Problèmes sur le repérage en cinquième

Une chasse au trésor, un rectangle incomplet, un robot dans un jardin : les coordonnées disent où se trouve ce qu'on cherche.

Lire et placer des points dans un repère, sans inverser abscisse et ordonnée
Compléter une figure à partir de coordonnées
Retrouver le pas d'une droite graduée

La chasse au trésor

Sur un plan muni d'un repère orthogonal, quatre indices sont placés aux points suivants :

$$ A \ (3 \ ; \ 2) \hspace{2em} B \ (-4 \ ; \ 1) \hspace{2em} C \ (-2 \ ; \ {-}3) \hspace{2em} D \ (5 \ ; \ {-}1) $$

Placer ces quatre points dans le repère ci-dessous.
Quel indice se trouve le plus à gauche ? Lequel se trouve le plus bas ?

Le plus à gauche est celui dont l'abscisse est la plus petite, le plus bas celui dont l'ordonnée est la plus petite.

$$ \text{le plus à gauche : } B \hspace{2em} \text{le plus bas : } C $$
Le trésor est au point $T$, symétrique de $A$ par rapport à l'origine $O$. Donner ses coordonnées.

Pour aller de $O$ à $A$, on fait $3$ unités vers la droite puis $2$ vers le haut. $T$ est à la même distance de $O$, de l'autre côté : $3$ unités vers la gauche, puis $2$ vers le bas.

$$ T \ (-3 \ ; \ {-}2) $$

Le rectangle incomplet

Dans un repère, trois sommets d'un rectangle $PQRS$ sont $P \ (-2 \ ; \ 1)$, $Q \ (4 \ ; \ 1)$ et $R \ (4 \ ; \ 5)$.

Placer $P$, $Q$ et $R$ dans le repère ci-dessous, puis placer le quatrième sommet $S$ et tracer le rectangle. Donner les coordonnées de $S$.

$S$ est à la même hauteur que $R$, donc de même ordonnée, et sur la même verticale que $P$, donc de même abscisse.

$$ S \ (-2 \ ; \ 5) $$
Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle.

$$ PQ = 4 - (-2) = 6 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} QR = 5 - 1 = 4 $$

$$ 6 \text{ unités sur } 4 \text{ unités} $$
En déduire l'aire et le périmètre de ce même rectangle.

$$ \mathcal{A} = 6 \times 4 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \mathcal{P} = 2 \times (6 + 4) $$

$$ \mathcal{A} = 24 \text{ unités d'aire} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \mathcal{P} = 20 \text{ unités} $$

Une graduation à retrouver

Sur une droite graduée, le point d'abscisse $-6$ et le point d'abscisse $9$ sont séparés par $5$ intervalles de même longueur.

Quelle est la longueur d'un intervalle ?

$$ 9 - (-6) = 15 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 15 \div 5 $$

$$ 3 $$
Écrire sur la droite graduée les abscisses des quatre graduations situées entre ces deux points.

Cinq intervalles laissent quatre graduations entre les deux extrémités. On ajoute $3$ à chaque étape en partant de $-6$ :

$$ -3 \ ; \ 0 \ ; \ 3 \ ; \ 6 $$

Un pas de plus donne bien $6 + 3 = 9$, ce qui permet de vérifier le calcul.

Les coordonnées de Tom

Tom a lu les coordonnées des quatre points de ce repère et a écrit : $E \ (2 \ ; \ {-}3)$, $F \ (4 \ ; \ {-}1)$, $G \ (-3 \ ; \ 0)$ et $H \ (0 \ ; \ {-}2)$.

Repérer les lectures fausses de Tom, puis les corriger.

Seul $F$ est juste. Pour les trois autres, Tom a écrit l'ordonnée avant l'abscisse : or on lit d'abord sur l'axe horizontal.

$$ E \ (-3 \ ; \ 2) \hspace{2em} G \ (0 \ ; \ {-}3) \hspace{2em} H \ (-2 \ ; \ 0) $$
Tom remarque qu'avec certains points, inverser les deux nombres ne change rien. Donner deux points de ce genre, et dire ce qu'ils ont de particulier.

Il faut que l'abscisse et l'ordonnée soient égales, par exemple :

$$ (2 \ ; \ 2) \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} (-1 \ ; \ {-}1) $$

L'origine $O \ (0 \ ; \ 0)$ convient aussi.

Le robot tondeuse

Un jardin rectangulaire est tracé dans un repère dont l'unité est le mètre. Ses sommets sont $J \ (-4 \ ; \ {-}2)$, $K \ (5 \ ; \ {-}2)$, $L \ (5 \ ; \ 3)$ et $M \ (-4 \ ; \ 3)$. Un robot tondeuse y travaille sans jamais en sortir.

Placer les points $J$, $K$, $L$ et $M$, puis tracer le jardin.
Le robot signale sa position : $R \ (3.5 \ ; \ {-}2.5)$. Est-il dans le jardin ? Justifier à l'aide des coordonnées.

Un point du jardin a une abscisse comprise entre $-4$ et $5$, et une ordonnée comprise entre $-2$ et $3$. L'abscisse de $R$ convient, mais son ordonnée $-2.5$ est plus petite que $-2$ : $R$ est sous le côté $\bigl[JK\bigr]$.

$$ \text{le robot est sorti du jardin} $$
Remis au point $P \ (-1 \ ; \ 1)$, le robot avance de $7 \ \text{m}$ vers la droite, puis de $3 \ \text{m}$ vers le bas. Donner les coordonnées de son point d'arrivée. Est-il encore dans le jardin ?

Vers la droite, l'abscisse augmente : $-1 + 7 = 6$. Vers le bas, l'ordonnée diminue : $1 - 3 = -2$.

$$ (6 \ ; \ {-}2) $$

Son abscisse $6$ dépasse $5$ : le robot est sorti du jardin, à droite du côté $\bigl[KL\bigr]$.
On plante un piquet d'arrosage en chaque point du jardin, bords compris, dont les deux coordonnées sont des nombres entiers. Chercher combien il en faut.

Les abscisses entières de $-4$ à $5$ sont au nombre de $4 + 1 + 5 = 10$ : les quatre négatives, zéro, et les cinq positives.

Les ordonnées entières de $-2$ à $3$ sont au nombre de $2 + 1 + 3 = 6$.

Chaque abscisse se combine avec chaque ordonnée : les piquets forment $10$ colonnes de $6$ piquets.

$$ 10 \times 6 $$

$$ 60 \ \text{piquets} $$

Le cavalier dans le repère

Aux échecs, le cavalier saute en « L » : $2$ unités dans une direction, horizontale ou verticale, puis $1$ unité perpendiculairement. Dans ce repère sans bord, il part de l'origine $O$.

Placer dans le repère les huit points que le cavalier peut atteindre en un saut, puis donner leurs coordonnées.

Deux unités à l'horizontale puis une à la verticale, ou l'inverse, vers la droite ou vers la gauche, vers le haut ou vers le bas :

$$ \begin{gather*} (2 \ ; \ 1) \hspace{2em} (2 \ ; \ {-}1) \hspace{2em} (-2 \ ; \ 1) \hspace{2em} (-2 \ ; \ {-}1) \\ (1 \ ; \ 2) \hspace{2em} (1 \ ; \ {-}2) \hspace{2em} (-1 \ ; \ 2) \hspace{2em} (-1 \ ; \ {-}2) \end{gather*} $$
Le cavalier peut-il atteindre le point $A \ (1 \ ; \ 0)$ en un saut ? En deux sauts ? Justifier, puis trouver le plus petit nombre de sauts qui y mène.

Étape 1 : Chercher $A$ parmi les points atteints en un saut.

Étape 2 : Calculer de combien un saut change la somme de l'abscisse et de l'ordonnée.

Étape 3 : Suivre cette somme saut après saut, et la comparer à celle de $A$.

Étape 4 : Trouver un chemin qui mène à $A$ en aussi peu de sauts que possible.

Conclure :

Étape 1 : en un saut, non : $A$ ne fait pas partie des huit points de la question précédente.

Étape 2 : pour deux sauts, on suit la somme de l'abscisse et de l'ordonnée. Elle vaut $0$ en $O$. D'après la liste des huit sauts, un saut l'augmente ou la diminue de $1$ ou de $3$ : d'un nombre impair.

$$ 2 + 1 = 3 \hspace{2em} 2 + (-1) = 1 \hspace{2em} -2 + 1 = -1 \hspace{2em} -2 + (-1) = -3 $$

Les quatre sauts de la seconde ligne donnent les mêmes sommes.

Étape 3 : après un saut, la somme est donc impaire ; après deux sauts, paire ; après trois, impaire, et ainsi de suite. Pour $A$, elle vaut $1 + 0 = 1$, un nombre impair : il faut un nombre impair de sauts, et deux sauts ne suffisent pas.

$$ \text{ni en un saut, ni en deux sauts} $$

Étape 4 : un chemin de trois sauts mène à $A$ :

$$ O \ (0 \ ; \ 0) \longrightarrow (1 \ ; \ 2) \longrightarrow (3 \ ; \ 1) \longrightarrow A \ (1 \ ; \ 0) $$

Conclusion : il faut au moins trois sauts, et trois sauts suffisent.

$$ 3 \ \text{sauts au minimum} $$
Combien de sauts faut-il, au minimum, pour atteindre $B \ (7 \ ; \ 7)$ ? Prouver qu'on ne peut pas faire moins.

Étape 1 : Trouver combien de sauts il faut au moins pour que la somme des coordonnées atteigne celle de $B$.

Étape 2 : Vérifier si ce nombre de sauts respecte la règle trouvée à la question précédente.

Étape 3 : Trouver un chemin qui mène à $B$ en aussi peu de sauts que possible.

Conclure :

Étape 1 : la somme de l'abscisse et de l'ordonnée doit passer de $0$ à $7 + 7 = 14$, et un saut l'augmente de $3$ au plus. Quatre sauts l'amènent au mieux à $4 \times 3 = 12$, ce qui ne suffit pas : il faut au moins cinq sauts.

Étape 2 : $14$ est pair, donc le nombre de sauts est pair, d'après la question précédente. Cinq sauts sont exclus : il en faut au moins six.

Étape 3 : un chemin de six sauts mène à $B$ :

$$ O \longrightarrow (1 \ ; \ 2) \longrightarrow (2 \ ; \ 4) \longrightarrow (4 \ ; \ 5) $$

$$ \longrightarrow (6 \ ; \ 6) \longrightarrow (8 \ ; \ 5) \longrightarrow B \ (7 \ ; \ 7) $$

Conclusion : il faut au moins six sauts, et six sauts suffisent.

$$ 6 \ \text{sauts au minimum} $$

Deux bateaux sur l'écran radar

Sur l'écran radar d'un port, muni d'un repère, deux bateaux avancent en ligne droite. Pour chacun, l'abscisse change chaque minute du même nombre, et l'ordonnée aussi.

Calculer de combien l'abscisse et l'ordonnée du voilier changent en une minute, puis faire de même pour le chalutier.

Le voilier : de $14\text{h}02$ à $14\text{h}05$, trois minutes passent. Son abscisse passe de $-7$ à $2$, et son ordonnée de $5$ à $-1$ :

$$ 2 - (-7) = 9 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 5 - (-1) = 6 $$

$$ 9 \div 3 = 3 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 6 \div 3 = 2 $$

$$ \text{voilier : } 3 \text{ vers la droite et } 2 \text{ vers le bas, chaque minute} $$

Le chalutier : de $14\text{h}02$ à $14\text{h}04$, deux minutes passent. Son abscisse passe de $-1$ à $5$, et son ordonnée de $9$ à $1$ :

$$ 5 - (-1) = 6 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 9 - 1 = 8 $$

$$ 6 \div 2 = 3 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 8 \div 2 = 4 $$

$$ \text{chalutier : } 3 \text{ vers la droite et } 4 \text{ vers le bas, chaque minute} $$

Vérification : à $14\text{h}03$ puis $14\text{h}04$, le voilier passe en $(-4 \ ; \ 3)$ puis en $(-1 \ ; \ 1)$. Placés sur l'écran, ces points s'alignent avec les deux positions relevées.
À quelle heure, et en quel point, le voilier coupe-t-il l'axe des abscisses ?

Minute par minute, l'ordonnée du voilier vaut $5$, $3$, puis $1$ à $14\text{h}04$, et $-1$ à $14\text{h}05$. Elle vaut $0$ à mi-chemin, une demi-minute après $14\text{h}04$.

Pendant cette demi-minute, l'abscisse augmente de la moitié de $3$ :

$$ -1 + 1.5 = 0.5 $$

$$ 14\text{h}04 \text{ min } 30 \text{ s} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} (0.5 \ ; \ 0) $$
Le voilier garde son cap. Passera-t-il sur la bouée $E \ (41 \ ; \ {-}27)$ ? Sur la bouée $F \ (50 \ ; \ {-}34)$ ? Justifier.

Étape 1 : Trouver au bout de combien de minutes l'abscisse du voilier vaut $41$, puis son ordonnée à cet instant.

Étape 2 : Trouver de même au bout de combien de minutes son abscisse vaut $50$, puis son ordonnée à cet instant.

Conclure :

Étape 1 : pour la bouée $E$, l'abscisse du voilier doit passer de $-7$ à $41$, à raison de $3$ par minute.

$$ 41 - (-7) = 48 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 48 \div 3 = 16 \ \text{minutes} $$

Pendant ces $16$ minutes, son ordonnée diminue de $16 \times 2 = 32$ :

$$ 5 - 32 = -27 $$

Étape 2 : pour la bouée $F$, l'abscisse vaut $50$ au bout de $\bigl(50 - (-7)\bigr) \div 3 = 19$ minutes, et à ce seul moment, puisqu'elle ne cesse d'augmenter. L'ordonnée vaut alors $5 - 19 \times 2 = -33$.

Conclusion : au bout de $16$ minutes, le voilier est exactement sur $E$ ; au bout de $19$ minutes, son ordonnée vaut $-33$, et non $-34$ :

$$ \text{le voilier passe sur } E \text{ à } 14\text{h}18 $$

$$ \text{le voilier passe à côté de } F \text{, une unité au-dessus} $$
Les deux trajectoires se coupent au point $K \ (11 \ ; \ {-}7)$. Léa affirme : « Les deux bateaux vont se heurter en $K$. » Trancher, puis dire de combien de minutes le chalutier aurait dû passer plus tard pour que Léa ait raison.

Étape 1 : Calculer l'heure à laquelle le voilier passe en $K$.

Étape 2 : Calculer l'heure à laquelle le chalutier passe en $K$.

Étape 3 : Justifier que les bateaux ne peuvent se rencontrer nulle part ailleurs qu'en $K$.

Conclure :

Étape 1 : l'abscisse du voilier passe de $-7$ à $11$, soit $18 \div 3 = 6$ minutes, et son ordonnée devient bien $5 - 6 \times 2 = -7$. Il est en $K$ à $14\text{h}08$.

Étape 2 : l'abscisse du chalutier passe de $-1$ à $11$, soit $12 \div 3 = 4$ minutes, et son ordonnée devient bien $9 - 4 \times 4 = -7$. Il est en $K$ à $14\text{h}06$.

Étape 3 : deux trajectoires en ligne droite qui se coupent n'ont que ce point en commun : les bateaux ne peuvent se rencontrer nulle part ailleurs.

Conclusion : pour se heurter, les bateaux devraient être en $K$ au même instant, ce qui n'est pas le cas.

$$ \text{Léa se trompe : le chalutier passe en } K \text{ deux minutes avant le voilier} $$

Avec deux minutes de retard sur tout son trajet, le chalutier serait en $K$ à $14\text{h}08$, en même temps que le voilier.

$$ 2 \ \text{minutes plus tard} $$