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Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Les propriétés caractéristiques
Chacune de ces propriétés suffit, à elle seule, à reconnaître un parallélogramme.
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Par les côtés
Les côtés opposés ont deux à deux la même longueur.
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Par les diagonales
Les diagonales se coupent en leur milieu.
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Par un couple de côtés
Deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.
Il ne suffit pas que deux côtés opposés aient la même longueur : le trapèze isocèle vérifie cela sans être un parallélogramme. Il faut aussi le parallélisme.
Un centre de symétrie
Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme. La figure est sa propre image par le demi-tour autour de ce point.
Conséquence : les angles opposés ont la même mesure, et deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Construire un parallélogramme
Chaque propriété caractéristique donne une méthode de construction.
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Par le milieu des diagonales
On trace une diagonale, on marque son milieu, puis on construit le symétrique du troisième sommet par rapport à ce point.
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Au compas
On reporte les longueurs des côtés opposés depuis les deux sommets déjà placés.
Les parallélogrammes particuliers
Figure |
Propriété supplémentaire |
Ses diagonales |
|---|---|---|
Rectangle |
Quatre angles droits |
Ont la même longueur |
Losange |
Quatre côtés de même longueur |
Sont perpendiculaires |
Carré |
Les deux à la fois |
Même longueur et perpendiculaires |
Le carré est à la fois un rectangle et un losange. Toute propriété du rectangle ou du losange s'y applique donc.
L'aire d'un parallélogramme
L'aire
La hauteur est la distance entre la base et le côté qui lui est parallèle, mesurée perpendiculairement.
Exemple : base \(9 \text{ cm}\), hauteur \(4 \text{ cm}\) :
La hauteur n'est pas la longueur du côté oblique : ce côté est toujours plus long que la hauteur, sauf si le parallélogramme est un rectangle.
Les aires des figures particulières
Figure |
Aire |
|---|---|
Rectangle |
\(\mathcal{A} = L \times l\) |
Carré de côté \(c\) |
\(\mathcal{A} = c^2\) |
Losange de diagonales \(d\) et \(d'\) |
\(\mathcal{A} = \dfrac{d \times d'}{2}\) |
Une figure complexe se décompose en figures usuelles dont on additionne les aires, ou se voit comme une figure simple privée d'une autre, et l'on soustrait.
Les unités d'aire
D'une unité d'aire à la suivante, on multiplie ou divise par \(100\) , car chaque dimension est multipliée par \(10\).
Pour les terrains, on emploie l'are et l'hectare :