Le calcul littéral et algébrique

Une expression littérale

Une expression littérale est un calcul dans lequel une ou plusieurs lettres remplacent des nombres.

La lettre permet d'écrire une formule valable pour tous les nombres à la fois, au lieu de la répéter cas par cas.

Exemple : le périmètre d'un carré de côté $c$ s'écrit $P = 4 \times c$, quelle que soit la valeur de $c$.

Les conventions d'écriture

On supprime le signe $\times$ devant une lettre ou devant une parenthèse. On ne le supprime jamais entre deux nombres.

On écrit	Au lieu de
$4c$	$4 \times c$
$ab$	$a \times b$
$3(x + 1)$	$3 \times (x + 1)$
$x^2$	$x \times x$

Alléger une écriture

On écrit $1x$ sous la forme $x$, et $0x$ sous la forme $0$.

Calculer par substitution

Donner une valeur à la lettre, c'est la remplacer partout par cette valeur, puis effectuer le calcul en respectant les priorités.

Exemple : calculer $B = 5x + 3$ pour $x = 4$.

$$ B = 5 \times 4 + 3 = 20 + 3 $$

$$ B = 23 $$

Il faut rétablir le signe $\times$ avant de calculer : $5x$ pour $x = 4$ vaut $20$, et non $54$.

Somme ou produit ?

On reconnaît la nature d'une expression à sa dernière opération, celle que l'on effectuerait en dernier.

Expression	Nature	Pourquoi
$3x + 5$	Une somme	L'addition se fait en dernier
$3(x + 5)$	Un produit	La parenthèse se calcule d'abord
$2x \times 7$	Un produit	Il n'y a que des multiplications

Reconnaître la nature d'une expression

Développer et factoriser

La distributivité

$$ k(a + b) = ka + kb $$

$$ k(a - b) = ka - kb $$

Lue de gauche à droite, cette égalité développe le produit en somme. Lue de droite à gauche, elle factorise la somme en produit.

Exemple de développement :

$$ 3(x + 4) = 3 \times x + 3 \times 4 $$

$$ 3(x + 4) = 3x + 12 $$

Exemple de factorisation : on repère le facteur commun $5$.

$$ 5x + 15 = 5(x + 3) $$

Réduire une expression

Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en $x$ entre eux, les nombres seuls entre eux.

Exemple :

$$ 4x + 7 + 3x - 2 = (4x + 3x) + (7 - 2) $$

$$ 4x + 7 + 3x - 2 = 7x + 5 $$

On ne peut pas aller plus loin : $7x$ et $5$ ne sont pas de même nature, et $7x + 5$ ne vaut pas $12x$.

Prouver ou réfuter avec des lettres

Une expression littérale démontre une propriété pour tous les nombres d'un coup.

Exemple : « la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de $3$ ».

$$ n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 $$

$$ n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1) $$

Le résultat s'écrit comme $3$ multiplié par un entier : c'est bien un multiple de $3$, quel que soit $n$.

À l'inverse, un seul contre-exemple suffit à démontrer qu'une affirmation est fausse.

« Le carré d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre » est fausse : pour $n = 0.5$, le carré vaut $0.25$, qui est plus petit.

La lettre comme inconnue

Dans une équation, la lettre ne désigne plus n'importe quel nombre : elle désigne le nombre cherché.

Résoudre par l'opération inverse

Pour retrouver l'inconnue, on défait la dernière opération subie.

$$ x + b = c \qquad \longrightarrow \qquad x = c - b $$

$$ ax = c \qquad \longrightarrow \qquad x = c \div a $$

Exemple : un cahier et un stylo coûtent $9 \text{ €}$ ; le stylo coûte $2 \text{ €}$. En notant $x$ le prix du cahier :

$$ x + 2 = 9 \qquad \longrightarrow \qquad x = 9 - 2 $$

$$ x = 7 \text{ €} $$

On vérifie toujours en remplaçant : $7 + 2 = 9$, l'énoncé est bien respecté.

On écrit	Au lieu de
\(4c\)	\(4 \times c\)
\(ab\)	\(a \times b\)
\(3(x + 1)\)	\(3 \times (x + 1)\)
\(x^2\)	\(x \times x\)

Expression	Nature	Pourquoi
\(3x + 5\)	Une somme	L'addition se fait en dernier
\(3(x + 5)\)	Un produit	La parenthèse se calcule d'abord
\(2x \times 7\)	Un produit	Il n'y a que des multiplications