Problèmes sur les angles en cinquième

Une charpente, des rails, une ficelle entre deux étagères : les angles s'y déduisent les uns des autres par le parallélisme.

Utiliser les angles formés par deux parallèles et une sécante
Démontrer que deux droites sont parallèles, ou qu'elles ne le sont pas
Rédiger une démonstration en citant la propriété utilisée
Tracer une parallèle pour calculer un angle

La charpente

Deux poutres parallèles sont traversées par une entretoise. L'un des angles formés mesure $52°$ ; trois autres sont marqués $a$, $b$ et $c$.

Donner la mesure de l'angle $a$, alterne-interne de l'angle de $52°$, en citant la propriété utilisée.

Les deux poutres sont parallèles, donc les angles alternes-internes formés par l'entretoise ont la même mesure.

$$ a = 52° $$
Donner la mesure de l'angle $b$, adjacent à celui de $52°$ le long de la même poutre.

Les deux angles forment ensemble un angle plat : ils sont supplémentaires.

$$ b = 180° - 52° $$

$$ b = 128° $$
Donner la mesure de l'angle $c$, opposé par le sommet à ce même angle de $52°$.

Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.

$$ c = 52° $$

Les rails du tramway

Deux rails sont coupés par une traverse. D'un côté, on mesure un angle de $68°$ ; de l'autre, l'angle correspondant mesure $71°$.

Les deux rails sont-ils parallèles ? Justifier.

Si les rails étaient parallèles, les angles correspondants auraient la même mesure.

$$ 68° \neq 71° $$

Les rails ne sont donc pas parallèles.
De combien faut-il corriger l'un de ces deux angles pour rétablir le parallélisme ?

$$ 71° - 68° $$

$$ 3° $$
Sur la figure, tracer en vert, au rapporteur, le rail 2 corrigé : il passe par $B$ et forme avec la traverse un angle correspondant de $68°$.

Le rail 2 corrigé forme avec la traverse le même angle correspondant que le rail 1 : il lui est parallèle.

Le cerf-volant

Les baguettes d'un cerf-volant se croisent en formant quatre angles. L'un d'eux mesure $37°$.

Donner les mesures des trois autres angles, puis les écrire sur la figure.

L'angle opposé par le sommet vaut aussi $37°$ ; les deux autres lui sont adjacents le long d'une baguette, donc supplémentaires.

$$ 180° - 37° = 143° $$

$$ 37° \ ; \ 143° \ ; \ 143° $$
Vérifier que la somme des quatre angles vaut bien un tour complet.

$$ 37° + 143° + 37° + 143° $$

$$ 360° $$

La rédaction d'une démonstration

Deux droites $d$ et $d'$ sont coupées par une sécante. Les deux angles alternes-internes qu'elle forme avec elles mesurent chacun $63°$.

Sur la figure, marquer en bleu l'autre angle alterne-interne de $63°$, et y écrire sa mesure.

Il est entre les deux droites, de l'autre côté de la sécante, contre $d'$.
Rédiger la démonstration établissant que $d$ et $d'$ sont parallèles.

On énonce d'abord ce que l'on sait, puis la propriété, puis la conclusion.

Les deux angles alternes-internes formés par la sécante ont la même mesure. Or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.

Donc $d$ et $d'$ sont parallèles.
Quelle propriété aurait-on utilisée si l'on avait su d'avance que $d$ et $d'$ sont parallèles, et qu'on avait cherché le second angle ?

On aurait utilisé la propriété directe, et non sa réciproque : « si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes ont la même mesure ».

Les deux énoncés se ressemblent, mais l'un part du parallélisme et l'autre y aboutit.

L'erreur de Léo

Sur la figure, une sécante coupe les droites $(d)$ et $(d')$. Léo a rédigé : « Les angles de $115°$ et de $65°$ sont alternes-internes et n'ont pas la même mesure, donc $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles. »

Les deux angles de $115°$ et de $65°$ sont-ils alternes-internes ? Justifier.

Ils sont bien tous les deux entre les droites $(d)$ et $(d')$, mais du même côté de la sécante, à sa gauche.

$$ \text{ils ne sont pas alternes-internes} $$

Le raisonnement de Léo s'appuie donc sur une propriété qui ne s'applique pas ici.
Calculer la mesure de l'angle marqué $?$, adjacent à l'angle de $115°$ le long de $(d)$.

Les deux angles forment un angle plat : ils sont supplémentaires.

$$ 180° - 115° $$

$$ 65° $$
Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles ? Rédiger une démonstration correcte.

Étape 1 : Nommer la position de l'angle marqué $?$ par rapport à l'angle de $65°$.

Étape 2 : Comparer les mesures de ces deux angles.

Conclure :

Étape 1 : l'angle marqué $?$ et l'angle de $65°$ sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante : ils sont alternes-internes.

Étape 2 : ils ont la même mesure, $65°$.

Conclusion : or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.

Donc $(d)$ et $(d')$ sont parallèles : Léo s'est trompé de conclusion.

La ficelle entre deux étagères

Deux étagères parallèles sont représentées par les droites $(d)$ et $(d')$. Une ficelle part d'un clou $A$ fixé sur $(d)$, passe par un crochet $M$ placé entre les étagères, puis rejoint un clou $B$ fixé sur $(d')$. Elle forme un angle de $40°$ avec $(d)$ et un angle de $30°$ avec $(d')$. On cherche l'angle $\widehat{AMB}$ sans rapporteur : pour cela, on trace par $M$ la droite $(\Delta)$ parallèle à $(d)$.

Pourquoi la droite $(\Delta)$ est-elle aussi parallèle à $(d')$ ?

$(\Delta)$ est parallèle à $(d)$, et $(d)$ est parallèle à $(d')$. Or, si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.

$$ (\Delta) \parallel (d') $$
Justifier que l'angle formé en $M$ par $(\Delta)$ et le brin $\bigl[MA\bigr]$ mesure $40°$.

Étape 1 : Nommer les deux droites parallèles et la sécante qui forment l'angle de $40°$ en $A$ et l'angle cherché en $M$.

Étape 2 : Nommer la position de ces deux angles l'un par rapport à l'autre.

Conclure :

Étape 1 : la droite $(MA)$ coupe les parallèles $(d)$ et $(\Delta)$.

Étape 2 : l'angle de $40°$ en $A$ et l'angle formé en $M$ avec $(\Delta)$ sont alternes-internes.

Conclusion : les droites étant parallèles, ils ont la même mesure.

$$ 40° $$
De la même façon, donner la mesure de l'angle formé en $M$ par $(\Delta)$ et l'autre brin, $\bigl[MB\bigr]$.

La droite $(MB)$ coupe les parallèles $(\Delta)$ et $(d')$ : l'angle cherché est alterne-interne avec l'angle de $30°$ en $B$.

$$ 30° $$
En déduire la mesure de l'angle $\widehat{AMB}$.

La droite $(\Delta)$ partage l'angle $\widehat{AMB}$ en deux angles adjacents, de $40°$ et de $30°$ :

$$ \widehat{AMB} = 40° + 30° $$

$$ \widehat{AMB} = 70° $$
On déplace les deux clous : la ficelle fait maintenant un angle de $35°$ avec $(d)$. Chercher quel angle elle doit faire avec $(d')$ pour que l'angle $\widehat{AMB}$ soit droit.

Le même raisonnement montre que $\widehat{AMB}$ est toujours la somme des deux angles que fait la ficelle avec les étagères. Il faut donc :

$$ 35° + \ldots = 90° $$

$$ 90° - 35° $$

$$ 55° $$

Le jeu des huit angles

Une sécante $(s)$ coupe deux droites $(d)$ et $(d')$ en formant huit angles, numérotés sur la figure. On ne sait pas si $(d)$ et $(d')$ sont parallèles : la figure ne sert qu'à repérer les huit positions.

Les angles $1$ et $7$ mesurent chacun $70°$. Démontrer que $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.

Étape 1 : Démontrer que l'angle $5$ mesure $70°$.

Étape 2 : Nommer la position des angles $1$ et $5$ l'un par rapport à l'autre.

Conclure :

Étape 1 : les angles $5$ et $7$ sont opposés par le sommet : ils ont la même mesure, donc l'angle $5$ mesure aussi $70°$.

Étape 2 : les angles $1$ et $5$ sont correspondants.

Conclusion : ils ont la même mesure. Or, si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.

$$ (d) \parallel (d') $$
On repart de zéro : cette fois, l'angle $4$ mesure $110°$ et l'angle $5$ mesure $70°$. Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles ? Justifier.

Étape 1 : Calculer la mesure de l'angle $3$.

Étape 2 : Nommer la position des angles $3$ et $5$ l'un par rapport à l'autre.

Conclure :

Étape 1 : les angles $3$ et $4$ forment ensemble un angle plat, le long de $(d)$ : ils sont supplémentaires.

$$ 180° - 110° = 70° $$

Étape 2 : les angles $3$ et $5$ sont alternes-internes.

Conclusion : ils mesurent tous les deux $70°$. Or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.

Oui : $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.
On repart encore de zéro. Tom mesure les angles $1$ et $6$ : ils mesurent tous les deux $70°$. Il en conclut que les droites sont parallèles. Trancher.

Étape 1 : Calculer la mesure de l'angle $5$.

Étape 2 : Nommer la position des angles $1$ et $5$ l'un par rapport à l'autre.

Conclure :

Étape 1 : les angles $5$ et $6$ sont supplémentaires, le long de $(d')$ :

$$ 180° - 70° = 110° $$

Étape 2 : les angles $1$ et $5$ sont correspondants.

Conclusion : ils mesurent $70°$ et $110°$. Si les droites étaient parallèles, ces deux angles correspondants auraient la même mesure.

Tom a tort : $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles.
Parmi toutes les paires formées de deux des huit angles, trouver celles pour lesquelles l'égalité des deux mesures suffit à prouver que $(d)$ et $(d')$ sont parallèles. Prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

Étape 1 : Exprimer la mesure de chacun des huit angles à l'aide de la mesure $a$ de l'angle $1$ et de la mesure $b$ de l'angle $5$.

Étape 2 : Donner la condition sur $a$ et $b$ pour que $(d)$ et $(d')$ soient parallèles.

Étape 3 : Étudier les paires de deux angles pris au même point d'intersection.

Étape 4 : Étudier les paires formées d'un angle en haut et d'un angle en bas.

Conclure :

Étape 1 : en chaque point d'intersection, deux angles opposés par le sommet ont la même mesure, et deux angles voisins sont supplémentaires. En haut, les angles $1$ et $3$ mesurent donc un même nombre de degrés $a$, et les angles $2$ et $4$ mesurent $180° - a$. En bas, les angles $5$ et $7$ mesurent $b$, et les angles $6$ et $8$ mesurent $180° - b$.

Étape 2 : les angles $1$ et $5$ sont correspondants : les droites sont parallèles lorsque $a = b$, et seulement dans ce cas.

Étape 3 : pour deux angles du même point, il y a $6$ paires en haut et $6$ en bas. Leur égalité ne porte que sur $a$, ou que sur $b$, et ne dit rien de l'autre point. Elle reste vraie en choisissant $b$ différent de $a$ : elle ne prouve jamais le parallélisme.

Étape 4 : pour un angle en haut et un angle en bas, il y a $4 \times 4 = 16$ paires. Si les deux angles sont de la même sorte - l'un des angles $1$ ou $3$ avec l'un des angles $5$ ou $7$, ou bien l'un des angles $2$ ou $4$ avec l'un des angles $6$ ou $8$ - leur égalité s'écrit $a = b$, ou $180° - a = 180° - b$, ce qui revient au même : les droites sont parallèles. Sinon, elle s'écrit $a = 180° - b$, ce qui ne suffit pas : c'est la situation de Tom, avec $a = 70°$ et $b = 110°$.

Conclusion : toutes les paires ont été passées en revue, et seules celles d'un angle en haut et d'un angle en bas de la même sorte prouvent le parallélisme.

$$ 6 + 6 + 16 = 28 \ \text{paires} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 \times 2 + 2 \times 2 = 8 $$

$$ 8 \ \text{paires} $$

Ce sont les paires d'angles $1$ et $5$, $1$ et $7$, $3$ et $5$, $3$ et $7$, puis $2$ et $6$, $2$ et $8$, $4$ et $6$, $4$ et $8$.

Le tour de la Terre

À midi, le jour du solstice d'été, les rayons du Soleil tombent à la verticale à Syène, en $S$. Au même instant, à Alexandrie, en $A$, $800 \ \text{km}$ plus au nord, ils font un angle de $7.2°$ avec un bâton planté verticalement. Les rayons du Soleil sont parallèles, et la verticale d'un lieu passe par le centre $O$ de la Terre. Sur la figure, les angles sont agrandis.

Démontrer que l'angle $\widehat{AOS}$ mesure $7.2°$.

Étape 1 : Nommer deux droites parallèles de la figure, et la droite qui les coupe en $A$ et en $O$.

Étape 2 : Nommer la position de l'angle de $7.2°$ en $A$ par rapport à l'angle $\widehat{AOS}$.

Conclure :

Étape 1 : le rayon qui arrive en $A$ est parallèle à celui qui arrive en $S$, qui suit la droite $(OS)$. La droite $(OA)$, qui porte le bâton, coupe ces deux parallèles.

Étape 2 : l'angle de $7.2°$ en $A$, entre le bâton et le rayon, et l'angle $\widehat{AOS}$ en $O$ occupent la même position : ils sont correspondants.

Conclusion : les droites étant parallèles, ces deux angles correspondants ont la même mesure.

$$ \widehat{AOS} = 7.2° $$
La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre qui l'intercepte. En déduire la longueur du tour de la Terre.

L'arc de $S$ à $A$ correspond à un angle de $7.2°$, et le tour complet à $360°$ :

$$ 360 \div 7.2 = 50 $$

Le tour de la Terre est donc $50$ fois plus long que l'arc de $800 \ \text{km}$ :

$$ 50 \times 800 $$

$$ 40 \ 000 \ \text{km} $$
Hugo affirme : « Si la Terre était plate, les rayons feraient le même angle avec la verticale à Alexandrie qu'à Syène. » Démontrer qu'il a raison, puis conclure.

Étape 1 : Montrer que, sur une Terre plate, les verticales de Syène et d'Alexandrie seraient parallèles.

Étape 2 : Montrer que le rayon d'Alexandrie serait alors parallèle à la verticale d'Alexandrie.

Étape 3 : Trouver l'angle que ferait ce rayon avec le bâton d'Alexandrie.

Conclure :

Étape 1 : sur une Terre plate, le bâton de Syène et celui d'Alexandrie seraient tous deux perpendiculaires au même sol : les deux verticales seraient parallèles.

Étape 2 : à Syène, le rayon suit la verticale. Le rayon d'Alexandrie, parallèle à celui de Syène, serait donc parallèle à la verticale de Syène, et donc à celle d'Alexandrie : deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.

Étape 3 : passant toutes deux par $A$, ces deux droites parallèles seraient confondues : le rayon suivrait le bâton, et l'angle serait nul, comme à Syène.

Conclusion : or on mesure $7.2°$ à Alexandrie :

Hugo a raison, et la Terre n'est pas plate.
Au même instant, dans une ville $R$ du même méridien, les rayons font un angle de $3.6°$ avec la verticale. On ne sait pas si $R$ est au nord ou au sud de Syène. Trouver toutes les distances possibles entre Alexandrie et $R$.

Comme à la question 1, l'angle $\widehat{SOR}$ mesure $3.6°$, la moitié de $7.2°$. L'arc de $S$ à $R$ est donc la moitié de l'arc de $S$ à $A$ :

$$ 800 \div 2 = 400 \ \text{km} $$

Si $R$ est au sud de Syène, Alexandrie et $R$ sont de part et d'autre de $S$ : les angles $\widehat{AOS}$ et $\widehat{SOR}$ sont adjacents, et les deux arcs se mettent bout à bout.

$$ 800 + 400 = 1 \ 200 \ \text{km} $$

Si $R$ est au nord de Syène, l'angle de $3.6°$ est plus petit que celui de $7.2°$ : $R$ est entre Syène et Alexandrie, et il reste l'autre moitié de l'arc.

$$ 800 - 400 = 400 \ \text{km} $$

$$ 1 \ 200 \ \text{km} \quad \text{ou} \quad 400 \ \text{km} $$