Problèmes sur les angles

La charpente

Deux poutres parallèles sont traversées par une entretoise. L'un des angles formés mesure \(52°\).

1. Donner la mesure de l'angle alterne-interne associé, en citant la propriété utilisée.

   Les deux poutres sont parallèles, donc les angles alternes-internes formés par l'entretoise ont la même mesure.

   $$ 52° $$
2. Donner la mesure de l'angle adjacent à celui de \(52°\) le long d'une poutre.

   Les deux angles forment ensemble un angle plat.

   $$ 180° - 52° $$

   $$ 128° $$
3. Donner la mesure de l'angle opposé par le sommet à celui de \(52°\).

   Deux angles opposés par le sommet ont toujours la même mesure.

   $$ 52° $$

Les rails du tramway

Deux rails sont coupés par une traverse. D'un côté, on mesure un angle de \(68°\) ; de l'autre, l'angle correspondant mesure \(71°\).

1. Les deux rails sont-ils parallèles ? Justifier.

   Si les rails étaient parallèles, les angles correspondants auraient la même mesure.

   $$ 68° \neq 71° $$

   Les rails ne sont donc pas parallèles.

2. De combien faut-il corriger l'un des angles pour rétablir le parallélisme ?
   $$ 71° - 68° $$

   $$ 3° $$

Le cerf-volant

Les baguettes d'un cerf-volant se croisent en formant quatre angles. L'un d'eux mesure \(37°\).

1. Donner les mesures des trois autres angles.

   L'angle opposé par le sommet vaut aussi \(37°\) ; les deux autres sont supplémentaires.

   $$ 180° - 37° = 143° $$

   $$ 37° \ ; \ 143° \ ; \ 37° \ ; \ 143° $$
2. Vérifier que la somme des quatre angles vaut bien un tour complet.
   $$ 37 + 143 + 37 + 143 $$

   $$ 360° $$

La rédaction d'une démonstration

Deux droites \(d\) et \(d'\) sont coupées par une sécante. Un angle alterne-interne mesure \(63°\), et son alterne-interne mesure lui aussi \(63°\).

1. Rédiger la démonstration établissant que \(d\) et \(d'\) sont parallèles.

   On énonce d'abord ce que l'on sait, puis la propriété, puis la conclusion.

   Les deux angles alternes-internes formés par la sécante ont la même mesure. Or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles. Donc \(d\) et \(d'\) sont parallèles.

2. Quelle propriété aurait-on utilisée si l'on avait su d'avance que \(d\) et \(d'\) sont parallèles, et qu'on avait cherché le second angle ?

   On aurait utilisé la propriété directe, et non sa réciproque : « si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes-internes ont la même mesure ».

   Les deux énoncés se ressemblent, mais l'un part du parallélisme et l'autre y aboutit.