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Des lettres à la place des nombres : pour écrire une formule, calculer, transformer et prouver.
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Écrire une expression littérale en respectant les conventions
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Calculer une expression en remplaçant la lettre par un nombre
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Développer, factoriser et réduire une expression simple
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Prouver une propriété avec des lettres ou la réfuter par un contre-exemple
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Résoudre une équation simple par l'opération inverse
Une carte de cinéma coûte \(15 \ \text{€}\), puis \(5 \ \text{€}\) la séance. Pour \(x\) séances dans l'année :
Une seule écriture répond pour trois séances comme pour trente.
Une lettre garde la place d'un nombre inconnu.
Une expression littérale
Une expression littérale est un calcul dans lequel une ou plusieurs lettres remplacent des nombres.
La lettre permet d'écrire une formule valable pour tous les nombres à la fois.
Exemple : le périmètre d'un carré de côté \(c\) s'écrit \(P = 4 \times c\).
Les conventions d'écriture
On supprime le signe \(\times\) devant une lettre ou devant une parenthèse, jamais entre deux nombres.
On écrit |
Au lieu de |
|---|---|
\(4c\) |
\(4 \times c\) |
\(ab\) |
\(a \times b\) |
\(3(x + 1)\) |
\(3 \times (x + 1)\) |
\(x^2\) |
\(x \times x\) |
On écrit \(1x\) sous la forme \(x\), et \(0x\) sous la forme \(0\).
Calculer par substitution
On remplace la lettre partout par la valeur donnée, puis on calcule en respectant les priorités.
Exemple : calculer \(B = 5x + 3\) pour \(x = 4\).
On rétablit le signe \(\times\) : pour \(x = 4\), \(5x\) vaut \(20\), et non \(54\).
Somme ou produit ?
On reconnaît la nature d'une expression à la dernière opération effectuée.
Expression |
Nature |
Pourquoi |
|---|---|---|
\(3x + 5\) |
Une somme |
L'addition se fait en dernier |
\(3(x + 5)\) |
Un produit |
La parenthèse se calcule d'abord |
\(2x \times 7\) |
Un produit |
Il n'y a que des multiplications |
Développer et factoriser
La distributivité
Multiplier une somme ou une différence par un nombre revient à multiplier chaque terme par ce nombre :
De gauche à droite, elle développe un produit en somme ; de droite à gauche, elle factorise une somme en produit.
Exemple de développement :
Exemple de factorisation : on repère le facteur commun \(5\).
Réduire une expression
Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en \(x\) entre eux, les nombres seuls entre eux.
Exemple :
\(7x + 5\) ne vaut pas \(12x\) : les termes ne sont pas de même nature.
Prouver ou réfuter avec des lettres
Une expression littérale démontre une propriété pour tous les nombres d'un coup.
Exemple : « la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de \(3\) ».
\(D\) est un multiple de \(3\), quel que soit \(n\).
À l'inverse, un seul contre-exemple suffit à démontrer qu'une affirmation est fausse.
« Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre » est fausse : \(0.5^2 = 0.25\).
Conjecturer au tableur
Avant de démontrer, on peut essayer au tableur sur de nombreuses valeurs.
Exemple : \(2(x + 3)\) et \(2x + 6\) donnent-elles toujours le même résultat ?
On écrit les valeurs de \(x\) dans la colonne A, puis une formule dans chacune des deux autres:
B2 : =2*(A2+3) C2 : =2*A2+6
Recopiées vers le bas, elles donnent deux colonnes identiques:
A : \(x\) |
B : \(2(x+3)\) |
C : \(2x+6\) |
|---|---|---|
\(1\) |
\(8\) |
\(8\) |
\(5\) |
\(16\) |
\(16\) |
\(12\) |
\(30\) |
\(30\) |
Le tableur donne une conjecture, il ne la démontre pas.
La lettre comme inconnue
Dans une équation, la lettre désigne le nombre cherché.
Résoudre par l'opération inverse
Pour retrouver l'inconnue, on défait la dernière opération subie.
Exemple : un cahier et un stylo coûtent \(9 \text{ €}\) ; le stylo coûte \(2 \text{ €}\). En notant \(x\) le prix du cahier :
On vérifie en remplaçant : \(7 + 2 = 9\).