Problèmes sur les transformations

Le logo de l'association

Le logo d'une association est formé d'un motif et de son image par un demi-tour autour du point \(O\).

1. Le motif de départ mesure \(6 \text{ cm}\) de large. Quelle est la largeur de son image ?

   La symétrie centrale conserve les longueurs.

   $$ 6 \text{ cm} $$
2. L'aire du motif de départ est de \(21 \text{ cm}^2\). Quelle est l'aire totale du logo ?

   Les deux motifs ont la même aire et ne se recouvrent pas.

   $$ 42 \text{ cm}^2 $$
3. Le logo possède-t-il un centre de symétrie ? Lequel ?

   Oui : le demi-tour autour de \(O\) échange les deux motifs, donc laisse le logo entier inchangé.

   $$ \text{le point } O $$

Le triangle et son image

Dans un repère, on considère \(A \ (1 \ ; \ 4)\), \(B \ (5 \ ; \ 2)\) et \(C \ (2 \ ; \ -1)\). On note \(O \ (0 \ ; \ 0)\).

1. Donner les coordonnées des symétriques de \(A\), \(B\) et \(C\) par rapport à \(O\).

   On change le signe des deux coordonnées.

   $$ A' \ (-1 \ ; \ -4) \qquad B' \ (-5 \ ; \ -2) \qquad C' \ (-2 \ ; \ 1) $$
2. Que peut-on dire des droites \((AB)\) et \((A'B')\) ?

   L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.

   $$ (AB) \ \text{ et } \ (A'B') \ \text{ sont parallèles} $$
3. Le point \(O\) est-il le milieu de \([AA']\) ? Justifier.

   C'est la définition même de la symétrie centrale : \(O\) est le milieu de chaque segment joignant un point à son image.

Le pavage

Un carreleur pose un motif, puis en construit l'image par un demi-tour autour du milieu de l'un de ses côtés, et recommence.

1. Le motif contient un angle de \(115°\). Que devient cet angle sur l'image ?

   La symétrie centrale conserve les mesures d'angles.

   $$ 115° $$
2. Le motif est-il superposable à son image ? Le sens de lecture est-il conservé ?

   Le motif est superposable à son image, mais le sens de lecture est inversé : c'est un demi-tour, pas un glissement.

Axes ou centre ?

On considère les figures suivantes : un carré, un rectangle non carré, un triangle équilatéral, un losange non carré, un trapèze isocèle non parallélogramme.

1. Lesquelles possèdent un centre de symétrie ?

   Toutes celles qui sont des parallélogrammes.

   $$ \text{le carré, le rectangle et le losange} $$
2. Lesquelles possèdent au moins un axe de symétrie ?

   Toutes les cinq : le triangle équilatéral en a trois, le trapèze isocèle en a un, le carré en a quatre.

3. Que peut-on en conclure sur le lien entre axes et centre de symétrie ?

   Les deux propriétés sont indépendantes : le triangle équilatéral a des axes sans centre, et un parallélogramme quelconque a un centre sans axe.