Problèmes sur les transformations en cinquième

Un logo, un pavage, un carrelage : la symétrie centrale s'y reconnaît, et ce qu'elle conserve permet de conclure.

Construire l'image d'une figure par symétrie centrale
Reconnaître ou retrouver un centre de symétrie
Distinguer axe et centre de symétrie

Le logo de l'association

Le logo d'une association est formé d'un motif et de son image par un demi-tour autour du point $O$. Les deux motifs ne se chevauchent pas. Sur le quadrillage, un carreau représente $1 \ \text{cm}$.

Construire sur le quadrillage l'image du motif par le demi-tour de centre $O$, puis la colorier en vert.

Chaque sommet de l'image s'obtient en comptant les carreaux du sommet jusqu'à $O$, puis autant au-delà de $O$, dans le même sens.
Le motif de départ mesure $6 \ \text{cm}$ de large. Quelle est la largeur de son image ?

La symétrie centrale conserve les longueurs.

$$ 6 \ \text{cm} $$
L'aire du motif de départ est de $21 \ \text{cm}^2$. Quelle est l'aire totale du logo ?

La symétrie centrale conserve les aires, et les deux motifs ne se recouvrent pas :

$$ 21 + 21 $$

$$ 42 \ \text{cm}^2 $$
Le logo possède-t-il un centre de symétrie ? Lequel ?

Oui : le demi-tour autour de $O$ échange les deux motifs, donc laisse le logo entier inchangé.

$$ \text{le point } O $$

Le triangle et son image

Dans un repère, on considère $A \ (1 \ ; \ 4)$, $B \ (5 \ ; \ 2)$ et $C \ (2 \ ; \ {-}1)$. On note $O \ (0 \ ; \ 0)$.

Construire, point par point, l'image $A'B'C'$ du triangle $ABC$ par la symétrie de centre $O$.

Étape 1 : Tracer la demi-droite $\bigl[AO\bigr)$ et y placer $A'$ tel que $OA' = OA$.

Étape 2 : Construire de même $B'$, puis $C'$.

Étape 3 : Tracer le triangle $A'B'C'$ en vert.
Donner les coordonnées des symétriques de $A$, $B$ et $C$ par rapport à $O$.

$O$ est le milieu de $\bigl[AA'\bigr]$ : pour aller de $O$ à $A'$, on fait le trajet de $O$ à $A$ en sens inverse. Les deux coordonnées changent donc de signe.

$$ A' \ (-1 \ ; \ {-}4) \hspace{2em} B' \ (-5 \ ; \ {-}2) \hspace{2em} C' \ (-2 \ ; \ 1) $$
Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(A'B')$ ? Justifier.

L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.

$$ (AB) \quad \text{et} \quad (A'B') \ \text{ sont parallèles} $$
Le point $O$ est-il le milieu de $\bigl[AA'\bigr]$ ? Justifier.

Oui : c'est la définition même de la symétrie centrale. $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$, donc $O$ est le milieu de $\bigl[AA'\bigr]$.

Le pavage

Un carreleur pose un motif, puis en construit l'image par un demi-tour autour du milieu de l'un de ses côtés, et recommence. Voici le motif $ABCD$ en vraie grandeur ; $I$ est le milieu de $\bigl[BC\bigr]$.

Construire sur la figure, à la règle et au compas, l'image $A'B'C'D'$ du motif par le demi-tour de centre $I$.

Étape 1 : Placer $B'$ et $C'$, sans rien construire.

Étape 2 : Tracer la demi-droite $\bigl[AI\bigr)$ et y placer $A'$ tel que $IA' = IA$.

Étape 3 : Construire de même $D'$, puis tracer $A'B'C'D'$.

$I$ est le milieu de $\bigl[BC\bigr]$ : l'image de $B$ est $C$, et celle de $C$ est $B$. Le motif et son image ont le côté $\bigl[BC\bigr]$ en commun.
L'angle en $A$ mesure $115°$. Que devient cet angle sur l'image ? Le marquer sur la figure, avec sa mesure.

La symétrie centrale conserve les mesures d'angles. L'image de l'angle en $A$ est l'angle en $A'$.

$$ 115° $$
Le motif est-il superposable à son image ? Se lit-il dans le même sens ?

Le motif est superposable à son image : il suffit de le faire tourner d'un demi-tour, sans le retourner. Il apparaît en revanche la tête en bas : un texte écrit sur le motif ne se lirait plus qu'en tournant la feuille.

Axes ou centre ?

On considère les figures suivantes : un carré, un rectangle non carré, un triangle équilatéral, un losange non carré, un trapèze isocèle non parallélogramme.

Lesquelles possèdent un centre de symétrie ? Placer ce centre en rouge sur la figure.

Toutes celles qui sont des parallélogrammes.

$$ \text{le carré, le rectangle et le losange} $$
Lesquelles possèdent au moins un axe de symétrie ? Tracer tous leurs axes en rouge sur la figure.

Toutes les cinq : le carré en a quatre, le rectangle et le losange deux chacun, le triangle équilatéral trois, le trapèze isocèle un.

$$ \text{les cinq figures} $$
Que peut-on en conclure sur le lien entre axes et centre de symétrie ?

Les deux propriétés sont indépendantes : le triangle équilatéral a des axes sans centre, et un parallélogramme quelconque a un centre sans axe.

Le centre effacé

Sur ce quadrillage, le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$ par un demi-tour. Le centre $O$ de ce demi-tour a été effacé.

Retrouver le centre $O$ et le placer sur la figure. Expliquer la méthode.

Le centre est le milieu du segment qui joint un point à son image. On trace $\bigl[AA'\bigr]$ : il fait $8$ carreaux vers la droite et $4$ vers le haut, donc son milieu est à $4$ carreaux vers la droite et $2$ vers le haut depuis $A$.
Vérifier la réponse avec les points $B$ et $C$.

Depuis $B$, $\bigl[BB'\bigr]$ fait $2$ carreaux vers la droite et $4$ vers le haut : son milieu est à $1$ carreau vers la droite et $2$ vers le haut, c'est encore $O$. De même, $O$ est le milieu de $\bigl[CC'\bigr]$.

$$ \text{les trois segments ont le même milieu } O $$

Deux demi-tours de suite

Un carreleur dessine un motif $M$, en bleu, sur un quadrillage où il a marqué deux points $O$ et $P$, distants de $4$ carreaux.

Construire l'image $M'$ du motif $M$ par le demi-tour de centre $O$.

Chaque sommet est reporté de l'autre côté de $O$, à la même distance. Le motif $M'$ est en vert sur la figure de la question suivante.
Construire ensuite l'image $M''$ de ce motif $M'$ par le demi-tour de centre $P$.

En vert, $M'$ ; à droite, en bleu, $M''$ :
Karim affirme qu'après ces deux demi-tours, le motif est revenu à sa place de départ. A-t-il raison ? Justifier.

Non. $M''$ a la même forme et la même orientation que $M$ - il n'est pas la tête en bas - mais il est décalé vers la droite.

$$ \text{Karim a tort} $$
De combien de carreaux le motif $M''$ est-il décalé par rapport à $M$ ? Comparer avec la distance $OP$.

Chaque sommet de $M''$ est $8$ carreaux à droite du sommet correspondant de $M$, alors que $OP = 4$ carreaux.

$$ 8 = 2 \times 4 : \text{le décalage vaut le double de } OP $$
Où faudrait-il placer $P$ pour que $M''$ arrive $10$ carreaux à droite de $M$ ? Chercher, puis marquer cette nouvelle position de $P$ sur le quadrillage.

Le décalage vaut le double de $OP$. Pour un décalage de $10$ carreaux, il faut :

$$ OP = 10 \div 2 $$

$$ P \text{ à } 5 \text{ carreaux à droite de } O $$

Le quatrième plot

Sur un terrain quadrillé, un entraîneur a posé trois plots $A$, $B$ et $C$. Il veut en ajouter d'autres pour que l'ensemble des plots ait un centre de symétrie : le demi-tour autour de ce centre doit envoyer chaque plot sur un plot.

On note $I$ le milieu de $\bigl[AB\bigr]$. Placer un plot $D$ pour que $I$ soit le centre de symétrie des quatre plots, puis justifier en comptant les carreaux.

Le demi-tour de centre $I$ échange $A$ et $B$. Il doit envoyer $C$ sur un plot : ce ne peut être que $D$, le symétrique de $C$ par rapport à $I$.

Depuis $C$, on atteint $I$ en faisant $0$ carreau horizontalement et $3$ carreaux vers le bas ; on recommence le même trajet depuis $I$.

$D$ est $6$ carreaux sous $C$.

Vérification : $I$ est à la fois le milieu de $\bigl[AB\bigr]$ et celui de $\bigl[CD\bigr]$, à $3$ carreaux de $C$ et de $D$.
Le centre n'est plus imposé. Trouver toutes les positions possibles du quatrième plot $D$, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

Étape 1 : Montrer que le centre ne peut pas être l'un des quatre plots.

Étape 2 : Lister les plots avec lesquels $A$ peut s'échanger.

Étape 3 : Trouver la position de $D$ dans chacun de ces cas.

Conclure :

Étape 1 : le demi-tour échange les plots deux par deux ; seul le centre peut rester en place. Si le centre était l'un des quatre plots, les trois autres devraient s'échanger deux par deux : c'est impossible avec trois plots. Le centre n'est donc pas un plot, et les quatre plots forment deux paires.

Étape 2 : le plot $A$ a forcément un partenaire : $B$, $C$ ou $D$.

Étape 3 : on trouve $D$ dans chacun de ces trois cas.

Si $A$ va avec $B$ : $C$ va avec $D$, et le centre est le milieu de $\bigl[AB\bigr]$. C'est la question 1 : $D_1$ est le symétrique de $C$ par rapport à ce milieu.

Si $A$ va avec $C$ : $D_2$ est le symétrique de $B$ par rapport au milieu de $\bigl[AC\bigr]$.

Si $A$ va avec $D$ : $B$ va avec $C$, et $D_3$ est le symétrique de $A$ par rapport au milieu de $\bigl[BC\bigr]$.

Conclusion : il n'y a que ces trois choix.

$$ 3 \ \text{positions} $$
On repart des trois plots $A$, $B$ et $C$, et l'on en ajoute deux, $D$ et $E$. Prouver que le centre de symétrie des cinq plots est forcément l'un d'eux.

Les plots qui ne sont pas au centre s'échangent deux par deux : ils sont en nombre pair. Si aucun plot n'était au centre, les cinq plots formeraient des paires, ce qui est impossible puisque $5$ est impair.

Le centre est l'un des cinq plots, et les quatre autres forment deux paires.
Karim pense qu'il y a, comme pour quatre plots, trois façons de placer $D$ et $E$. Trancher en trouvant toutes les façons.

Étape 1 : Compter les façons de placer $D$ et $E$ lorsque le centre est l'un des plots de départ.

Étape 2 : Compter les façons de placer $D$ et $E$ lorsque le centre est l'un des nouveaux plots.

Conclure :

Étape 1 : le centre est l'un des plots de départ, par exemple $A$. Les plots $B$ et $C$ ne peuvent pas s'échanger, car $A$ n'est pas le milieu de $\bigl[BC\bigr]$ : chacun va avec un nouveau plot. $D$ et $E$ sont les symétriques de $B$ et de $C$ par rapport à $A$. Le centre peut être $A$, $B$ ou $C$ : cela fait trois façons.

Étape 2 : le centre est un nouveau plot, par exemple $D$. Les quatre plots $A$, $B$, $C$ et $E$ forment deux paires : c'est la situation de la question 2. Si $A$ va avec $B$, le plot $D$ est au milieu de $\bigl[AB\bigr]$ et $E$ est le symétrique de $C$ par rapport à lui ; de même avec $\bigl[AC\bigr]$ et avec $\bigl[BC\bigr]$. Cela fait encore trois façons.

Conclusion : d'après la question 3, le centre est forcément l'un des cinq plots : il n'y a pas d'autre cas.

$$ 3 + 3 $$

Karim a tort : il y a $6$ façons.

En vert, les deux plots ajoutés ; entouré de rouge, le centre.

Le terrain en L

Deux frères héritent d'un terrain en forme de L. Ils veulent le partager en deux parts de même aire par une seule clôture en ligne droite. La ligne en pointillés découpe le terrain en deux rectangles.

Placer le centre de chacun des deux rectangles, tracer la droite qui les joint, puis calculer l'aire de chacune des deux parts, en carreaux.

Le rectangle du bas mesure $10$ carreaux sur $4$ : son centre est à $5$ carreaux du bord gauche et $2$ du bas. Celui du haut mesure $6$ carreaux sur $4$ : son centre est à $3$ carreaux du bord gauche et $6$ du bas. La droite qui les joint descend de $2$ carreaux quand elle avance de $1$ : elle coupe le bas du terrain à $6$ carreaux du bord gauche, et le haut à $2$ carreaux.

La part de gauche se découpe en un rectangle de $2$ carreaux sur $8$ et un triangle rectangle de côtés $4$ et $8$ carreaux :

$$ 2 \times 8 + \frac{4 \times 8}{2} = 16 + 16 = 32 $$

Le terrain entier mesure $10 \times 4 + 6 \times 4 = 64$ carreaux, donc la part de droite en mesure $64 - 32$.

$$ 32 \ \text{carreaux} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 32 \ \text{carreaux} $$
On change de figure : un rectangle de centre $O$ et une droite $(d)$ qui passe par $O$. Démontrer, à l'aide du demi-tour de centre $O$, que $(d)$ partage le rectangle en deux parts de même aire. En déduire pourquoi la clôture de la question 1 convenait.

Étape 1 : Montrer que le demi-tour de centre $O$ envoie le rectangle sur lui-même.

Étape 2 : Montrer qu'il envoie aussi $(d)$ sur elle-même.

Étape 3 : Montrer qu'il échange les deux parts du rectangle.

Conclure :

Étape 1 : le centre $O$, point d'intersection des diagonales, est le centre de symétrie du rectangle : le demi-tour de centre $O$ envoie le rectangle sur lui-même.

Étape 2 : il envoie aussi $(d)$ sur elle-même : l'image de $(d)$ est une droite parallèle à $(d)$, qui passe par l'image de $O$, c'est-à-dire par $O$. Deux droites parallèles qui ont un point commun sont confondues.

Étape 3 : un point $M$ situé d'un côté de $(d)$ a pour image un point $M'$ de l'autre côté, car le segment $\bigl[MM'\bigr]$ traverse $(d)$ en son milieu $O$. Le demi-tour échange donc les deux parts.

Conclusion : or le demi-tour conserve les aires.

Les deux parts du rectangle ont la même aire.

À la question 1, la clôture passe par les centres des deux rectangles : elle partage chacun d'eux en deux moitiés. Chaque frère reçoit la moitié du rectangle du bas et la moitié de celui du haut, soit la moitié du terrain.
Trouver une autre clôture droite qui partage le terrain en deux parts de même aire, en découpant le terrain autrement. Justifier.

Étape 1 : Découper le terrain autrement en deux rectangles, et placer leurs centres.

Étape 2 : Justifier que la droite qui joint ces deux centres partage chacun des deux rectangles en deux parts de même aire.

Conclure :

Étape 1 : on découpe le terrain par une ligne verticale, à $6$ carreaux du bord gauche : un rectangle de $6$ carreaux sur $8$, de centre à $3$ carreaux du bord gauche et $4$ du bas, et un rectangle de $4$ carreaux sur $4$, de centre à $8$ carreaux du bord gauche et $2$ du bas.

Étape 2 : d'après la question 2, la droite qui passe par ces deux centres partage chacun des deux rectangles en deux moitiés.

Conclusion : elle partage donc le terrain aussi. Elle coupe le bord gauche du terrain, ce que ne faisait pas la première : c'est une autre clôture.

La droite qui joint ces deux centres convient.
Léa voit le terrain comme un grand rectangle de $10$ carreaux sur $8$, privé d'un petit rectangle de $4$ carreaux sur $4$. Elle affirme que la droite qui passe par les centres de ces deux rectangles donne une troisième clôture. Trancher.

Étape 1 : Donner l'aire des deux parts du grand rectangle, puis celle des deux parts du petit, découpés par cette droite.

Étape 2 : Calculer l'aire du terrain de chaque côté de la droite.

Étape 3 : Vérifier que la droite coupe le terrain en deux morceaux seulement.

Conclure :

Étape 1 : d'après la question 2, cette droite partage le grand rectangle en deux parts de $80 \div 2 = 40$ carreaux, et le petit en deux parts de $16 \div 2 = 8$ carreaux.

Étape 2 : de chaque côté de la droite, le terrain est la part du grand rectangle privée de la part du petit :

$$ 40 - 8 = 32 \ \text{carreaux} $$

Étape 3 : la droite sort du terrain par le coin découpé : elle ne le traverse qu'une fois, et le coupe bien en deux morceaux seulement.

Conclusion : les deux morceaux du terrain ont la même aire, $32$ carreaux chacun.

Léa a raison : c'est une troisième clôture.