La représentation de l'espace

La perspective cavalière

La perspective cavalière est une manière de dessiner un solide sur une feuille plane. Elle obéit à trois règles.

Les faces de devant gardent leur forme

Elles sont dessinées en vraie grandeur.
Les arêtes fuyantes sont parallèles entre elles

Elles sont tracées obliquement, et leur longueur est réduite.
Les arêtes cachées se dessinent en pointillés

Ce sont celles qu'on ne verrait pas si le solide était opaque.

Un pavé droit en perspective cavalière — Un pavé droit $ABCDEFGH$ : les trois arêtes issues de $E$ sont cachées

Ce qui est parallèle dans la réalité reste parallèle sur le dessin ; en revanche, les angles droits et les longueurs des fuyantes ne sont pas respectés.

Le patron d'un solide

Un patron

Un patron est une figure plane qui, après pliage, reconstitue le solide sans recouvrement ni manque.

Patron d'un prisme droit à base triangulaire — Le patron d'un prisme droit : deux bases identiques et trois faces rectangulaires

Un prisme droit a deux bases superposables et des faces latérales rectangulaires. Le cylindre de révolution en est le cas limite : son patron est formé de deux disques et d'un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque .

L'aire du disque

Périmètre et aire du disque

$$ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times r $$

$$ \mathcal{A} = \pi \times r^2 $$

où $r$ désigne le rayon du disque.

Exemple : pour un disque de rayon $5 \text{ cm}$ :

$$ \mathcal{A} = \pi \times 5^2 = 25\pi $$

$$ \mathcal{A} \approx 78.5 \text{ cm}^2 $$

Le périmètre s'exprime en centimètres, l'aire en centimètres carrés. Une aire fait intervenir un carré, jamais le diamètre à la place du rayon.

Le volume des solides usuels

Solide	Volume
Cube d'arête $a$	$V = a^3$
Pavé droit de dimensions $L$, $l$, $h$	$V = L \times l \times h$
Prisme droit	$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
Cylindre de révolution	$V = \pi \times r^2 \times h$

Les formules de volume

Les trois derniers cas obéissent à la même idée : le volume d'un solide droit est l'aire de sa base multipliée par sa hauteur.

Exemple : un cylindre de rayon $3 \text{ cm}$ et de hauteur $10 \text{ cm}$ :

$$ V = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi $$

$$ V \approx 282.7 \text{ cm}^3 $$

Les unités de volume et de capacité

Deux familles d'unités cohabitent : celles de volume, en $\text{m}^3$, et celles de capacité, en litres. Le passage de l'une à l'autre repose sur une seule égalité à retenir.

$$ 1 \Bigl[ \text{dm}^3 \Bigr] = 1 \Bigl[ \text{L} \Bigr] $$

D'un multiple de volume au suivant, on multiplie ou divise par $1\,000$ , et non par $10$ : chaque dimension est multipliée par $10$, donc le volume par $10^3$.

Volume	Capacité
$1 \text{ cm}^3$	$1 \text{ mL}$
$1 \text{ dm}^3$	$1 \text{ L}$
$1 \text{ m}^3$	$1\,000 \text{ L}$

Correspondances usuelles

Solide	Volume
Cube d'arête \(a\)	\(V = a^3\)
Pavé droit de dimensions \(L\), \(l\), \(h\)	\(V = L \times l \times h\)
Prisme droit	\(V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h\)
Cylindre de révolution	\(V = \pi \times r^2 \times h\)

Volume	Capacité
\(1 \text{ cm}^3\)	\(1 \text{ mL}\)
\(1 \text{ dm}^3\)	\(1 \text{ L}\)
\(1 \text{ m}^3\)	\(1\,000 \text{ L}\)