Problèmes sur les records olympiques

La note des juges

Cinq juges notent le même passage : \(8.7\) ; \(9.0\) ; \(8.9\) ; \(9.4\) ; \(8.8\). Le règlement écarte la note la plus haute et la plus basse, puis fait la moyenne des trois restantes.

1. Calculer la moyenne des cinq notes.
   $$ \frac{8.7 + 9.0 + 8.9 + 9.4 + 8.8}{5} = \frac{44.8}{5} $$

   $$ 8.96 $$
2. Calculer la note retenue par le règlement.

   On écarte \(9.4\) et \(8.7\) :

   $$ \frac{9.0 + 8.9 + 8.8}{3} = \frac{26.7}{3} $$

   $$ 8.9 $$
3. Un juge met \(9.8\) au lieu de \(9.4\). La note retenue change-t-elle ? Qu'en conclut-on ?

   \(9.8\) reste la note la plus haute : elle est écartée comme l'était \(9.4\). La moyenne des cinq, elle, aurait bougé.

   $$ \text{non} \ : \ \text{la règle protège la note d'un juge isolé} $$

Le plongeon

Au plongeon, le score est la moyenne des juges multipliée par un coefficient de difficulté. Anna obtient \(7.5\) sur un plongeon de coefficient \(2.8\), Bojan \(6.0\) sur un plongeon de coefficient \(3.5\).

1. Calculer le score de chacun.
   $$ 7.5 \times 2.8 = 21 \hspace{2em} 6.0 \times 3.5 = 21 $$

   $$ 21 \text{ tous les deux} $$
2. Qui remporte le duel ?
   $$ \text{personne} \ : \ \text{ils sont à égalité} $$
3. Bojan gagne \(0.5\) de moyenne. De combien dépasse-t-il Anna ?
   $$ 6.5 \times 3.5 = 22.75 $$

   $$ 22.75 - 21 = 1.75 $$

   $$ 1.75 \text{ point} $$
4. Pourquoi un plongeur peut-il gagner avec des notes plus basses ?

   Un demi-point de plus rapporte \(1.75\) sur un coefficient \(3.5\), contre \(1.4\) sur un coefficient \(2.8\).

   $$ \text{la difficulté multiplie ce que rapporte chaque point} $$

Médiane et étendue

Sept temps relevés sur \(100 \ \text{m}\), en secondes : \(10.5\) ; \(10.1\) ; \(10.8\) ; \(10.3\) ; \(10.9\) ; \(10.2\) ; \(10.7\).

1. Ranger ces temps dans l'ordre croissant.
   $$ 10.1 \ ; \ 10.2 \ ; \ 10.3 \ ; \ 10.5 \ ; \ 10.7 \ ; \ 10.8 \ ; \ 10.9 $$
2. Donner la médiane de la série.

   Sept valeurs : la médiane est la quatrième une fois rangées.

   $$ 10.5 \text{ s} $$
3. Donner l'étendue.
   $$ 10.9 - 10.1 = 0.8 $$

   $$ 0.8 \text{ s} $$
4. Calculer la moyenne. Que remarque-t-on ?
   $$ \frac{73.5}{7} = 10.5 $$

   Elle tombe exactement sur la médiane, ce qui n'arrive pas toujours.

   $$ 10.5 \text{ s, égale à la médiane} $$

Deux athlètes, une même moyenne

Anaïs réalise \(10.1\) ; \(10.5\) ; \(10.9\) ; \(10.3\) ; \(10.7\). Milan réalise \(10.4\) ; \(10.5\) ; \(10.6\) ; \(10.5\) ; \(10.5\).

1. Calculer la moyenne de chacun.
   $$ \frac{52.5}{5} = 10.5 \hspace{2em} \frac{52.5}{5} = 10.5 $$

   $$ 10.5 \text{ s pour les deux} $$
2. Calculer l'étendue de chacun.
   $$ 10.9 - 10.1 = 0.8 \hspace{2em} 10.6 - 10.4 = 0.2 $$

   $$ 0.8 \text{ s et } 0.2 \text{ s} $$
3. Lequel des deux est le plus régulier ?

   La moyenne ne les distingue pas ; l'étendue, si.

   $$ \text{Milan, dont l'étendue est quatre fois plus petite} $$
4. Pour un relais où chaque erreur se paie, lequel choisir ? Et pour battre un record ?

   Milan ne s'écroule jamais ; Anaïs seule est déjà descendue à \(10.1\).

   $$ \text{Milan pour le relais, Anaïs pour le record} $$