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Rappels de vocabulaire
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté.
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut \(180°\), et complémentaires lorsqu'elle vaut \(90°\).
Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites sécantes et sont situés de part et d'autre du point d'intersection. Ils ont toujours la même mesure.
Deux droites coupées par une sécante
Lorsqu'une droite en coupe deux autres, elle forme huit angles, que l'on classe par leur position.
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Les angles alternes-internes
Ils sont situés entre les deux droites, et de part et d'autre de la sécante.
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Les angles correspondants
Ils occupent la même position relative aux deux intersections : l'un est l'image de l'autre lorsqu'on glisse le long de la sécante.
Le lien avec le parallélisme
La propriété directe
Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes qu'une sécante forme avec elles ont la même mesure. Il en va de même pour les angles correspondants.
La propriété réciproque
Si deux angles alternes-internes formés par une sécante ont la même mesure, alors les deux droites sont parallèles. Il en va de même pour les angles correspondants.
La première propriété sert lorsqu'on sait que les droites sont parallèles et qu'on cherche un angle. La seconde sert lorsqu'on connaît les angles et qu'on veut démontrer le parallélisme.
Rédiger une démonstration
Exemple : les droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles, et l'angle rouge du haut mesure \(58°\). Que vaut l'angle rouge du bas ?
On énonce la propriété utilisée, puis on conclut.
Les droites \(d\) et \(d'\) sont parallèles, donc les angles alternes-internes formés par la sécante ont la même mesure.
Démontrer que deux droites sont parallèles
Exemple : une sécante coupe deux droites en formant deux angles correspondants de \(72°\) chacun.
Ces deux angles correspondants ont la même mesure, donc les deux droites sont parallèles.
Si en revanche les deux angles avaient mesuré \(72°\) et \(75°\), on aurait conclu que les droites ne sont pas parallèles.