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La symétrie centrale
Le symétrique d'un point \(A\) par rapport à un point \(O\) est le point \(A'\) tel que \(O\) soit le milieu du segment \([AA']\).
Cette transformation s'appelle aussi le demi-tour : elle revient à faire tourner la figure d'un demi-tour autour de \(O\).
Le point \(O\) s'appelle le centre de symétrie. Il est son propre symétrique.
Construire un symétrique
Pour construire le symétrique d'un point \(A\) par rapport à \(O\) :
-
Tracer la demi-droite
On trace la droite passant par \(A\) et \(O\).
-
Reporter la distance
On reporte au compas la longueur \(OA\) de l'autre côté de \(O\). Le point obtenu est \(A'\), et l'on a bien \(OA = OA'\).
Pour une figure entière, on construit le symétrique de chacun de ses points remarquables, puis on relie.
Ce que la symétrie centrale conserve
Le demi-tour ne déforme rien : la figure image est superposable à la figure de départ.
Grandeur |
Conservée ? |
|---|---|
Les longueurs |
Oui |
Les mesures d'angles |
Oui |
Les aires |
Oui |
Le parallélisme et l'alignement |
Oui |
Le sens de lecture de la figure |
Non, il est inversé |
Le symétrique d'une droite est une droite qui lui est parallèle. C'est une différence nette avec la symétrie axiale, où l'image d'une droite n'est en général pas parallèle à la droite de départ.
Comparer les deux symétries
Symétrie axiale |
Symétrie centrale |
|
|---|---|---|
Élément de référence |
Une droite |
Un point |
Image mentale |
Un pliage |
Un demi-tour |
Image d'une droite |
Une droite, en général sécante |
Une droite parallèle |
Le centre de symétrie d'une figure
Une figure possède un centre de symétrie lorsqu'elle est sa propre image par le demi-tour autour de ce point.
Exemples : le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré et le cercle ont un centre de symétrie.
Le triangle équilatéral n'en a pas, bien qu'il possède trois axes de symétrie. Avoir des axes de symétrie et avoir un centre de symétrie sont deux propriétés indépendantes.