Le voyage scolaire

Le coût par élève

Un voyage réunit \(52\) élèves. Le car coûte \(1 \ 560 \ \text{€}\), l'hébergement \(38 \ \text{€}\) par élève et par nuit pour \(3\) nuits, et les entrées \(12 \ \text{€}\) par élève.

1. Quelle part du car revient à chaque élève ?
   $$ 1 \ 560 \div 52 = 30 $$

   $$ 30 \ \text{€} $$
2. Combien coûte l'hébergement par élève ?
   $$ 38 \times 3 = 114 $$

   $$ 114 \ \text{€} $$
3. En déduire le coût total par élève.
   $$ 30 + 114 + 12 = 156 $$

   $$ 156 \ \text{€} $$

Le devis selon l'effectif

Le car coûte \(1 \ 560 \ \text{€}\) quel que soit le nombre d'élèves. L'hébergement, lui, coûte \(114 \ \text{€}\) par élève.

1. Quelle part du car revient à chacun s'ils sont \(40\) ?
   $$ 1 \ 560 \div 40 = 39 $$

   $$ 39 \ \text{€} $$
2. Et s'ils sont \(60\) ?
   $$ 1 \ 560 \div 60 = 26 $$

   $$ 26 \ \text{€} $$
3. Le coût du car par élève est-il proportionnel à l'effectif ? Justifier.

   Quand l'effectif augmente, la part diminue : les deux grandeurs varient en sens contraire.

   $$ \text{non} \ : \ \text{plus on est nombreux, moins chacun paie} $$
4. Combien coûte l'hébergement pour \(40\) élèves ?
   $$ 114 \times 40 = 4 \ 560 $$

   $$ 4 \ 560 \ \text{€} $$
5. Le coût de l'hébergement est-il proportionnel à l'effectif ?

   On multiplie toujours par le même nombre, \(114\).

   $$ \text{oui} $$

Le financement

On revient à \(52\) élèves, à \(156 \ \text{€}\) chacun.

1. Quel est le coût total du voyage ?
   $$ 156 \times 52 = 8 \ 112 $$

   $$ 8 \ 112 \ \text{€} $$
2. Le foyer prend en charge \(25 \ \%\). Quelle somme verse-t-il ?
   $$ 8 \ 112 \times 0{,}25 = 2 \ 028 $$

   $$ 2 \ 028 \ \text{€} $$
3. Que reste-t-il à payer par élève ?
   $$ 8 \ 112 - 2 \ 028 = 6 \ 084 $$

   $$ 6 \ 084 \div 52 = 117 $$

   $$ 117 \ \text{€} $$
4. Une famille obtient en plus une aide de \(30 \ \%\) sur sa part. Combien paie-t-elle ?
   $$ 117 \times 0{,}70 = 81{,}90 $$

   $$ 81{,}90 \ \text{€} $$

Deux offres

L'agence A demande \(156 \ \text{€}\) par élève, tout compris. L'agence B demande \(90 \ \text{€}\) par élève, plus \(1 \ 800 \ \text{€}\) de frais fixes pour le groupe.

1. Combien coûte l'offre B pour \(52\) élèves ?
   $$ 90 \times 52 = 4 \ 680 $$

   $$ 4 \ 680 + 1 \ 800 = 6 \ 480 $$

   $$ 6 \ 480 \ \text{€} $$
2. Quelle offre choisir pour \(52\) élèves, et quelle économie fait-on ?
   $$ 8 \ 112 - 6 \ 480 = 1 \ 632 $$

   $$ \text{l'offre B, qui économise } 1 \ 632 \ \text{€} $$
3. Et pour une classe de \(25\) élèves ?
   $$ 156 \times 25 = 3 \ 900 $$

   $$ 90 \times 25 + 1 \ 800 = 4 \ 050 $$

   $$ \text{l'offre A} $$
4. À partir de combien d'élèves l'offre B devient-elle la moins chère ?

   L'écart par élève est \(156 - 90 = 66 \ \text{€}\) : il faut qu'il couvre les \(1 \ 800 \ \text{€}\) de frais fixes.

   $$ 27 \times 66 = 1 \ 782 \quad \text{et} \quad 28 \times 66 = 1 \ 848 $$

   $$ \text{à partir de } 28 \text{ élèves} $$