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Les casse-tête des lettres

Le code d'un roi, une boucle de dominos, un puzzle à découper et le carré de la tortue : quatre casse-tête pour calculer avec des lettres, sans calculatrice.

Le message de Viète

Vers 1590, François Viète perce pour Henri IV le code secret du roi d'Espagne, qui crie à la magie. Ici, chaque lettre est remplacée par une expression : sa valeur donne le rang de la lettre dans l'alphabet.

Calculer chaque expression avec les valeurs écrites à gauche de son message, puis écrire sa lettre dans la case du dessous.

Deux messages codés de sept cases. Le premier, pour x égal à 4 : 5x moins 1, x au carré moins 1, 2 fois x plus 5, 3x moins 9, 13 moins x, 2x moins 3, x au carré plus 2. Le second, pour x égal à 2 et y égal à 3 : y moins x, 2xy, 2x plus y, xy moins 1, x fois y moins 2, 2 y au carré, 3y moins 2x. Sous chaque case, une case vide pour la lettre. Dessous, l'alphabet de A, rang 1, à Z, rang 26 Premier message
$$ x = 4 $$
$$ 5x - 1 $$
$$ x^2 - 1 $$
$$ 2(x + 5) $$
$$ 3x - 9 $$
$$ 13 - x $$
$$ 2x - 3 $$
$$ x^2 + 2 $$
 Second message
$$ \begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases} $$
$$ y - x $$
$$ 2xy $$
$$ 2x + y $$
$$ xy - 1 $$
$$ x(y - 2) $$
$$ 2y^2 $$
$$ 3y - 2x $$
 Le rang de chaque lettre dans l'alphabet A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 J 10 K 11 L 12 M 13 N 14 O 15 P 16 Q 17 R 18 S 19 T 20 U 21 V 22 W 23 X 24 Y 25 Z 26
Les deux messages décodés : le premier, pour x égal à 4, donne SORCIER ; le second, pour x égal à 2 et y égal à 3, donne ALGEBRE Premier message
$$ x = 4 $$
$$ 5x - 1 $$
 S
$$ x^2 - 1 $$
 O
$$ 2(x + 5) $$
 R
$$ 3x - 9 $$
 C
$$ 13 - x $$
 I
$$ 2x - 3 $$
 E
$$ x^2 + 2 $$
 R Second message
$$ \begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases} $$
$$ y - x $$
 A
$$ 2xy $$
 L
$$ 2x + y $$
 G
$$ xy - 1 $$
 E
$$ x(y - 2) $$
 B
$$ 2y^2 $$
 R
$$ 3y - 2x $$
 E Le rang de chaque lettre dans l'alphabet A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 J 10 K 11 L 12 M 13 N 14 O 15 P 16 Q 17 R 18 S 19 T 20 U 21 V 22 W 23 X 24 Y 25 Z 26

Le premier message donne SORCIER, le second ALGEBRE.

  1. Hugo trouve \(53\) dans la case \(5x - 1\) : aucune lettre n'a ce rang. Expliquer son erreur.

    Hugo a collé \(5\) et \(4\) pour écrire \(54\). Or \(5x\) est un produit : le signe \(\times\) est sous-entendu.

    $$ 5x - 1 = 5 \times 4 - 1 = 20 - 1 = 19 $$

    Le rang \(19\) est celui de la lettre \(\mathrm{S}\).

  2. Dans le premier message, les cases \(2(x + 5)\) et \(x^2 + 2\) donnent toutes deux la lettre \(\mathrm{R}\). Calculer ces deux expressions pour \(x = 1\). Sont-elles égales pour tous les nombres ?
    $$ 2(1 + 5) = 2 \times 6 = 12 $$
    $$ 1^2 + 2 = 1 + 2 = 3 $$

    Pour \(x = 1\), elles ne sont pas égales : ce contre-exemple suffit. Elles ne sont égales que pour certaines valeurs de \(x\), comme \(4\).

La boucle des dominos

Chaque domino porte à gauche une expression réduite, à droite une expression à réduire.

Réduire chaque expression de droite : le domino suivant porte sa forme réduite à gauche. Écrire l'ordre des douze dominos, de \(\mathrm{A}\) jusqu'au retour sur \(\mathrm{A}\).

Douze dominos, de A à L, rangés en quatre lignes de trois ; chacun porte à gauche une expression réduite et à droite une expression à réduire. Dessous, treize cases reliées par des flèches : la première et la dernière portent A
$$ 5x $$
$$ 4x + 7 + 3x - 2 $$
 A
$$ 5x + 3 $$
$$ x + 4 + x + 4 $$
 B
$$ 7x + 5 $$
$$ x \times x + 2x $$
 C
$$ 8x $$
$$ 6 + 2x + 1 $$
 D
$$ 3x $$
$$ 3 \times x \times x $$
 E
$$ 2x + 6 $$
$$ x + x + x $$
 F
$$ 3x^2 $$
$$ 9x - x $$
 G
$$ 2x + 8 $$
$$ 2x + 3x $$
 H
$$ 12x $$
$$ 7x - 2x + 3 $$
 I
$$ 2x + 7 $$
$$ 4x \times 3 $$
 J
$$ 10x $$
$$ 5x + 2 - 3x + 4 $$
 K
$$ x^2 + 2x $$
$$ 2x \times 5 $$
 L A A
La boucle des douze dominos remise en ordre, de A à A : A, C, L, K, F, E, G, D, J, I, B, H, A ; chaque expression de droite, réduite, se lit à gauche du domino suivant
$$ 5x $$
$$ 4x + 7 + 3x - 2 $$
 A
$$ 7x + 5 $$
$$ x \times x + 2x $$
 C
$$ x^2 + 2x $$
$$ 2x \times 5 $$
 L
$$ 10x $$
$$ 5x + 2 - 3x + 4 $$
 K
$$ 2x + 6 $$
$$ x + x + x $$
 F
$$ 3x $$
$$ 3 \times x \times x $$
 E
$$ 3x^2 $$
$$ 9x - x $$
 G
$$ 8x $$
$$ 6 + 2x + 1 $$
 D
$$ 2x + 7 $$
$$ 4x \times 3 $$
 J
$$ 12x $$
$$ 7x - 2x + 3 $$
 I
$$ 5x + 3 $$
$$ x + 4 + x + 4 $$
 B
$$ 2x + 8 $$
$$ 2x + 3x $$
 H A C L K F E G D J I B H A
  1. Lucie a réduit \(4x + 7 + 3x - 2\) en \(12x\). Expliquer son erreur, puis ce que la boucle lui a montré.

    On ne regroupe que les termes de même nature : les termes en \(x\) entre eux, les nombres entre eux.

    $$ 4x + 7 + 3x - 2 = (4x + 3x) + (7 - 2) = 7x + 5 $$

    \(7x + 5\) ne s'écrit pas plus court. Avec \(12x\), Lucie est passée du domino \(\mathrm{A}\) au domino \(\mathrm{I}\), et la boucle s'est refermée sur \(\mathrm{A}\) au bout de quatre dominos : les huit autres restaient de côté.

  2. Écrire une expression de quatre termes qui pourrait remplacer la droite du domino \(\mathrm{K}\) sans rompre la boucle.

    Elle doit se réduire en \(2x + 6\), la gauche du domino suivant. Par exemple :

    $$ 3x + 10 - x - 4 = (3x - x) + (10 - 4) = 2x + 6 $$

Le puzzle de la distributivité

Dans ce puzzle, deux bords qui se touchent portent deux écritures d'une même expression : l'une factorisée, l'autre développée.

Découper les neuf pièces de la dernière page, les assembler dans ce triangle en posant la pièce \(\mathrm{A}\) en haut, puis les coller.

Le cadre du puzzle : un grand triangle vide, partagé en neuf petits triangles par des pointillés légers ; le petit triangle du sommet porte la lettre A A
Le puzzle assemblé. Sur chaque bord intérieur, une expression factorisée touche son développement ; les neuf pièges, en rouge, restent sur le bord du grand triangle. Bord gauche, de haut en bas : 3x plus 4, 10x moins 1, 6 fois x plus 18
$$ 10x + 4 $$
$$ 4(x - 3) $$
$$ 3x + 4 $$
 A
$$ 15x - 10 $$
$$ 3x + 12 $$
$$ 10x - 1 $$
 B
$$ 4x - 12 $$
$$ 7(x + 2) $$
$$ 5(3x - 2) $$
 C
$$ 4(2x - 4) $$
$$ 10x + 8 $$
$$ 7x + 14 $$
 D
$$ 5(2x - 1) $$
$$ 4x - 3 $$
$$ 6(x + 18) $$
 E
$$ 3(x + 4) $$
$$ 4(2x - 1) $$
$$ 10x - 5 $$
 F
$$ 9x + 6 $$
$$ 5(3x - 10) $$
$$ 8x - 4 $$
 G
$$ 2(5x + 4) $$
$$ 6(x + 3) $$
$$ 3(3x + 2) $$
 H
$$ 9(x + 6) $$
$$ 7x + 2 $$
$$ 6x + 18 $$
 I
  1. Recopier les trois expressions du bord gauche du grand triangle, de haut en bas.

    De haut en bas : \(3x + 4\), puis \(10x - 1\), puis \(6(x + 18)\).

  2. Ces trois expressions sont des pièges : chacune vient d'une erreur sur l'expression d'une pièce. Retrouver cette expression, puis écrire l'égalité juste.

    \(3x + 4\) oublie de multiplier \(4\) par \(3\) :

    $$ 3(x + 4) = 3x + 3 \times 4 = 3x + 12 $$

    \(10x - 1\) oublie de multiplier \(1\) par \(5\) :

    $$ 5(2x - 1) = 5 \times 2x - 5 \times 1 = 10x - 5 $$

    \(6(x + 18)\) laisse \(18\) dans la parenthèse au lieu de le diviser par \(6\) :

    $$ 6x + 18 = 6 \times x + 6 \times 3 = 6(x + 3) $$

Le carré magique de Lucas

Selon une légende chinoise, une tortue sortie du fleuve Luo portait sur sa carapace un carré de neuf nombres, le Lo Shu. Ses trois cases de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale ont la même somme : la somme magique.

Au XIXe siècle, Édouard Lucas écrit avec trois lettres \(a\), \(b\) et \(c\) tous les carrés magiques de neuf cases.

Le carré de Lucas, ligne par ligne : c moins b, c plus a plus b, c moins a ; c moins a plus b, c, c plus a moins b ; c plus a, c moins a moins b, c plus b. À côté, deux carrés vides de trois cases sur trois, nommés Lo Shu et Somme 30
$$ c - b $$
$$ c + a + b $$
$$ c - a $$
$$ c - a + b $$
$$ c $$
$$ c + a - b $$
$$ c + a $$
$$ c - a - b $$
$$ c + b $$
 Carré de Lucas Lo Shu Somme 30
Le carré de Lucas, puis le Lo Shu complété : 4, 9, 2 ; 3, 5, 7 ; 8, 1, 6 ; puis un carré de somme 30 : 9, 14, 7 ; 8, 10, 12 ; 13, 6, 11
$$ c - b $$
$$ c + a + b $$
$$ c - a $$
$$ c - a + b $$
$$ c $$
$$ c + a - b $$
$$ c + a $$
$$ c - a - b $$
$$ c + b $$
 Carré de Lucas
$$ 4 $$
$$ 9 $$
$$ 2 $$
$$ 3 $$
$$ 5 $$
$$ 7 $$
$$ 8 $$
$$ 1 $$
$$ 6 $$
 Lo Shu
$$ 9 $$
$$ 14 $$
$$ 7 $$
$$ 8 $$
$$ 10 $$
$$ 12 $$
$$ 13 $$
$$ 6 $$
$$ 11 $$
 Somme 30
  1. Calculer en la réduisant la somme des trois cases de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale du carré de Lucas. Que démontre-t-on ?

    On regroupe les termes de même lettre : chaque \(a\) et chaque \(b\) est annulé par son opposé.

    $$ (c - b) + (c + a + b) + (c - a) = 3c $$
    $$ (c - a + b) + c + (c + a - b) = 3c $$
    $$ (c + a) + (c - a - b) + (c + b) = 3c $$

    De même pour les trois colonnes et les deux diagonales, par exemple :

    $$ (c - b) + c + (c + b) = 3c $$
    $$ (c - a) + c + (c + a) = 3c $$

    Les huit sommes valent \(3c\), quels que soient les nombres \(a\), \(b\) et \(c\) : le carré de Lucas est toujours magique, de somme magique \(3c\).

  2. Remplacer \(a\) par \(3\), \(b\) par \(1\) et \(c\) par \(5\), puis écrire les neuf nombres obtenus dans le carré Lo Shu. Donner sa somme magique.

    Par exemple, en haut à gauche et au milieu de la première ligne :

    $$ c - b = 5 - 1 = 4 $$
    $$ c + a + b = 5 + 3 + 1 = 9 $$

    On retrouve les nombres de \(1\) à \(9\), chacun une fois.

    $$ \text{somme magique} : 3 \times 5 = 15 $$
  3. Trouver des nombres \(a\), \(b\) et \(c\) qui donnent un carré magique de somme \(30\), aux neuf nombres différents, puis l'écrire dans le dernier carré.

    La somme magique vaut \(3c\) : on cherche \(c\) tel que \(3c = 30\).

    $$ c = 30 \div 3 = 10 $$

    \(a\) et \(b\) sont libres, pourvu que les neuf cases restent différentes : avec \(a = b\), les cases \(c - b\) et \(c - a\) seraient égales. Par exemple, \(a = 3\) et \(b = 1\) donnent le Lo Shu augmenté de \(5\) dans chaque case.

Les pièces du puzzle de l'exercice 3, à découper en suivant les pointillés.

Les neuf pièces du puzzle, de A à I, mêlées et tournées dans un grand triangle à découper suivant les pointillés ; chaque bord porte une expression
$$ 3x + 12 $$
$$ 10x - 1 $$
$$ 15x - 10 $$
 B
$$ 4(2x - 1) $$
$$ 10x - 5 $$
$$ 3(x + 4) $$
 F
$$ 8x - 4 $$
$$ 9x + 6 $$
$$ 5(3x - 10) $$
 G
$$ 10x + 4 $$
$$ 4(x - 3) $$
$$ 3x + 4 $$
 A
$$ 9(x + 6) $$
$$ 7x + 2 $$
$$ 6x + 18 $$
 I
$$ 6(x + 18) $$
$$ 5(2x - 1) $$
$$ 4x - 3 $$
 E
$$ 6(x + 3) $$
$$ 3(3x + 2) $$
$$ 2(5x + 4) $$
 H
$$ 5(3x - 2) $$
$$ 4x - 12 $$
$$ 7(x + 2) $$
 C
$$ 7x + 14 $$
$$ 4(2x - 4) $$
$$ 10x + 8 $$
 D