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Angles, constructions, droites remarquables et aire : le triangle, figure de base de toute la géométrie.
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Calculer un angle avec la somme des angles d'un triangle
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Construire un triangle à partir de trois données
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Tracer les médiatrices et le cercle circonscrit d'un triangle
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Tracer les hauteurs d'un triangle et calculer son aire
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Tracer une médiane et savoir qu'elle partage l'aire en deux
Une charpente est faite de triangles, une étagère de rectangles. Poussez le rectangle : il se déforme en parallélogramme. Poussez le triangle : il ne bouge pas.
Trois longueurs données ne laissent aucun choix - si elles se referment.
La plus grande longueur doit rester plus courte que la somme des deux autres.
La somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut \(180°\).
Démonstration : on trace la parallèle au côté \(\bigl[AB\bigr]\) passant par \(C\).
Les angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) se retrouvent en \(C\) comme angles alternes-internes : les trois angles forment un angle plat.
Conséquence : connaissant deux angles, le troisième s'obtient par soustraction.
Un triangle ne peut pas avoir deux angles droits, ni deux angles obtus : la somme dépasserait \(180°\).
Les triangles particuliers
Triangle |
Ce que l'on sait des angles |
|---|---|
Équilatéral |
Les trois angles mesurent \(60°\) |
Isocèle |
Les deux angles à la base sont égaux |
Rectangle |
Les deux angles aigus sont complémentaires |
Construire un triangle
Trois données suffisent en général.
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Trois longueurs
On trace un côté, puis deux arcs de cercle au compas qui se coupent au troisième sommet.
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Deux longueurs et l'angle entre elles
On trace l'angle au rapporteur, puis on reporte les deux longueurs sur ses côtés.
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Une longueur et les deux angles à ses extrémités
On trace le côté, puis les deux angles ; leurs côtés se coupent au troisième sommet.
Trois longueurs ne conviennent que si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres : avec \(3\), \(4\) et \(9\), les arcs ne se coupent pas.
Les médiatrices et le cercle circonscrit
La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu. Ses points sont à égale distance des deux extrémités.
Le cercle circonscrit
Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point, qui est le centre du cercle passant par les trois sommets : le cercle circonscrit.
Dans un triangle rectangle, ce centre est le milieu de l'hypoténuse.
Les hauteurs
Une hauteur
La hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Le point de concours des trois hauteurs s'appelle l'orthocentre.
L'aire d'un triangle
L'aire
L'aire d'un triangle vaut :
La hauteur employée doit être celle qui correspond à la base choisie.
Exemple : base \(8 \text{ cm}\), hauteur associée \(5 \text{ cm}\) :
Les trois choix de base donnent la même aire.
Les médianes
Une médiane
La médiane issue d'un sommet est la droite qui joint ce sommet au milieu du côté opposé.
Propriété : une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
Les deux triangles ont des bases de même longueur et la même hauteur, issue du sommet commun.