Problèmes sur le calcul littéral en cinquième

Une formule d'IMC, un programme de calcul, une frise d'allumettes : la lettre sert à écrire une règle avant de la vérifier.

Calculer une expression littérale par substitution, et tester une égalité
Produire une formule, puis la réduire
Démontrer une propriété à l'aide de lettres
Retrouver un nombre inconnu en défaisant les opérations

Alléger l'écriture

Écrire ces expressions sous une forme plus simple à lire, en supprimant les signes $\times$ inutiles.

$$ E = x \times x \times 2 - 3 \times x + 1 $$

$x \times x$ s'écrit $x^2$, et le nombre se place devant la lettre :

$$ E = 2x^2 - 3x + 1 $$
$$ P_{\text{cercle}} = 2 \times \pi \times R $$

On supprime le signe $\times$ devant les lettres, et $\pi$ en est une :

$$ P_{\text{cercle}} = 2 \pi R $$
$$ A_{\text{disque}} = \pi \times R \times R $$

$$ A_{\text{disque}} = \pi R^2 $$

Tester une égalité

Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour la valeur de $x$ proposée, en remplaçant $x$ par cette valeur.

$$ x + 1 = 0 \hspace{2em} \text{pour} \hspace{2em} x = -1 $$

$$ -1 + 1 = 0 $$

$$ \text{vraie} $$
$$ 2x = 1 \hspace{2em} \text{pour} \hspace{2em} x = 2 $$

$$ 2 \times 2 = 4 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 4 \neq 1 $$

$$ \text{fausse} $$

La valeur qui convient est $x = 1 \div 2 = 0{,}5$.
$$ 3x - 4 = 2x \hspace{2em} \text{pour} \hspace{2em} x = 4 $$

On calcule séparément chacun des deux membres :

$$ 3 \times 4 - 4 = 12 - 4 = 8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 2 \times 4 = 8 $$

$$ \text{vraie} $$

L'indice de masse corporelle

Les médecins calculent l'IMC d'un adulte (indice de masse corporelle) grâce à la formule suivante, où la masse est en kilogrammes et la taille en mètres :

$$ \text{IMC} = \frac{\text{masse}}{\text{taille}^2} $$

Calculer l'IMC d'un adulte de $81 \ \text{kg}$ qui mesure $1{,}80 \ \text{m}$.

$$ \text{taille}^2 = 1{,}80 \times 1{,}80 = 3{,}24 $$

$$ \text{IMC} = \frac{81}{3{,}24} = 81 \div 3{,}24 $$

$$ \text{IMC} = 25 $$
En reprenant la formule de l'IMC, exprimer la masse en fonction de l'IMC et de la taille.

La masse est divisée par $\text{taille}^2$ pour donner l'IMC : on défait cette division par une multiplication.

$$ \text{masse} = \text{IMC} \times \text{taille}^2 $$
Quelle masse aurait un adulte de même taille, $1{,}80 \ \text{m}$, dont l'IMC vaut $20$ ?

On remplace dans la formule de la question précédente :

$$ \text{masse} = 20 \times 3{,}24 $$

$$ \text{masse} = 64{,}8 \ \text{kg} $$

Le programme qui double

On considère le programme de calcul suivant : choisir un nombre, lui ajouter $3$, multiplier le résultat par $2$, puis soustraire $6$.

Appliquer ce programme au nombre $5$, puis au nombre $2{,}5$. Que remarque-t-on ?

$$ (5 + 3) \times 2 - 6 = 16 - 6 = 10 $$

$$ (2{,}5 + 3) \times 2 - 6 = 11 - 6 = 5 $$

Dans les deux cas, on obtient le double du nombre de départ.
Démontrer que ce programme donne toujours le double du nombre choisi.

On note $x$ le nombre choisi. Le programme calcule :

$$ R = 2(x + 3) - 6 $$

$$ R = 2x + 6 - 6 $$

$$ R = 2x $$

Le calcul vaut pour tous les nombres à la fois : le résultat est toujours le double du nombre choisi.

Le nombre de départ

Léa choisit un nombre, le multiplie par $4$, puis ajoute $7$ au résultat. Elle obtient $43$.

En notant $x$ le nombre choisi, écrire l'égalité que vérifie $x$.

$$ 4x + 7 = 43 $$
Pour retrouver ce nombre, Tom calcule $43 \div 4 - 7$. Expliquer son erreur.

Pour remonter le programme, il faut défaire les opérations dans l'ordre inverse : la dernière opération subie, l'ajout de $7$, se défait en premier. Tom a divisé avant de soustraire.

D'ailleurs son calcul donne $3{,}75$, et $4 \times 3{,}75 + 7 = 22$, pas $43$.
Retrouver le nombre choisi par Léa, puis vérifier.

$$ 4x = 43 - 7 = 36 $$

$$ x = 36 \div 4 $$

$$ x = 9 $$

Vérification : $4 \times 9 + 7 = 36 + 7 = 43$.

La frise d'allumettes

Avec des allumettes, on construit une frise de carrés accolés. Voici les frises à un, deux et trois carrés :

Combien faut-il d'allumettes pour une frise de $4$ carrés ? Pour une frise de $10$ carrés ?

Le premier carré demande $4$ allumettes, puis chaque nouveau carré en ajoute $3$, car il réutilise un côté du précédent : $4$, $7$, $10$, $13$…

$$ 4 + 9 \times 3 = 31 $$

$$ 13 \ \text{allumettes} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 31 \ \text{allumettes} $$
Inès compte à part les allumettes horizontales et les allumettes verticales, en bleu. Pour une frise de $n$ carrés, elle écrit $2n + (n + 1)$. Expliquer son écriture.

Chaque carré a une allumette horizontale en haut et une en bas : $2n$ en tout. Les verticales, elles, sont une de plus que les carrés : $n + 1$.
Réduire l'expression d'Inès, et vérifier qu'elle donne bien le résultat de la première question pour $4$ carrés.

$$ A = 2n + n + 1 $$

$$ A = 3n + 1 $$

Pour $n = 4$ : $3 \times 4 + 1 = 13$, comme trouvé en comptant.
On dispose d'une boîte de $100$ allumettes. Chercher la plus longue frise que l'on peut construire. Reste-t-il des allumettes ?

On cherche $n$ tel que $3n + 1 = 100$. On défait l'ajout de $1$, puis la multiplication par $3$ :

$$ 3n = 100 - 1 = 99 $$

$$ n = 99 \div 3 $$

$$ n = 33 \ \text{carrés} $$

La frise utilise les $100$ allumettes : il n'en reste aucune.

La pyramide de briques

Chaque brique porte la somme des deux briques sur lesquelles elle repose.

Compléter la pyramide.

$$ 3 + 1 = 4 \hspace{2em} 1 + 4 = 5 \hspace{2em} 4 + 2 = 6 $$

$$ 4 + 5 = 9 \hspace{2em} 5 + 6 = 11 $$

$$ \text{sommet} : 9 + 11 = 20 $$
Dans cette même pyramide, on remplace la brique $1$ par un nombre $x$. Exprimer le sommet en fonction de $x$, sous forme réduite, puis trouver la valeur de $x$ qui donne $50$ au sommet.

On remplit la pyramide étage par étage, en réduisant à chaque fois :

$$ 3 + x \hspace{2em} x + 4 \hspace{2em} 4 + 2 = 6 $$

$$ (3 + x) + (x + 4) = 2x + 7 \hspace{2em} (x + 4) + 6 = x + 10 $$

$$ (2x + 7) + (x + 10) $$

$$ \text{sommet} = 3x + 17 $$

Pour $x = 1$, on retrouve bien $3 \times 1 + 17 = 20$. On cherche maintenant $x$ tel que $3x + 17 = 50$ : on défait l'ajout de $17$, puis la multiplication par $3$.

$$ 3x = 50 - 17 = 33 $$

$$ x = 33 \div 3 $$

$$ x = 11 $$

Vérification : avec $3$, $11$, $4$ et $2$ en bas, les étages valent $14$, $15$ et $6$, puis $29$ et $21$, et le sommet $50$.
On écrit maintenant quatre nombres quelconques $a$, $b$, $c$ et $d$ dans la rangée du bas, dans cet ordre. Exprimer le sommet en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$, sous forme réduite, puis vérifier la formule sur la première pyramide.

Deuxième étage :

$$ a + b \hspace{2em} b + c \hspace{2em} c + d $$

Troisième étage, en regroupant les termes de même lettre :

$$ (a + b) + (b + c) = a + 2b + c \hspace{2em} (b + c) + (c + d) = b + 2c + d $$

Sommet :

$$ (a + 2b + c) + (b + 2c + d) $$

$$ \text{sommet} = a + 3b + 3c + d $$

Vérification avec $3$, $1$, $4$ et $2$ : $3 + 3 \times 1 + 3 \times 4 + 2 = 3 + 3 + 12 + 2 = 20$, comme à la première question.
On écrit les nombres $1$, $2$, $3$ et $4$ dans la rangée du bas, chacun une fois, dans l'ordre que l'on veut. Trouver tous les nombres que l'on peut obtenir au sommet, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

Avec les notations de la question précédente, la somme des quatre nombres du bas vaut toujours $a + b + c + d = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$. On la fait apparaître dans le sommet :

$$ a + 3b + 3c + d = (a + b + c + d) + 2b + 2c $$

$$ \text{sommet} = 10 + 2(b + c) $$

Seuls les deux nombres du milieu comptent. $b + c$ est la somme de deux nombres différents pris parmi $1$, $2$, $3$ et $4$ : au moins $1 + 2 = 3$, au plus $3 + 4 = 7$, et chaque valeur entre les deux est atteinte :

$$ 1 + 2 = 3 \hspace{2em} 1 + 3 = 4 \hspace{2em} 1 + 4 = 5 \hspace{2em} 2 + 4 = 6 \hspace{2em} 3 + 4 = 7 $$

Le sommet vaut donc $10 + 2 \times 3$, $10 + 2 \times 4$, et ainsi de suite jusqu'à $10 + 2 \times 7$ :

$$ 16 \ ; \ 18 \ ; \ 20 \ ; \ 22 \ ; \ 24 $$

Il n'y en a pas d'autre, puisque $b + c$ ne prend que ces cinq valeurs : le sommet est toujours pair, et jamais plus grand que $24$.

Vérification du plus grand : avec $1$, $3$, $4$ et $2$ en bas, les étages valent $4$, $7$ et $6$, puis $11$ et $13$, et le sommet $24$.

Le calendrier de juin

Sur le calendrier de juin 2027, on encadre un carré de neuf jours.

Calculer la somme des neuf jours du carré bleu, et la comparer au jour du milieu.

$$ (8 + 9 + 10) + (15 + 16 + 17) + (22 + 23 + 24) = 27 + 48 + 69 $$

$$ 144 = 9 \times 16 $$

La somme vaut neuf fois le jour du milieu.
Démontrer que, dans tout carré de neuf jours d'un calendrier, la somme vaut neuf fois le jour du milieu.

On note $n$ le jour du milieu. Dans une semaine, le voisin de gauche vaut un jour de moins, celui de droite un jour de plus ; d'une ligne à la suivante, on avance d'une semaine, soit de $7$ jours :

Les jours placés de part et d'autre du milieu vont par deux, et chaque paire vaut $2n$ :

$$ (n - 8) + (n + 8) = n + n - 8 + 8 = 2n $$

Il en va de même pour $n - 7$ et $n + 7$, pour $n - 6$ et $n + 6$, pour $n - 1$ et $n + 1$. Les quatre paires et le milieu donnent la somme $S$ des neuf jours :

$$ S = 2n + 2n + 2n + 2n + n $$

$$ S = 9n $$

Le calcul vaut pour tous les carrés à la fois. Pour le carré bleu, $n = 16$ redonne bien $144$.
Sur ce même calendrier, Mia encadre un carré dont la somme vaut $162$. Retrouver ses neuf jours. Léo annonce une somme de $200$, et Sam une somme de $117$ : prouver qu'ils se trompent tous les deux.

Mia : le jour du milieu vérifie $9n = 162$.

$$ n = 162 \div 9 = 18 $$

$$ 10 \ ; \ 11 \ ; \ 12 \ ; \ 17 \ ; \ 18 \ ; \ 19 \ ; \ 24 \ ; \ 25 \ ; \ 26 $$

Vérification : $33 + 54 + 75 = 162$.

Léo : la somme d'un carré est un multiple de $9$. La somme des chiffres de $200$ vaut $2$, qui n'est pas un multiple de $9$ : $200$ n'est pas divisible par $9$.

Sam : $117 = 9 \times 13$, le milieu serait donc le $13$. Mais le $13$ juin est un dimanche : il n'a pas de voisin à sa droite dans la semaine, et aucun carré ne peut l'avoir pour milieu.

$$ \text{Léo et Sam se trompent} $$
On change de carré : Tom encadre seize jours, en un carré de quatre sur quatre. Il affirme : « La somme est toujours un multiple de $16$. » Trancher, puis trouver comment obtenir cette somme à partir des quatre jours du centre du carré.

On note $a$ le jour en haut à gauche. Comme pour le carré de neuf jours, on ajoute $1$ d'une colonne à la suivante et $7$ d'une ligne à la suivante :

On additionne ligne par ligne, en regroupant les termes de même nature :

$$ S = (4a + 6) + (4a + 34) + (4a + 62) + (4a + 90) $$

$$ S = 16a + 192 $$

Or $192 = 16 \times 12$ : on factorise par $16$.

$$ S = 16(a + 12) $$

Tom a raison : quel que soit le carré, la somme est un multiple de $16$.

Les quatre jours du centre, colorés sur la figure, valent ensemble :

$$ (a + 8) + (a + 9) + (a + 15) + (a + 16) = 4a + 48 = 4(a + 12) $$

Or $S = 16(a + 12) = 4 \times 4(a + 12)$. La somme des seize jours vaut donc quatre fois celle des quatre jours du centre :

$$ S = 4 \times \bigl(\text{somme des quatre jours du centre}\bigr) $$

Vérification sur le carré de juin qui commence le mardi $1$ : ses lignes valent $10$, $38$, $66$ et $94$, soit $208 = 16 \times 13$ ; ses jours du centre font $9 + 10 + 16 + 17 = 52$, et $4 \times 52 = 208$.