La représentation de l'espace en cinquième

Représenter un solide sur une feuille, puis calculer l'aire d'un disque et le volume des solides usuels.

Dessiner un solide en perspective cavalière
Reconnaître et construire le patron d'un prisme droit ou d'un cylindre
Calculer le périmètre et l'aire d'un disque
Calculer le volume d'un pavé droit, d'un prisme droit ou d'un cylindre
Convertir des unités de volume et de capacité

La notice d'un meuble en kit montre le meuble fini en perspective, et chaque planche à plat, avec ses mesures.

Sur le dessin en perspective, les planches de même longueur ne sont pas dessinées de la même taille.

Une perspective déforme pour montrer le volume : ce qui fuit vers le fond n'est plus à l'échelle.

La perspective cavalière

Elle suit trois règles.

Les faces de devant gardent leur forme

Elles sont dessinées en vraie grandeur.
Les arêtes fuyantes sont parallèles entre elles

Elles sont tracées obliquement, et leur longueur est réduite.
Les arêtes cachées se dessinent en pointillés

Ce sont celles qu'on ne verrait pas si le solide était opaque.

Le parallélisme est conservé, pas les angles droits.

Le patron d'un solide

Un patron

Un patron est une figure plane qui, après pliage, reconstitue le solide sans recouvrement ni manque.

Un prisme droit a deux bases superposables et des faces latérales rectangulaires. Le patron d'un cylindre de révolution est formé de deux disques et d'un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque.

L'aire du disque

Périmètre et aire du disque

Le périmètre et l'aire se calculent à partir du rayon :

$$ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times R $$

$$ \mathcal{A} = \pi \times R^2 $$

où $R$ désigne le rayon du disque.

Exemple : pour un disque de rayon $5 \text{ cm}$ :

$$ \mathcal{A} = \pi \times 5^2 = 25\pi $$

$$ \mathcal{A} \approx 78.5 \text{ cm}^2 $$

Le périmètre s'exprime en centimètres, l'aire en centimètres carrés. On utilise le rayon, pas le diamètre.

Le volume des solides usuels

Solide	Volume
Cube d'arête $a$	$V = a^3$
Pavé droit de dimensions $L$, $l$, $h$	$V = L \times l \times h$
Prisme droit	$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
Cylindre de révolution	$V = \pi \times R^2 \times h$

Les formules de volume

Pour les trois derniers, le volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur.

Exemple : un cylindre de rayon $3 \text{ cm}$ et de hauteur $10 \text{ cm}$ :

$$ V = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi $$

$$ V \approx 282.7 \text{ cm}^3 $$

Les unités de volume et de capacité

On passe des unités de volume aux unités de capacité par une seule égalité :

$$ 1 \Bigl[ \text{dm}^3 \Bigr] = 1 \bigl[ \text{L} \bigr] $$

D'une unité de volume à la suivante, on multiplie ou divise par $1\,000$, et non par $10$.

Volume	Capacité
$1 \text{ cm}^3$	$1 \text{ mL}$
$1 \text{ dm}^3$	$1 \text{ L}$
$1 \text{ m}^3$	$1\,000 \text{ L}$

Correspondances usuelles

Solide	Volume
Cube d'arête \(a\)	\(V = a^3\)
Pavé droit de dimensions \(L\), \(l\), \(h\)	\(V = L \times l \times h\)
Prisme droit	\(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
Cylindre de révolution	\(V = \pi \times R^2 \times h\)

Volume	Capacité
\(1 \text{ cm}^3\)	\(1 \text{ mL}\)
\(1 \text{ dm}^3\)	\(1 \text{ L}\)
\(1 \text{ m}^3\)	\(1\,000 \text{ L}\)