Problèmes sur la géométrie du triangle

Le triangle rectangle isocèle

On dispose de la figure codée suivante :

1. Que nous apprend le codage de la figure sur le triangle \(ABC\) ?

   Le carré en \(C\) code un angle droit, et les deux marques indiquent que \(CA = CB\).

   $$ ABC \text{ est rectangle et isocèle en } C $$
2. Calculer les angles \(\widehat{CBA}\) et \(\widehat{BAC}\) de ce même triangle.

   Le triangle étant isocèle en \(C\), ses deux angles à la base \(\widehat{CBA}\) et \(\widehat{BAC}\) sont égaux. Leur somme vaut :

   $$ 180° - 90° = 90° $$

   $$ 90° \div 2 $$

   $$ \widehat{CBA} = \widehat{BAC} = 45° $$

Deux triangles accolés

On dispose de la figure codée suivante :

1. Que nous apprend le codage de la figure sur le triangle \(ACD\) ?

   Ses trois côtés portent la même marque : \(AC = CD = DA\).

   $$ ACD \text{ est équilatéral} $$
2. Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\).

   Dans le triangle \(ABC\), la somme des angles vaut \(180°\) :

   $$ \widehat{BAC} = 180° - 65° - 40° $$

   $$ \widehat{BAC} = 75° $$
3. Donner la mesure de l'angle \(\widehat{DAC}\).

   Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent \(60°\).

   $$ \widehat{DAC} = 60° $$
4. En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{BAD}\).

   Les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{CAD}\) sont adjacents :

   $$ \widehat{BAD} = 75° + 60° $$

   $$ \widehat{BAD} = 135° $$

Deux triangles opposés par le sommet

Sur la figure, les points \(A\), \(B\), \(K\) sont alignés, ainsi que les points \(J\), \(B\), \(C\).

1. Calculer l'angle \(\widehat{ABC}\).
   $$ \widehat{ABC} = 180° - 70° - 50° $$

   $$ \widehat{ABC} = 60° $$
2. En déduire l'angle \(\widehat{JBK}\), en citant la propriété utilisée.

   Les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{JBK}\) sont opposés par le sommet : ils ont la même mesure.

   $$ \widehat{JBK} = 60° $$
3. Calculer l'angle \(\widehat{BJK}\).

   Le triangle \(BKJ\) est rectangle en \(K\), et la somme de ses angles vaut \(180°\) :

   $$ \widehat{BJK} = 180° - 90° - 60° $$

   $$ \widehat{BJK} = 30° $$

Des angles au parallélisme

On dispose de la figure suivante, où plusieurs droites sont sécantes. Les points \(B\), \(A\), \(J\) sont alignés, ainsi que les points \(B\), \(C\), \(K\).

1. Donner les mesures des angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{BCA}\), en justifiant.

   L'angle \(\beta\) est opposé par le sommet à \(\widehat{ABC}\), et l'angle \(\gamma\) à \(\widehat{BCA}\). Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

   $$ \widehat{ABC} = 42° \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \widehat{BCA} = 48° $$
2. En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\).
   $$ \widehat{BAC} = 180° - 42° - 48° $$

   $$ \widehat{BAC} = 90° $$
3. Les droites \((AC)\) et \((JK)\) sont-elles parallèles ? Justifier.

   Étape 1 : Nommer la position des angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{BJK}\) l'un par rapport à l'autre.

   Étape 2 : Comparer les mesures de ces deux angles.

   Conclure :

   Étape 1 : la droite \((BJ)\) coupe \((AC)\) et \((JK)\). Les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{BJK}\) sont correspondants.

   Étape 2 : ils mesurent tous les deux \(90°\).

   Conclusion : or, si deux angles correspondants ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.

   $$ (AC) \parallel (JK) $$

La médiane et le périmètre

Le triangle \(ABC\) a pour côtés \(AB = 4 \ \text{cm}\), \(AC = 8 \ \text{cm}\) et \(BC = 10 \ \text{cm}\). On note \(M\) le milieu de \(\bigl[BC\bigr]\), et l'on trace la médiane \(\bigl[AM\bigr]\).

1. Construire le triangle \(ABC\) en vraie grandeur, puis sa médiane \(\bigl[AM\bigr]\).

   Étape 1 : Tracer le segment \(\bigl[BC\bigr]\) de \(10 \ \text{cm}\).

   Étape 2 : Tracer l'arc de centre \(B\) et de rayon \(4 \ \text{cm}\), puis l'arc de centre \(C\) et de rayon \(8 \ \text{cm}\) : ils se coupent en \(A\).

   Étape 3 : Placer le milieu \(M\) de \(\bigl[BC\bigr]\), tracer \(\bigl[AM\bigr]\), puis colorier \(ABM\) en bleu et \(AMC\) en vert.

2. Justifier que les triangles \(ABM\) et \(AMC\) ont la même aire.

   Étape 1 : Comparer les longueurs des bases \(\bigl[BM\bigr]\) et \(\bigl[MC\bigr]\).

   Étape 2 : Comparer les hauteurs des deux triangles relatives à ces bases.

   Conclure :

   Étape 1 : leurs bases \(\bigl[BM\bigr]\) et \(\bigl[MC\bigr]\) ont la même longueur, puisque \(M\) est le milieu de \(\bigl[BC\bigr]\).

   Étape 2 : ils ont aussi la même hauteur : celle issue de \(A\).

   Conclusion : l'aire d'un triangle vaut la base multipliée par la hauteur, divisée par \(2\) : les deux calculs donnent le même résultat.

   $$ \mathcal{A}_{ABM} = \mathcal{A}_{AMC} $$
3. Zoé en conclut que ces deux mêmes triangles ont aussi le même périmètre. A-t-elle raison ? Justifier, sans mesurer \(AM\).

   Étape 1 : Exprimer le périmètre de chacun des deux triangles, en gardant la longueur \(AM\).

   Étape 2 : Comparer ces deux périmètres.

   Conclure :

   Étape 1 : comme \(BM = MC = 5 \ \text{cm}\), les deux périmètres s'écrivent :

   $$ \mathcal{P}_{ABM} = 4 + 5 + AM \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \mathcal{P}_{AMC} = 8 + 5 + AM $$

   Étape 2 : le côté \(\bigl[AM\bigr]\) est commun, mais \(AC\) dépasse \(AB\) de \(4 \ \text{cm}\) : le triangle \(AMC\) a un périmètre plus grand de \(4 \ \text{cm}\).

   Conclusion : les deux triangles ont la même aire, mais pas le même périmètre.

   $$ \text{Zoé a tort : même aire ne veut pas dire même périmètre} $$

Les tiges du mobile

Pour fabriquer un mobile, Inès assemble des tiges de laiton en triangles. Son premier triangle \(ABC\) a pour côtés \(BC = 9 \ \text{cm}\), \(AB = 5 \ \text{cm}\) et \(AC = 6 \ \text{cm}\).

1. Construire le triangle \(ABC\) en vraie grandeur.

   Étape 1 : Tracer le segment \(\bigl[BC\bigr]\) de \(9 \ \text{cm}\).

   Étape 2 : Tracer l'arc de centre \(B\) et de rayon \(5 \ \text{cm}\), puis l'arc de centre \(C\) et de rayon \(6 \ \text{cm}\) : ils se coupent en \(A\).

2. Pour un deuxième triangle, Inès a coupé trois tiges de \(4 \ \text{cm}\), \(7 \ \text{cm}\) et \(12 \ \text{cm}\). Dire, sans tracer, si elles peuvent former un triangle, en le justifiant par un calcul.

   Trois longueurs ne forment un triangle que si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres. Ici, la plus grande tige mesure \(12 \ \text{cm}\) :

   $$ 4 + 7 = 11 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 11 < 12 $$

   $$ \text{les trois tiges ne forment pas un triangle} $$

   Mises bout à bout, les deux petites tiges n'atteignent pas les deux extrémités de la grande : au compas, les deux arcs ne se couperaient pas.

3. Inès raccourcit la tige de \(12 \ \text{cm}\) : elle ne mesure plus que \(10 \ \text{cm}\). Dire si, cette fois, les trois tiges forment un triangle.

   La plus grande tige mesure maintenant \(10 \ \text{cm}\) :

   $$ 4 + 7 = 11 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 11 > 10 $$

   $$ \text{cette fois, les trois tiges forment un triangle} $$

Le puits des trois maisons

Trois maisons \(A\), \(B\) et \(C\) bordent un champ triangulaire, rectangle en \(A\), avec \(AB = 30 \ \text{m}\), \(AC = 40 \ \text{m}\) et \(BC = 50 \ \text{m}\). Les propriétaires veulent creuser un puits commun, à la même distance des trois maisons.

1. Construire au compas, sur la figure, les médiatrices de \(\bigl[AB\bigr]\) et de \(\bigl[AC\bigr]\), et nommer \(M\) leur point d'intersection. Que remarque-t-on ? Justifier que c'est en \(M\) qu'il faut creuser le puits.

   Étape 1 : Nommer le point situé à égale distance des trois sommets d'un triangle.

   Étape 2 : Trouver où se trouve ce point lorsque le triangle est rectangle.

   Conclure :

   Les deux médiatrices se coupent sur l'hypoténuse \(\bigl[BC\bigr]\), en son milieu.

   Étape 1 : le point à égale distance des trois sommets est le point de concours des médiatrices : le centre du cercle circonscrit.

   Étape 2 : le triangle étant rectangle en \(A\), ce centre est le milieu de l'hypoténuse.

   Conclusion : c'est là qu'il faut creuser le puits :

   $$ \text{au milieu } M \text{ de } \bigl[BC\bigr] $$
2. À quelle distance de chacune des trois maisons ce puits se trouve-t-il ?

   \(M\) est le milieu de \(\bigl[BC\bigr]\), donc \(MB = MC = 50 \div 2\). Et comme \(M\) est le centre du cercle circonscrit, \(MA\) est aussi un rayon.

   $$ MA = MB = MC = 25 \ \text{m} $$
3. Calculer l'aire du champ.

   Le triangle est rectangle en \(A\) : on prend \(\bigl[AC\bigr]\) pour base, et la hauteur associée est \(AB\).

   $$ \mathcal{A} = \frac{40 \times 30}{2} $$

   $$ \mathcal{A} = 600 \ \text{m}^2 $$
4. Le chemin qui va de la maison \(A\) au puits partage le champ en deux parcelles. Ont-elles la même aire ? Justifier.

   Le chemin \(\bigl[AM\bigr]\) joint le sommet \(A\) au milieu du côté opposé : c'est une médiane du triangle, qui le partage en deux triangles de même aire.

   $$ \text{oui : } 300 \ \text{m}^2 \text{ chacune} $$
5. Le chemin le plus court de la maison \(A\) à la clôture \(\bigl[BC\bigr]\) suit la hauteur issue de \(A\). Chercher sa longueur, et la comparer à celle du chemin vers le puits.

   En prenant cette fois \(\bigl[BC\bigr]\) pour base, l'aire reste \(600 \ \text{m}^2\). La hauteur \(h\) issue de \(A\) vérifie donc :

   $$ \frac{50 \times h}{2} = 600 $$

   $$ 50 \times h = 1 \ 200 $$

   $$ h = 1 \ 200 \div 50 $$

   $$ h = 24 \ \text{m} $$

   Ce chemin est plus court d'un mètre que celui qui mène au puits, long de \(25 \ \text{m}\).

Des triangles en pailles

Lou coupe des pailles dont les longueurs sont des nombres entiers de centimètres, et cherche à former des triangles en posant trois pailles bout à bout. Sur le quadrillage, un carreau représente \(1 \ \text{cm}\).

1. Tracer sur le quadrillage un segment \(\bigl[AB\bigr]\) de la longueur de la plus grande paille, puis le cercle de centre \(A\) et le cercle de centre \(B\) qui ont pour rayons les longueurs des deux autres. Les trois pailles dessinées forment-elles un triangle ? Justifier par le calcul.

   Sur un segment \(\bigl[AB\bigr]\) de \(8\) carreaux, le cercle de centre \(A\) et de rayon \(3\) carreaux et celui de centre \(B\) et de rayon \(4\) carreaux ne se coupent pas.

   Les pailles mesurent \(3 \ \text{cm}\), \(4 \ \text{cm}\) et \(8 \ \text{cm}\). La plus grande longueur doit être plus courte que la somme des deux autres :

   $$ 3 + 4 = 7 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 7 < 8 $$

   Non : les deux petites pailles ne se rejoignent pas.

2. Lou veut former un triangle de périmètre \(12 \ \text{cm}\). Deux triangles aux mêmes longueurs de côtés comptent pour un seul. Trouver tous les triangles possibles, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

   Étape 1 : Trouver les valeurs possibles de la longueur \(c\) du plus grand côté.

   Étape 2 : Trouver les longueurs des deux autres côtés pour chacune de ces valeurs.

   Étape 3 : Vérifier que chaque triangle trouvé se construit.

   Conclure :

   Étape 1 : on note \(c\) la longueur du plus grand côté, en centimètres. Les deux autres côtés mesurent ensemble \(12 - c\), et cette somme doit dépasser \(c\) : donc \(c\) est plus petit que la moitié de \(12\), soit \(c < 6\). Mais \(c\) est le plus grand des trois côtés : s'il valait \(3\) ou moins, le périmètre ne dépasserait pas \(3 + 3 + 3 = 9\). Donc \(c = 4\) ou \(c = 5\).

   Étape 2 : on cherche les deux autres côtés, cas par cas.

   Si \(c = 5\) : les deux autres côtés font \(7 \ \text{cm}\) à eux deux, sans dépasser \(5 \ \text{cm}\) chacun. C'est \(2\) et \(5\), ou \(3\) et \(4\).

   Si \(c = 4\) : les deux autres côtés font \(8 \ \text{cm}\) à eux deux, sans dépasser \(4 \ \text{cm}\) chacun. C'est \(4\) et \(4\).

   Étape 3 : dans chaque cas, le plus grand côté est bien plus court que la somme des deux autres : les trois triangles se construisent.

   Conclusion : il n'y a pas d'autre possibilité.

   $$ 3 \ \text{triangles} : \quad 2 \ ; \ 5 \ ; \ 5 \hspace{2em} 3 \ ; \ 4 \ ; \ 5 \hspace{2em} 4 \ ; \ 4 \ ; \ 4 $$
3. Tom affirme : « Avec un périmètre plus petit, on forme moins de triangles : avec \(11 \ \text{cm}\), il y en aura au plus trois. » Trancher.

   Étape 1 : Trouver les valeurs possibles de la longueur \(c\) du plus grand côté.

   Étape 2 : Trouver les longueurs des deux autres côtés pour chacune de ces valeurs.

   Conclure :

   Étape 1 : on reprend la même recherche. Cette fois, \(c\) doit être plus petit que la moitié de \(11\), soit \(5{,}5\) : donc \(c \leqslant 5\). Et si \(c\) valait \(3\) ou moins, le périmètre ne dépasserait pas \(9\) : donc \(c = 4\) ou \(c = 5\).

   Étape 2 : on cherche les deux autres côtés, cas par cas.

   Si \(c = 5\) : les deux autres côtés font \(6 \ \text{cm}\) à eux deux : \(1\) et \(5\), \(2\) et \(4\), ou \(3\) et \(3\).

   Si \(c = 4\) : les deux autres côtés font \(7 \ \text{cm}\), sans dépasser \(4 \ \text{cm}\) chacun : \(3\) et \(4\).

   Conclusion : on obtient quatre triangles.

   $$ 1 \ ; \ 5 \ ; \ 5 \hspace{2em} 2 \ ; \ 4 \ ; \ 5 \hspace{2em} 3 \ ; \ 3 \ ; \ 5 \hspace{2em} 3 \ ; \ 4 \ ; \ 4 $$

   Tom a tort : avec \(11 \ \text{cm}\), on forme \(4\) triangles, un de plus qu'avec \(12 \ \text{cm}\).

4. On passe à un périmètre de \(100 \ \text{cm}\). Déterminer la plus grande longueur possible pour un côté, puis le nombre de triangles qui ont un côté de cette longueur.

   Le plus grand côté doit être plus petit que la moitié de \(100\), soit \(c < 50\). La plus grande valeur entière est \(49\) : elle convient, avec par exemple les côtés \(25\) et \(26\), car \(25 + 26 = 51\) dépasse \(49\).

   $$ 49 \ \text{cm} $$

   Avec \(c = 49\), les deux autres côtés font \(51 \ \text{cm}\) à eux deux, et leur somme dépasse bien \(49\). On appelle \(b\) le plus long des deux : il ne dépasse pas \(49\), et il fait au moins la moitié de \(51\), soit \(25{,}5\). Donc \(b\) prend toutes les valeurs entières de \(26\) à \(49\), et chacune donne un seul triangle.

   $$ 49 - 26 + 1 = 24 $$

   $$ 24 \ \text{triangles} $$

   Du plus aplati au plus régulier : \(2 \ ; \ 49 \ ; \ 49\), puis \(3 \ ; \ 48 \ ; \ 49\), et ainsi de suite jusqu'à \(25 \ ; \ 26 \ ; \ 49\).

Le cordeau du jardinier

Pour tracer le coin d'un massif de fleurs, un jardinier plante deux piquets \(B\) et \(C\), puis un piquet \(M\) au milieu de \(\bigl[BC\bigr]\). Il attache en \(M\) un cordeau de la longueur de \(MB\), le tend, et plante un piquet \(A\) au bout : \(MA = MB = MC\). Il affirme que l'angle \(\widehat{BAC}\) est toujours droit.

1. Sur la figure, \(\widehat{ABC} = 35°\). Calculer l'angle \(\widehat{BAC}\) en passant par les triangles \(ABM\) et \(AMC\), puis le coder sur la figure.

   Le triangle \(ABM\) est isocèle en \(M\), puisque \(MA = MB\) : ses angles à la base sont égaux, \(\widehat{BAM} = 35°\).

   $$ \widehat{AMB} = 180° - 35° - 35° = 110° $$

   Les points \(B\), \(M\) et \(C\) sont alignés : \(\widehat{AMB}\) et \(\widehat{AMC}\) sont supplémentaires.

   $$ \widehat{AMC} = 180° - 110° = 70° $$

   Le triangle \(AMC\) est isocèle en \(M\), puisque \(MA = MC\) : ses deux angles à la base se partagent le reste.

   $$ \widehat{MAC} = \widehat{MCA} = (180° - 70°) \div 2 = 55° $$

   $$ \widehat{BAC} = \widehat{BAM} + \widehat{MAC} = 35° + 55° $$

   $$ \widehat{BAC} = 90° $$
2. Démontrer que le jardinier a raison, quelle que soit la place du piquet \(A\).

   Étape 1 : Exprimer l'angle \(\widehat{BAC}\) à l'aide des angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ACB}\).

   Étape 2 : Calculer la somme \(\widehat{ABC} + \widehat{ACB}\).

   Conclure :

   Étape 1 : on note \(x\) la mesure de \(\widehat{ABC}\) et \(y\) celle de \(\widehat{ACB}\). Le triangle \(ABM\) est isocèle en \(M\), donc \(\widehat{BAM} = x\) ; le triangle \(AMC\) est isocèle en \(M\), donc \(\widehat{MAC} = y\). L'angle \(\widehat{BAC}\) mesure donc \(x + y\).

   Étape 2 : dans le triangle \(ABC\), la somme des angles vaut \(180°\) :

   $$ x + y + (x + y) = 180° $$

   $$ 2 \times (x + y) = 180° $$

   $$ x + y = 90° $$

   Conclusion : l'angle \(\widehat{BAC}\), qui mesure \(x + y\), vaut \(90°\) quelle que soit la place de \(A\).

   L'angle \(\widehat{BAC}\) est toujours droit.

3. Où planter le piquet \(A\), toujours au bout du cordeau tendu, pour que \(\widehat{ABC}\) mesure \(60°\) ? Construire ce point au compas sur la figure, puis expliquer pourquoi l'angle mesure bien \(60°\). Que vaut alors \(\widehat{ACB}\) ?

   On plante \(A\) à la distance \(MB\) de \(M\), comme toujours, mais aussi de \(B\) : le triangle \(ABM\) a alors trois côtés égaux. Il est équilatéral, et ses trois angles mesurent \(60°\) : \(\widehat{ABC} = 60°\).

   \(A\) est à l'intersection des cercles de centres \(M\) et \(B\), de rayon \(MB\).

   D'après la question 2, les angles en \(B\) et en \(C\) font ensemble \(90°\) :

   $$ \widehat{ACB} = 90° - 60° $$

   $$ \widehat{ACB} = 30° $$

   Le triangle \(ABC\) a les angles d'une équerre : \(30°\), \(60°\) et \(90°\).

4. Lina tend mal le cordeau : elle plante le piquet \(A'\) sur la demi-droite \(\bigl[MA\bigr)\), plus loin que \(A\). Elle affirme que l'angle \(\widehat{BA'C}\) est encore droit. Trancher, en comparant les angles du triangle \(ABA'\) à l'angle \(\widehat{BAM}\).

   Étape 1 : Comparer l'angle \(\widehat{BA'A}\) à l'angle \(\widehat{BAM}\).

   Étape 2 : Comparer de même l'angle \(\widehat{AA'C}\) à l'angle \(\widehat{MAC}\).

   Conclure :

   Étape 1 : du côté de \(B\), dans le triangle \(ABA'\), la somme des angles vaut \(180°\). Les points \(M\), \(A\) et \(A'\) sont alignés, donc \(\widehat{BAM}\) et \(\widehat{BAA'}\) forment un angle plat :

   $$ \widehat{ABA'} + \widehat{BA'A} + \widehat{BAA'} = 180° \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \widehat{BAM} + \widehat{BAA'} = 180° $$

   En comparant les deux égalités, \(\widehat{BA'A} + \widehat{ABA'} = \widehat{BAM}\). L'angle \(\widehat{ABA'}\) n'est pas nul, donc :

   $$ \widehat{BA'A} < \widehat{BAM} $$

   Étape 2 : du côté de \(C\), le même raisonnement dans le triangle \(ACA'\) donne \(\widehat{AA'C} < \widehat{MAC}\).

   Conclusion : en ajoutant, et comme \(\widehat{BAM} + \widehat{MAC} = \widehat{BAC} = 90°\) d'après la question 2 :

   $$ \widehat{BA'C} < 90° $$

   Lina a tort : l'angle \(\widehat{BA'C}\) est aigu.