Problèmes sur la représentation de l'espace

L'aquarium

Un aquarium a la forme d'un pavé droit de \(80 \text{ cm}\) de longueur, \(35 \text{ cm}\) de largeur et \(45 \text{ cm}\) de hauteur.

1. Calculer son volume en centimètres cubes.
   $$ V = 80 \times 35 \times 45 $$

   $$ V = 126\,000 \text{ cm}^3 $$
2. Combien de litres d'eau peut-il contenir au maximum ?

   Comme \(1\,000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ L}\) :

   $$ 126 \text{ L} $$
3. On ne le remplit qu'aux quatre cinquièmes. Quel volume d'eau cela représente-t-il ?
   $$ 126 \div 5 = 25.2 \qquad \text{puis} \qquad 25.2 \times 4 $$

   $$ 100.8 \text{ L} $$

La boîte de conserve

Une boîte de conserve est un cylindre de révolution de rayon \(4 \text{ cm}\) et de hauteur \(11 \text{ cm}\).

1. Calculer l'aire de sa base, en valeur exacte puis arrondie au dixième.
   $$ \mathcal{A} = \pi \times 4^2 = 16\pi $$

   $$ \mathcal{A} \approx 50.3 \text{ cm}^2 $$
2. En déduire son volume.
   $$ V = 16\pi \times 11 = 176\pi $$

   $$ V \approx 552.9 \text{ cm}^3 $$
3. L'étiquette entoure exactement la surface latérale. Quelle est sa longueur ?

   La longueur de l'étiquette est le périmètre du disque de base.

   $$ \mathcal{P} = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi $$

   $$ \mathcal{P} \approx 25.1 \text{ cm} $$

La tente de camping

Une tente a la forme d'un prisme droit dont la base est un triangle de \(2 \text{ m}\) de base et \(1.5 \text{ m}\) de hauteur. Sa longueur est de \(3 \text{ m}\).

1. Calculer l'aire de la base.
   $$ \mathcal{A} = \frac{2 \times 1.5}{2} $$

   $$ \mathcal{A} = 1.5 \text{ m}^2 $$
2. En déduire le volume intérieur de la tente.
   $$ V = 1.5 \times 3 $$

   $$ V = 4.5 \text{ m}^3 $$
3. Exprimer ce volume en litres.

   Comme \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\) :

   $$ 4\,500 \text{ L} $$

Deux récipients

Un cube d'arête \(10 \text{ cm}\) et un cylindre de rayon \(5 \text{ cm}\) et de hauteur \(10 \text{ cm}\) sont posés côte à côte.

1. Sans calculer, dire lequel a le plus grand volume. Justifier.

   Les deux ont la même hauteur. Le disque de rayon \(5 \text{ cm}\) est inscrit dans le carré de côté \(10 \text{ cm}\), donc son aire est plus petite.

   $$ \text{le cube a le plus grand volume} $$
2. Vérifier par le calcul, et donner le rapport des deux volumes arrondi au centième.
   $$ V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 $$

   $$ V_{\text{cyl}} = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi \approx 785.4 \text{ cm}^3 $$

   $$ \frac{250\pi}{1\,000} \approx 0.79 $$

   Le cylindre occupe environ \(79 \ \%\) du volume du cube, quelle que soit la hauteur commune choisie.