Activité sur les angles du triangle aux trois couleurs en cinquième

Un triangle aux angles de trois couleurs, copié en rosace, en carrelage et entouré de parallèles : les angles formés par des droites parallèles et une sécante, jusqu'à la somme des angles d'un triangle.

Reconnaître des angles adjacents, supplémentaires ou opposés par le sommet
Repérer des angles alternes-internes et des angles correspondants
Tracer une parallèle au rapporteur par l'égalité de deux angles
Calculer un angle à l'aide de droites parallèles
Établir et utiliser la somme des angles d'un triangle

La rosace

Les pièces 1 à 6, en dernière page, sont six copies du triangle aux trois couleurs : un coin rouge marqué d'un arc, un vert de deux arcs, un bleu de trois arcs.

Découper les six pièces, puis les coller dans le cadre, chacune avec un coin au point $O$, de façon à remplir l'hexagone sans trou ni chevauchement.

Combien de coins de chaque couleur se rejoignent en $O$ ? Deux coins de même couleur sont-ils adjacents, ou opposés par le sommet ?

Deux coins de chaque couleur se rejoignent en $O$.

Deux coins de même couleur sont opposés par le sommet : ils ont la même mesure.
Mesurer un coin de chaque couleur, puis calculer la somme des six angles qui entourent le point $O$.

Le coin rouge mesure $40°$, le vert $60°$, le bleu $80°$.

$$ 2 \times 40° + 2 \times 60° + 2 \times 80° = 360° $$

Les six angles font le tour complet du point $O$.
Les côtés des pièces forment trois droites qui se coupent en $O$. Que forment les trois coins situés d'un même côté de l'une d'elles ? Calculer leur somme.

D'un même côté de la droite, un coin rouge, un bleu et un vert forment un angle plat.

$$ 40° + 80° + 60° = 180° $$

Les trois angles du triangle ont pour somme $180°$.

Le carrelage

Ce carrelage est fait de copies du triangle aux trois couleurs ; seul le carreau modèle, en gras, est colorié.

Chacun des angles marqués de $1$ à $6$ a la même mesure qu'un coin du carreau modèle. Compléter le tableau sans rapporteur ; la relation est : opposés par le sommet, alternes-internes ou correspondants.

angle	couleur du coin du modèle	relation entre les deux angles	mesure de l'angle
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$

Les droites du carrelage sont parallèles : deux angles alternes-internes ou correspondants ont la même mesure, comme deux angles opposés par le sommet.

angle	couleur du coin du modèle	relation entre les deux angles	mesure de l'angle
$1$	rouge	correspondants	$40°$
$2$	rouge	alternes-internes	$40°$
$3$	vert	correspondants	$60°$
$4$	vert	alternes-internes	$60°$
$5$	bleu	opposés par le sommet	$80°$
$6$	bleu	correspondants	$80°$

Colorier tous les coins de tous les carreaux comme ceux du modèle. Chaque carreau doit porter un coin de chaque couleur, et deux coins opposés par le sommet doivent avoir la même couleur.

Autour de chaque point où se croisent trois droites, les coins se suivent dans l'ordre rouge, bleu, vert, rouge, bleu, vert.
Calculer la mesure de l'angle marqué $7$, puis celle de l'angle marqué $8$, qui lui est adjacent et supplémentaire. De quelle couleur est l'angle $8$ ?

L'angle $7$ est fait d'un coin vert et d'un coin bleu.

$$ 60° + 80° = 140° $$

$$ 180° - 140° = 40° $$

L'angle $8$ mesure $40°$ : c'est un coin rouge.

Les trois parallèles

Voici le triangle aux trois couleurs $ABC$ en vraie grandeur : $\widehat{BAC} = 40°$, $\widehat{ABC} = 60°$ et $\widehat{ACB} = 80°$.

Tracer au rapporteur trois droites, en reproduisant à chaque fois un angle du triangle en position alterne-interne :
- $(d_C)$, parallèle à $(AB)$ et passant par $C$ : un angle de $40°$ avec $\bigl[CA\bigr]$ ;
- $(d_A)$, parallèle à $(BC)$ et passant par $A$ : un angle de $60°$ avec $\bigl[AB\bigr]$ ;
- $(d_B)$, parallèle à $(AC)$ et passant par $B$ : un angle de $40°$ avec $\bigl[BA\bigr]$.
Justifier que la droite $(d_C)$ est bien parallèle à $(AB)$.

La sécante $(AC)$ forme avec $(AB)$ et $(d_C)$ deux angles alternes-internes de $40°$ chacun.

Deux angles alternes-internes de même mesure : les droites $(d_C)$ et $(AB)$ sont parallèles.
Nommer $A'$ le point commun à $(d_B)$ et $(d_C)$, $B'$ celui de $(d_A)$ et $(d_C)$, $C'$ celui de $(d_A)$ et $(d_B)$. Mesurer $B'C$ et $CA'$ : où se trouve le point $C$ ? Et les points $A$ et $B$ ?

$$ B'C = CA' = 5 \ \text{cm} $$

Le point $C$ est le milieu de $\bigl[A'B'\bigr]$.

$$ C'A = AB' \approx 3.3 \ \text{cm} $$

$$ A'B = BC' \approx 4.4 \ \text{cm} $$

$A$, $B$ et $C$ sont les milieux des côtés du triangle $A'B'C'$.
En $C$, trois angles se suivent le long de $(d_C)$ : $\widehat{B'CA}$, $\widehat{ACB}$ et $\widehat{BCA'}$. Donner la mesure de chacun, en justifiant celles du premier et du dernier, puis calculer leur somme. Que dit-elle des angles du triangle $ABC$ ?

Les droites $(d_C)$ et $(AB)$ sont parallèles, donc les angles alternes-internes formés par la sécante $(AC)$ ont la même mesure, de même pour la sécante $(BC)$ :

$$ \widehat{B'CA} = \widehat{BAC} = 40° $$

$$ \widehat{BCA'} = \widehat{ABC} = 60° $$

Les trois angles forment l'angle plat $\widehat{B'CA'}$ :

$$ 40° + 80° + 60° = 180° $$

La somme des angles du triangle $ABC$ vaut $180°$.

Les quatre coins

La pièce 7, en dernière page, est un quadrilatère $EFGH$. Découper la pièce, puis ses quatre coins le long des arcs en pointillés, et les coller dans le premier cadre, côte à côte, leurs sommets sur le point $M$.

Que forment les quatre coins autour de $M$ ? Que vaut la somme des angles du quadrilatère $EFGH$ ?

Les quatre coins remplissent le disque sans trou ni chevauchement : ils font le tour complet du point $M$.

$$ \widehat{E} + \widehat{F} + \widehat{G} + \widehat{H} = 360° $$
Sur la copie du quadrilatère, tracer la diagonale $\bigl[EG\bigr]$. Expliquer pourquoi la somme des angles de $EFGH$ vaut $360°$.

La diagonale $\bigl[EG\bigr]$ partage $EFGH$ en deux triangles $EFG$ et $EGH$. Les angles en $E$ et en $G$ sont partagés entre les deux, et les six angles des deux triangles forment les quatre angles du quadrilatère.

$$ 180° + 180° = 360° $$
Calculer les angles manquants :
- le quatrième angle d'un quadrilatère dont trois angles mesurent $115°$, $70°$ et $95°$ ;
- les angles $\widehat{L}$ et $\widehat{K}$ du trapèze $IJKL$ du troisième cadre, où $(IJ)$ et $(LK)$ sont parallèles.
$$ 360° - (115° + 70° + 95°) = 80° $$

Dans le trapèze, la droite $(IL)$ coupe les parallèles $(IJ)$ et $(LK)$ : l'angle adjacent à $\widehat{L}$ sur $(LK)$ est alterne-interne avec $\widehat{I}$, donc de mesure $65°$. De même en $K$ avec $\widehat{J}$ :

$$ \widehat{L} = 180° - 65° = 115° $$

$$ \widehat{K} = 180° - 110° = 70° $$

Vérification : $65° + 110° + 70° + 115° = 360°$.

Les pièces des exercices 1 et 4, à découper en suivant les pointillés.

angle	couleur du coin du modèle	relation entre les deux angles	mesure de l'angle
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)