Retour
Après la symétrie axiale, le demi-tour autour d'un point : le construire, le comparer, repérer un centre de symétrie.
-
Construire le symétrique d'un point ou d'une figure par rapport à un point
-
Connaître ce que la symétrie centrale conserve
-
Distinguer la symétrie axiale de la symétrie centrale
-
Reconnaître une figure qui a un centre de symétrie
Un papier peint répète le même motif : il glisse, se retourne parfois, sans jamais changer de taille.
Trois gestes suffisent à couvrir tout le mur : glisser, tourner d'un demi-tour, retourner.
Une translation, une symétrie ou une rotation déplacent la figure sans changer ni ses longueurs ni ses angles.
La symétrie centrale
Le symétrique d'un point \(A\) par rapport à un point \(O\) est le point \(A'\) tel que \(O\) soit le milieu du segment \(\bigl[AA'\bigr]\).
Cette transformation s'appelle aussi le demi-tour autour de \(O\).
Le point \(O\) s'appelle le centre de symétrie ; il est son propre symétrique.
Construire un symétrique
Pour construire le symétrique d'un point \(A\) par rapport à \(O\) :
-
Tracer la demi-droite
On trace la droite passant par \(A\) et \(O\).
-
Reporter la distance
On reporte au compas la longueur \(OA\) de l'autre côté de \(O\) : on obtient \(A'\).
Pour une figure entière, on construit le symétrique de chacun de ses points remarquables, puis on relie.
Ce que la symétrie centrale conserve
La figure image est superposable à la figure de départ.
Grandeur |
Conservée ? |
Pourquoi |
|---|---|---|
Les longueurs |
Oui |
un segment et son image ont la même mesure |
Les mesures d'angles |
Oui |
un angle et son image ont la même ouverture |
Les aires |
Oui |
la figure image se superpose à la figure de départ |
Le parallélisme et l'alignement |
Oui |
des points alignés restent alignés, des droites parallèles restent parallèles |
Le sens de lecture de la figure |
Oui |
un demi-tour ne retourne pas la figure : elle se lit dans le même sens, la tête en bas |
Le symétrique d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
Comparer les deux symétries
Symétrie axiale |
Symétrie centrale |
|
|---|---|---|
Élément de référence |
Une droite |
Un point |
Image mentale |
Un pliage |
Un demi-tour |
Image d'une droite |
Une droite, en général sécante |
Une droite parallèle |
Sens de lecture |
Inversé, comme dans un miroir |
Conservé |
Le centre de symétrie d'une figure
Une figure possède un centre de symétrie lorsqu'elle est sa propre image par le demi-tour autour de ce point.
Exemples : le parallélogramme, le rectangle, le losange, le carré et le cercle ont un centre de symétrie.
Le triangle équilatéral n'en a pas, bien qu'il possède trois axes de symétrie.