Retour
La somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut \(180°\).
Démonstration : on trace la parallèle au côté \([AB]\) passant par \(C\).
Les angles \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) se retrouvent en \(C\) comme angles alternes-internes de cette parallèle et des droites \((AC)\) et \((BC)\). Les trois angles forment alors un angle plat.
Conséquence : connaissant deux angles, le troisième s'obtient par soustraction.
Un triangle ne peut donc pas avoir deux angles droits, ni deux angles obtus : la somme dépasserait \(180°\).
Les triangles particuliers
Triangle |
Ce que l'on sait des angles |
|---|---|
Équilatéral |
Les trois angles mesurent \(60°\) |
Isocèle |
Les deux angles à la base sont égaux |
Rectangle |
Les deux angles aigus sont complémentaires |
Construire un triangle
Trois données suffisent en général. Selon leur nature, la construction change.
-
Trois longueurs
On trace un côté, puis deux arcs de cercle au compas dont l'intersection donne le troisième sommet.
-
Deux longueurs et l'angle entre elles
On trace l'angle au rapporteur, puis on reporte les deux longueurs sur ses côtés.
-
Une longueur et les deux angles à ses extrémités
On trace le côté, puis les deux angles ; leurs côtés se coupent au troisième sommet.
Trois longueurs ne conviennent que si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres. Avec \(3\), \(4\) et \(9\), les deux arcs ne se coupent jamais.
Les médiatrices et le cercle circonscrit
La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu. Ses points sont à égale distance des deux extrémités.
Le cercle circonscrit
Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point, qui est le centre du cercle passant par les trois sommets. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.
Dans un triangle rectangle, ce centre est le milieu de l'hypoténuse. Dans un triangle équilatéral, il se confond avec tous les autres points remarquables.
Les hauteurs
Une hauteur
La hauteur issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Le point de concours des trois hauteurs s'appelle l'orthocentre.
L'aire d'un triangle
L'aire
La hauteur employée doit être celle qui correspond à la base choisie.
Exemple : base \(8 \text{ cm}\), hauteur associée \(5 \text{ cm}\) :
Les trois choix de base donnent la même aire. C'est un bon moyen de retrouver une hauteur inconnue lorsque l'aire est connue.
Les médianes
Une médiane
La médiane issue d'un sommet est la droite qui joint ce sommet au milieu du côté opposé.
Propriété : une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire .
En effet, les deux triangles obtenus ont des bases de même longueur, puisque la médiane aboutit au milieu du côté, et ils ont la même hauteur , celle issue du sommet commun.