le demi-périmètre \(p\) :

$$ p \approx 110+75+61 $$

$$ p \approx \frac{246}{2} $$

$$ p \approx 123 $$

Puis la surface \(S\) :

$$ S \approx \sqrt{123(123-110)(123-75)(123-61)} $$

Soit,

$$ S \approx 2 \ 181 \ m^2 $$
3. Enfin, calculer une valeur approchée des angles \(\beta\) et \(\gamma\)

En appliquant à nouveau Al-Kashi, mais aux deux autre côtés, on a :

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.\cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.\cos(\beta) \qquad (Al-Kashi^*) \end{gather*} $$

1. Calcul de l'angle \(\alpha\)

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc.\cos(\alpha) $$
$$ a^2 - b^2 - c^2 = - 2bc.\cos(\alpha) $$
$$ \frac{ a^2 - b^2 - c^2}{- 2bc} = \cos(\alpha) $$
$$ \alpha = \operatorname{Arccos} \left( \frac{ a^2 - b^2 - c^2}{- 2bc} \right) $$
$$ \alpha \approx 1.87 \ rad $$

Soit en degrés,

$$ \alpha \approx 1.87 \times \frac{180}{\pi} $$
$$ \alpha \approx 107.5° $$

2. Calcul de l'angle \(\beta\)

$$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac.\cos(\beta) $$
$$ b^2 - a^2 - c^2 =- 2ac.\cos(\beta) $$
$$ \frac{ b^2 - a^2 - c^2 }{- 2ac} = \cos(\beta) $$
$$ \beta = \operatorname{Arccos} \left( \frac{ b^2 - a^2 - c^2 }{- 2ac} \right) $$
$$ \beta \approx 0.71 \ rad $$

Soit en degrés,

$$ \beta \approx 0.71 \times \frac{180}{\pi} $$
$$ \beta \approx 40.5° $$

La construction du terrain

Un agriculteur souhaite construire un enclos à l'intérieur d'une parcelle rectangulaire, et souhaite lui donner une forme de trapèze droit.

Il dispose seulement de la position de deux points \(A\) et \(B\) dans un repère \( \bigl(O, x, y \bigr)\) de centre \(O \Bigl[ 0 ; 0 \Bigr]\) :

1. Calculer les coorddonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 520-60 \\ 600-400 \end{pmatrix} $$
$$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 460 \\ 200 \end{pmatrix}$$

2. Trouver l'abscisse approximative du point \(C\), tel que :

   $$ C \Bigl[ x_C ; 320 \Bigr] $$

Comme il existe un angle droit entre \(AB\) et \(BC\), on doit obtenir que :

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $$

Soit,

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 460 \\ 200 \end{pmatrix} \cdot \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} x_C - 520 \\ 320-600 \end{pmatrix} = 0$$

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 460 \\ 200 \end{pmatrix} \cdot \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} x_C - 520 \\ -280 \end{pmatrix} = 0$$

$$ 460(x_C - 520) + 200 \times (-280) = 0 $$

$$ 460x_C - 239 \ 200 - 56 \ 000= 0 $$

$$ 460x_C = 295 \ 200 $$

$$ x_C = \frac{ 295 \ 200 }{460} $$

$$x_C \approx 641.74 $$

3. Trouver l'abscisse approximative du point \(D\), tel que :

   $$ D \Bigl[ x_D ; 150 \Bigr] $$

Comme il existe de même un angle droit entre \(BC\) et \(CD\), on doit obtenir que :

$$ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 $$

Soit,

$$ \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 641\cdot74 - 520 \\ 320 - 600 \end{pmatrix} \cdot \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D - 641.74 \\ 150 - 320 \end{pmatrix} = 0$$

$$ \overrightarrow{BC} \begin{pmatrix} 121\cdot74 \\ -280 \end{pmatrix} \cdot \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} x_D - 641.74 \\ -170 \end{pmatrix} = 0$$

$$ 121.74(x_D - 641.74) + (-280) \times (-170) = 0 $$

$$ 121.74 x_D - 78 \ 125.4276 + 47 \ 600 = 0 $$

$$ 121.74 x_D = 30 \ 525.4276 $$

$$ x_D = \frac{ 30 \ 525.4276}{121.74} $$

$$x_D \approx 250.74 $$

4. Ensuite, vérifier que les droites \((AB)\) et \((DC)\) sont à peu près parallèles.

Deux vecteurs sont colinéaires, si et seulement si leur déterminant est nul.

Pour les coordonnées des deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\), on a :

$$ \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 460 \\ 200 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} x_C - x_D \\ y_C - y_D \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 641\cdot74 - 250.74 \\ 320 - 150 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{DC} \begin{pmatrix} 391 \\ 170 \end{pmatrix} $$

Avec ces valeurs, on calcule le déterminant :

$$ det(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{DC} ) = 460 \times 170 - 200 \times 391 $$

$$ det(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{DC} ) = 78 \ 200 -78 \ 200 $$

$$det(\overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{DC} ) = 0 $$

Les deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont bien colinéaires , alors les droites \((AB)\) et \((DC)\) sont parallèles .

5. Enfin, calculer la surface du trapèze \(ABCD\).

D'abord, calculons les trois longueurs \((AB, BC, CD)\) :

$$ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 } $$

$$ AB = \sqrt{(520-60)^2 + (600-400)^2 } $$

$$ AB = \sqrt{460^2 + 200^2 } $$

$$ AB \approx 521.6 $$

$$ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 } $$

$$ BC \approx \sqrt{(641.74-520)^2 + (320-600)^2 } $$

$$ BC \approx \sqrt{121.74^2 + (-280)^2 } $$

$$ BC \approx 305.32 $$

$$ CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 } $$

$$ BC \approx \sqrt{(250.74-641.74)^2 + (150-320)^2 } $$

$$ BC \approx \sqrt{(-391)^2 + (-170)^2 } $$

$$ BC \approx 426.36 $$




Alors, le périmètre du trapèze vaut :

$$ \mathcal{A}_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \times BC}{2} $$

$$ \mathcal{A}_{ABCD} \ \approx \frac{( 521.6 + 426.36) \times 305.32}{2} $$

$$ \mathcal{A}_{ABCD} \ \approx 144 \ 712.57 \ u.a. $$

La hauteur de la tour

On cherche à calculer la hauteur d'une tour, beaucoup trop loin pour être accessible.

Cependant, on dispose de deux mesures d'angles, et d'une mesure de longueur :

$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha = 28° \\ \beta = 50° \\ AB = 120 \ m \end{gather*} \right \} $$

Quelle est la hauteur de la tour \(HC\) ?

Le tétraèdre inscrit dans un cube

On dispose d'un cube \(ABCDEFGH\). Dans ce cube, on y a dessiné un tétraèdre \(EAFD\).

Par simplicité, on se placera dans un repère correspondant à la figure, le repère \((A, \ \overrightarrow{AD}, \ \overrightarrow{AE}, \ \overrightarrow{AB}) \).

On a projeté orthogonalement le point \(C\) sur le plan triangulaire \(AFH\), avec le point \(K\) comme point d'intersection.

Le but de l'exercice est de calculer la distance \(EK\) de deux manières différentes.

1. Première méthode : par le calcul des volumes

1. Calculer les distances \((AF, \ AH, \ FH )\)

Comme on se situe dans un cube, les trois distances \((AF, \ AH, \ FH )\) sont égales, donc le calcul d'une seule suffit.

Avec les deux points \(A\bigl[ 0 ; 0 \ ; 0 \bigr]\) et \(H\bigr[ 1 ; 1 \ ; 0 \bigl]\), on a :

$$ AH = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} $$

$$ AH = \sqrt{2} $$




Et par conséquent :

$$ AH = AF = FH = \sqrt{2} $$

2. Avec la formule de Héron, calculer l'aire de la base du triangle \(AFH\)

La formule de Héron nous dit que :

$$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \qquad \bigl(\text{Formule de Héron}\bigr) $$

$$ avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} p : \text{demi-périmètre du triangle} \\ p = \frac{a+b+c}{2} \end{gather*} $$

Alors,

$$ S_{AFH} = \sqrt{\frac{3\sqrt{2}}{2} \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2} \right)^3} $$

$$ S_{AFH} = \sqrt{\frac{3\sqrt{2}}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3} $$

$$ S_{AFH} = \sqrt{\frac{12}{16}} $$

$$ S_{AFH} = \sqrt{\frac{3}{4}} $$

$$ S_{AFH} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

3. Calculer l'aire du tétraèdre \(EAFH\) avec la formule générale d'une pyramide, en considérant \(AEH\) comme la base et \(EF\) comme la hauteur

Pour rappel, l'aire d'une pyramide de manière générale est :

$$ \mathcal{V}_{[pyramide]} = \frac{ (Aire \ de \ la \ base) \times hauteur}{3} $$

Comme \(AEHD\) est un carré de côté 1, la surface \(AEH\) vaut :

$$ S_{AEH} = \frac{1^2}{2} $$

$$ S_{AEH} = \frac{1}{2} $$




Alors,

$$ V_{EAFH} = \frac{ S_{AEH} \times EF}{3} $$

$$ V_{EAFH} = \frac{\frac{1}{2} \times 1}{3} $$

$$ V_{EAFH} = \frac{1}{6} $$

4. En considérant maintenant \(AFH\) comme la base et \(EK\) comme la hauteur, déterminer la valeur de \(EK\)

Sachant que :

$$ V_{EAFH} = \frac{ S_{AFH} \times EK}{3} $$

$$ \frac{1}{6} = \frac{ \frac{\sqrt{3}}{2} \times EK}{3} $$

$$ \frac{1}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{EK}{3} $$

$$ \frac{3 \times 2}{6\sqrt{3}} = EK $$

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = EK $$

$$ EK = \frac{\sqrt{3}}{3} $$



2. Seconde méthode : en faisant l'intersection du plan et de la droite

1. Déterminer un vecteur normal \(\vec{n} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \), vecteur directeur du plan \(AFH\)

Pour déterminer un vecteur normal au plan \(AFH\), on calcule le produit vectoriel de deux vecteurs de ce plan.

Calculons d'abord les coordonnées de deux vecteurs \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{AF}\) :

$$ \overrightarrow{AH} = \begin{pmatrix} x_H - x_A \\ y_H - y_A \\ z_H - z_A \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AH} = \begin{pmatrix} 1- 0 \\ 1- 0 \\ 0-0 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AH} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix} x_F - x_A \\ y_F - y_A \\ z_F - z_A \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix} 0 - 0 \\ 1- 0 \\ 1-0 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AH} \land \ \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix} y_1 z_2 - y_2 z_1 \\ z_1 x_2 - z_2 x_1 \\ x_1 y_2 - x_2 y_1 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AH} \land \ \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 - 1 \times 0 \\ 0 \times 0 - 1 \times 1 \\ 1 \times 1 - 0 \times 1 \end{pmatrix} $$

$$ \overrightarrow{AH} \land \ \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Alors, le vecteur \( \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan \(AFH\) .

2. Exprimer alors l'équation du plan \(AFH\)

Si le vecteur \( \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) dirige ce plan, alors ce plan a pour équation :

$$ x -y + z + d = 0 $$

Avec le point \(A\bigl[ 0 ; 0 \ ; 0 \bigr]\) appartenant à ce plan, on détermine \(d\) :

$$ A\bigl[ 0 ; 0 \ ; 0 \bigr] \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} 0 - 0 + 0 + d = 0 $$

$$ \Longrightarrow d = 0 $$

Alors, l'équation du plan \(AFH\) est finalement :

$$ x -y + z = 0 \qquad (\mathcal{P}_{AFH}) $$

3. Exprimer maintenant l'expression de la droite \(EK\)

Si le vecteur \( \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) dirige cette droite, et que cette droite passe par le point \(E\), alors cette droite a pour équation paramétrique :

$$ M\bigl[x, y, z \bigr] \in \mathcal{D}(E, \vec{u}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x = t + x_E \\ y = -t + y_E \\z = t + z_E \end{Bmatrix} $$

Avec le point \(E\bigl( 0 ; 1 \ ; 0 \bigr)\) :

$$ \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x = t \\ y = -t + 1 \\z = t \end{Bmatrix} \qquad (\mathcal{D}_{EK}) $$

4. Déterminer les coordonnées du point \(K\), en faisant l'intersection de la droite \((EK)\) avec le plan \(AFH\)

Pour calculer l'intersection du plan \(AFH\) et de la droite \((EK)\), reprenons les deux équations :

$$ x -y + z = 0 \qquad (\mathcal{P}_{AFH}) $$

$$ \exists^{\infty} t \in \mathbb{R}, \enspace \begin{Bmatrix} x = t \\ y = -t + 1 \\z = t \end{Bmatrix} \qquad (\mathcal{D}_{EK}) $$

Injectons les valeurs de chaque dimension de \((\mathcal{D}_{EK})\) dans \((\mathcal{P}_{AFH})\) :

$$ t -(-t + 1) + t = 0 $$

$$ 3t - 1 = 0 $$

$$ 3t = 1 $$

$$ t = \frac{1}{3} $$




Soit, en réinjectant mes valeurs dans l'équation paramétrique \((\mathcal{D}_{EK})\) :

$$ t = \frac{1}{3} \Longrightarrow \begin{Bmatrix} x_K = \frac{1}{3} \\ y_K = -\frac{1}{3} + 1 \\ z_K = \frac{1}{3} \end{Bmatrix} $$

Soit les coordonnées du point \(K\) :

$$ K\left( \frac{1}{3} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{3} \right) $$

5. Calculer la distance \(EK\)

Ayant les corrdonnées \(E\bigl( 0 ; 1 ; 0 \bigr)\) et \( K\left( \frac{1}{3} ; \frac{2}{3} ; \frac{1}{3} \right) \) :

$$ EK = \sqrt{(x_K - x_E)^2 + (y_K - y_E)^2 + (z_K - z_E)^2} $$

$$ EK = \sqrt{\left(\frac{1}{3} - 0 \right)^2 + \left(\frac{2}{3} - 1 \right)^2 + \left(\frac{1}{3} - 0 \right)^2} $$

$$ EK = \sqrt{\left(\frac{1}{3} \right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3} \right)^2} $$

$$ EK = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} $$

$$ EK = \sqrt{\frac{1}{3}} $$

$$ EK = \frac{\sqrt{3}}{3} $$