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Des côtés parallèles deux à deux : les propriétés du parallélogramme, ses cas particuliers, puis son aire.
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Reconnaître un parallélogramme par ses côtés ou par ses diagonales
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Construire un parallélogramme à la règle et au compas
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Connaître les propriétés du rectangle, du losange et du carré
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Calculer l'aire d'un parallélogramme et d'une figure composée
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Convertir des unités d'aire
Une grille de portail extensible s'ouvre et se referme : ses losanges s'étirent, mais leurs côtés restent parallèles deux à deux.
Elle est souple, là où une charpente en triangles reste rigide.
Un parallélogramme se reconnaît à ses côtés parallèles, et se démontre par ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Les propriétés caractéristiques
Chacune de ces propriétés suffit à reconnaître un parallélogramme.
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Par les côtés
Les côtés opposés ont deux à deux la même longueur.
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Par les diagonales
Les diagonales se coupent en leur milieu.
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Par un couple de côtés
Deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.
Deux côtés opposés de même longueur ne suffisent pas : c'est le cas du trapèze isocèle.
Un centre de symétrie
Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.
Conséquence : les angles opposés ont la même mesure, et deux angles consécutifs sont supplémentaires.
Construire un parallélogramme
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Par le milieu des diagonales
On trace une diagonale, on marque son milieu, puis on construit le symétrique du troisième sommet par rapport à ce point.
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Au compas
On reporte les longueurs des côtés opposés depuis les deux sommets déjà placés.
Les parallélogrammes particuliers
Figure |
Propriété supplémentaire |
Ses diagonales |
|---|---|---|
Rectangle |
Quatre angles droits |
Ont la même longueur |
Losange |
Quatre côtés de même longueur |
Sont perpendiculaires |
Carré |
Les deux à la fois |
Même longueur et perpendiculaires |
Le carré est à la fois un rectangle et un losange : il en a toutes les propriétés.
L'aire d'un parallélogramme
L'aire
L'aire d'un parallélogramme vaut :
La hauteur est la distance entre la base et le côté qui lui est parallèle, mesurée perpendiculairement.
Exemple : base \(9 \text{ cm}\), hauteur \(4 \text{ cm}\) :
La hauteur n'est pas la longueur du côté oblique.
Les aires des figures particulières
Figure |
Aire |
|---|---|
Rectangle |
\(\mathcal{A} = L \times l\) |
Carré de côté \(c\) |
\(\mathcal{A} = c^2\) |
Losange de diagonales \(d\) et \(d'\) |
\(\mathcal{A} = \frac{d \times d'}{2}\) |
Pour une figure complexe, on additionne les aires des figures usuelles qui la composent, ou l'on soustrait l'aire d'une figure retirée.
Les unités d'aire
D'une unité d'aire à la suivante, on multiplie ou divise par \(100\).
Pour les terrains, on emploie l'are et l'hectare :