Problèmes sur la représentation de l'espace

L'aquarium

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de \(80 \ \text{cm}\) de longueur, \(35 \ \text{cm}\) de largeur et \(45 \ \text{cm}\) de hauteur.

1. Calculer son volume en centimètres cubes.
   $$ V = 80 \times 35 \times 45 $$

   $$ V = 126\,000 \ \text{cm}^3 $$
2. Combien de litres d'eau peut-il contenir au maximum ?

   Comme \(1\,000 \ \text{cm}^3 = 1 \ \text{L}\) :

   $$ 126 \ \text{L} $$
3. On ne le remplit qu'aux quatre cinquièmes. Quel volume d'eau cela représente-t-il ? Sur la figure, tracer le niveau de l'eau, puis colorier l'eau en bleu.
   $$ 126 \div 5 = 25.2 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 25.2 \times 4 $$

   $$ 100.8 \ \text{L} $$

   Le niveau de l'eau est à la quatrième graduation en partant du fond, soit à \(36 \ \text{cm}\) de hauteur.

La boîte de conserve

Une boîte de conserve est un cylindre de révolution de rayon \(4 \ \text{cm}\) et de hauteur \(11 \ \text{cm}\).

1. Calculer l'aire de sa base, en valeur exacte puis arrondie au dixième.
   $$ \mathcal{A} = \pi \times 4^2 = 16\pi $$

   $$ \mathcal{A} \approx 50.3 \ \text{cm}^2 $$
2. En déduire son volume.
   $$ V = 16\pi \times 11 = 176\pi $$

   $$ V \approx 552.9 \ \text{cm}^3 $$
3. L'étiquette entoure exactement la surface latérale. Quelle est sa longueur ? Sur le patron de la boîte ci-dessous, colorier l'étiquette et y écrire ses deux dimensions.

   La longueur de l'étiquette est le périmètre du disque de base.

   $$ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi $$

   $$ \mathcal{P} \approx 25.1 \ \text{cm} $$

La tente de camping

Une tente a la forme d'un prisme droit dont la base est un triangle de \(2 \ \text{m}\) de base et \(1.5 \ \text{m}\) de hauteur. Sa longueur est de \(3 \ \text{m}\).

1. Calculer l'aire de la base.
   $$ \mathcal{A} = \frac{2 \times 1.5}{2} $$

   $$ \mathcal{A} = 1.5 \ \text{m}^2 $$
2. En déduire le volume intérieur de la tente.
   $$ V = 1.5 \times 3 $$

   $$ V = 4.5 \ \text{m}^3 $$
3. Exprimer ce volume en litres.

   Comme \(1 \ \text{m}^3 = 1\,000 \ \text{L}\) :

   $$ 4\,500 \ \text{L} $$
4. Voici le début du patron de cette même tente, sur un quadrillage où un carreau représente \(25 \ \text{cm}\). Compléter ce patron en traçant les deux faces triangulaires.

   Un mètre vaut \(4\) carreaux. Chaque triangle a pour base un bord du sol, \(2 \ \text{m}\), soit \(8\) carreaux, et pour hauteur \(1.5 \ \text{m}\), soit \(6\) carreaux : son sommet est à \(6\) carreaux du milieu de ce bord.

Deux récipients

Un cube d'arête \(10 \ \text{cm}\) et un cylindre de rayon \(5 \ \text{cm}\) et de hauteur \(10 \ \text{cm}\) sont posés côte à côte.

1. Sans calculer, dire lequel a le plus grand volume. Justifier.

   Étape 1 : Comparer les hauteurs des deux récipients.

   Étape 2 : Dans le carré ci-dessous, qui représente la base du cube vue de dessus, tracer la base du cylindre posé en son centre, puis comparer les aires des deux bases, sans les calculer.

   Conclure :

   Étape 1 : les deux ont la même hauteur.

   Étape 2 : le disque de rayon \(5 \ \text{cm}\) est inscrit dans le carré de côté \(10 \ \text{cm}\), donc son aire est plus petite.

   Conclusion : à hauteur égale, le récipient dont la base est la plus petite a le plus petit volume.

   $$ \text{le cube a le plus grand volume} $$
2. Vérifier par le calcul, et donner le rapport des deux volumes arrondi au centième.
   $$ V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000 \ \text{cm}^3 $$

   $$ V_{\text{cyl}} = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi \approx 785.4 \ \text{cm}^3 $$

   $$ \frac{250\pi}{1\,000} \approx 0.79 $$

   Le cylindre occupe environ \(79 \ \%\) du volume du cube.

La brique de jus de fruits

Une brique de jus de fruits a la forme d'un pavé droit et contient exactement \(1 \ \text{L}\).

1. Léo affirme : « Cette brique contient \(100 \ \text{cm}^3\), puisque \(1 \ \text{dm} = 10 \ \text{cm}\) et \(10 \times 10 = 100\). » Repérer son erreur et corriger sa réponse.

   Un litre vaut bien \(1 \ \text{dm}^3\), mais un décimètre cube est un cube de \(10 \ \text{cm}\) de côté : ses trois dimensions sont multipliées par \(10\). Léo n'en a compté que deux.

   $$ 1 \ \text{dm}^3 = 10 \times 10 \times 10 \ \text{cm}^3 $$

   $$ 1 \ \text{L} = 1 \ 000 \ \text{cm}^3 $$
2. La base de cette même brique est un rectangle de \(5 \ \text{cm}\) sur \(8 \ \text{cm}\). Calculer la hauteur de la brique.

   L'aire de la base vaut \(5 \times 8 = 40 \ \text{cm}^2\). Le volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur \(h\) :

   $$ 40 \times h = 1 \ 000 $$

   $$ h = 1 \ 000 \div 40 $$

   $$ h = 25 \ \text{cm} $$
3. Voici les quatre faces latérales de cette même brique, sur un quadrillage où un carreau représente \(2 \ \text{cm}\). Compléter le patron en traçant ses deux bases.

   Chaque base est un rectangle de \(8 \ \text{cm}\) sur \(5 \ \text{cm}\), soit \(4\) carreaux sur \(2.5\) carreaux, accolé par son grand côté à un bord de \(8 \ \text{cm}\) : une en haut, une en bas. Une solution :

   Les faces latérales mesurent \(12.5\) carreaux de haut, soit \(25 \ \text{cm}\) : c'est bien la hauteur trouvée.

La boîte de chocolats

Voici le patron d'une boîte de chocolats, dessiné en réduction. Les deux triangles sont rectangles, de côtés \(3 \ \text{cm}\), \(4 \ \text{cm}\) et \(5 \ \text{cm}\).

1. Nommer le solide obtenu après pliage, et justifier à l'aide du patron.

   Le patron comporte deux triangles superposables, qui seront les deux bases, et des faces latérales rectangulaires.

   $$ \text{un prisme droit à base triangulaire} $$
2. Les trois rectangles forment une bande qui fait le tour de la boîte. Calculer la longueur de cette bande, puis son aire.

   Une fois pliée, la bande entoure le triangle : sa longueur est le périmètre de la base.

   $$ 3 + 4 + 5 = 12 \ \text{cm} $$

   $$ 12 \times 10 $$

   $$ 12 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 120 \ \text{cm}^2 $$
3. Calculer le volume de cette boîte.

   La base est un triangle rectangle : son aire est la moitié de celle du rectangle de \(3 \ \text{cm}\) sur \(4 \ \text{cm}\).

   $$ \mathcal{A}_{\text{base}} = \frac{3 \times 4}{2} = 6 \ \text{cm}^2 $$

   $$ V = 6 \times 10 $$

   $$ V = 60 \ \text{cm}^3 $$
4. Le fabricant veut une boîte de \(0.12 \ \text{L}\) avec les mêmes triangles. Chercher la longueur qu'il doit donner aux rectangles.

   On convertit d'abord : \(0.12 \ \text{L} = 120 \ \text{cm}^3\). L'aire de la base reste \(6 \ \text{cm}^2\), et la longueur \(h\) doit vérifier :

   $$ 6 \times h = 120 $$

   $$ h = 120 \div 6 $$

   $$ h = 20 \ \text{cm} $$

Le rouleau d'essuie-mains

Dans le distributeur du collège, le papier forme un rouleau de \(28 \ \text{cm}\) de diamètre et de \(20 \ \text{cm}\) de largeur, serré autour d'un tube vide de \(4 \ \text{cm}\) de diamètre. Le papier a une épaisseur de \(0.2 \ \text{mm}\).

1. Calculer l'aire de la face colorée du rouleau, en valeur exacte puis arrondie au dixième.

   La face est un disque de rayon \(14 \ \text{cm}\), privé du disque de rayon \(2 \ \text{cm}\) qu'occupe le tube :

   $$ \mathcal{A} = \pi \times 14^2 - \pi \times 2^2 = 196\pi - 4\pi = 192\pi $$

   $$ \mathcal{A} \approx 603.2 \ \text{cm}^2 $$
2. En déduire le volume de papier, en litres, arrondi au dixième.

   Le papier remplit un cylindre de rayon \(14 \ \text{cm}\), privé du tube. Les deux ont \(20 \ \text{cm}\) de hauteur :

   $$ V = 196\pi \times 20 - 4\pi \times 20 = 3 \ 920\pi - 80\pi = 3 \ 840\pi $$

   $$ V \approx 12 \ 063.7 \ \text{cm}^3 $$

   Comme \(1 \ 000 \ \text{cm}^3 = 1 \ \text{L}\) :

   $$ V \approx 12.1 \ \text{L} $$
3. Estimer la longueur de papier enroulée, en mètres.

   Une fois déroulé, le papier est un pavé droit très mince : \(20 \ \text{cm}\) de largeur, \(0.2 \ \text{mm} = 0.02 \ \text{cm}\) d'épaisseur, et une longueur \(L\) inconnue. Son volume reste celui du papier enroulé :

   $$ L \times 20 \times 0.02 = 3 \ 840\pi $$

   $$ L \times 0.4 = 3 \ 840\pi $$

   $$ L = 3 \ 840\pi \div 0.4 = 9 \ 600\pi \approx 30 \ 159 \ \text{cm} $$

   $$ L \approx 302 \ \text{m} $$

   L'estimation suppose un papier enroulé sans le moindre vide : le rouleau réel en porte un peu moins.

4. Léo regarde le rouleau s'amincir : « Quand il ne mesurera plus que \(16 \ \text{cm}\) de diamètre, la moitié du papier aura servi, puisque \(16\) est à mi-chemin entre \(4\) et \(28\). » Trancher, puis trouver le diamètre du rouleau quand la moitié du papier a réellement servi.

   Étape 1 : Justifier qu'il suffit de comparer les aires des faces.

   Étape 2 : Calculer la moitié de l'aire de la face du rouleau neuf.

   Étape 3 : Calculer l'aire de la face du rouleau de \(16 \ \text{cm}\) de diamètre.

   Conclure :

   Étape 1 : la largeur du papier ne change pas : il suffit de comparer les aires des faces.

   Étape 2 : la moitié de la face du rouleau neuf vaut \(192\pi \div 2 = 96\pi\).

   Étape 3 : pour le rouleau de \(16 \ \text{cm}\), il reste une couronne de rayon \(8 \ \text{cm}\) autour du tube.

   $$ \pi \times 8^2 - \pi \times 2^2 = 64\pi - 4\pi = 60\pi $$

   Conclusion : or \(60\pi < 96\pi\) : il reste moins de la moitié du papier.

   $$ \text{Léo se trompe : à } 16 \ \text{cm} \text{, plus de la moitié a servi} $$

   Le rouleau à moitié utilisé : la couronne restante a pour aire \(96\pi\), et le tube \(4\pi\). Le disque de rayon \(R\) qui contient les deux a donc pour aire :

   $$ \pi \times R^2 = 96\pi + 4\pi = 100\pi $$

   $$ R^2 = 100 \hspace{2em} \text{donc} \hspace{2em} R = 10 \ \text{cm} $$

   $$ \text{un diamètre de } 20 \ \text{cm} $$

   Les tours extérieurs sont plus longs que ceux du centre : ils portent davantage de papier. Les deux couronnes ci-dessous ont chacune une aire de \(96\pi\), puisque \(196\pi - 100\pi = 100\pi - 4\pi\).

Les bougies de l'atelier

Un atelier coule des bougies cylindriques. Leur rayon \(R\) et leur hauteur \(h\) sont des nombres entiers de centimètres, et chacune contient exactement \(72\pi \ \text{cm}^3\) de cire.

1. Vérifier qu'une bougie de \(3 \ \text{cm}\) de rayon et de \(8 \ \text{cm}\) de hauteur convient, puis donner son volume arrondi au centimètre cube.
   $$ V = \pi \times 3^2 \times 8 = \pi \times 9 \times 8 = 72\pi $$

   $$ V \approx 226 \ \text{cm}^3 $$
2. Trouver toutes les bougies possibles, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

   Étape 1 : Écrire l'égalité que doivent vérifier \(R\) et \(h\).

   Étape 2 : Trouver la plus grande valeur possible du rayon \(R\).

   Étape 3 : Calculer la hauteur qui correspond à chacun des rayons possibles.

   Conclure :

   Étape 1 : le volume vaut \(\pi \times R^2 \times h\). Il faut donc :

   $$ R^2 \times h = 72 $$

   Étape 2 : la hauteur est un entier d'au moins \(1 \ \text{cm}\), donc \(R^2\) ne dépasse pas \(72\) : \(R\) vaut au plus \(8\), puisque \(9^2 = 81\).

   Étape 3 : on essaie les huit rayons :

   \(R\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
   \(R^2\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)	\(16\)	\(25\)	\(36\)	\(49\)	\(64\)
   \(h = 72 \div R^2\)	\(72\)	\(18\)	\(8\)	\(4.5\)	\(2.88\)	\(2\)	\(\approx 1.5\)	\(1.125\)

   Conclusion : seules les hauteurs entières conviennent :

   $$ \begin{gather*} R = 1 \quad \text{et} \quad h = 72 \hspace{2em} \hspace{2em} R = 2 \quad \text{et} \quad h = 18 \\ R = 3 \quad \text{et} \quad h = 8 \hspace{2em} \hspace{2em} R = 6 \quad \text{et} \quad h = 2 \end{gather*} $$
3. Chaque bougie reçoit une étiquette qui recouvre exactement sa surface latérale. Calculer l'aire de chacune des quatre étiquettes, en valeur exacte, et dire quelle bougie en demande le moins.

   Sur le patron, l'étiquette est le rectangle de longueur \(2 \times \pi \times R\) et de largeur \(h\) :

   $$ 2 \times \pi \times 1 \times 72 = 144\pi \hspace{2em} 2 \times \pi \times 2 \times 18 = 72\pi $$

   $$ 2 \times \pi \times 3 \times 8 = 48\pi \hspace{2em} 2 \times \pi \times 6 \times 2 = 24\pi $$

   $$ R = 6 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 24\pi \approx 75.4 \ \text{cm}^2 $$

   Plus la bougie est large, plus son étiquette est petite.

4. Chaque bougie est vendue dans un étui en carton fermé qui l'épouse exactement : son patron est celui de la bougie. Mia affirme : « D'après la question précédente, c'est encore la bougie la plus large qui demande le moins de carton. » Trancher, et trouver la bougie la plus économe en carton.

   Étape 1 : Donner ce que le patron d'un étui ajoute à l'étiquette de la bougie, et son aire.

   Étape 2 : Calculer l'aire de carton de chacun des quatre étuis.

   Conclure :

   Étape 1 : le patron ajoute à l'étiquette deux disques de rayon \(R\), d'aire totale \(2 \times \pi \times R^2\).

   Étape 2 : pour les quatre bougies :

   $$ R = 1 : \quad 144\pi + 2 \times \pi \times 1^2 = 146\pi $$

   $$ R = 2 : \quad 72\pi + 2 \times \pi \times 2^2 = 80\pi $$

   $$ R = 3 : \quad 48\pi + 2 \times \pi \times 3^2 = 66\pi $$

   $$ R = 6 : \quad 24\pi + 2 \times \pi \times 6^2 = 96\pi $$

   Conclusion : les deux disques de la bougie la plus large coûtent à eux seuls \(72\pi\) : bien plus que ce que son étiquette faisait gagner.

   $$ \text{Mia se trompe} $$

   La bougie la plus économe est celle de rayon moyen :

   $$ R = 3 \ \text{cm} \quad \text{et} \quad h = 8 \ \text{cm} \text{ : } 66\pi \approx 207.3 \ \text{cm}^2 $$