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Un nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers, le dénominateur n'étant pas nul.
Un même nombre admet une infinité d'écritures fractionnaires. Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne le change pas.
Exemple :
Simplifier une fraction
Simplifier, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun . On répète l'opération tant que c'est possible.
Exemple :
Les critères de divisibilité rendent ici de grands services pour repérer un diviseur commun.
Comparer des fractions
-
Même dénominateur
La plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand.
$$ \frac{5}{7} > \frac{2}{7} $$ -
Même numérateur
La plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit : on partage en moins de parts, donc les parts sont plus grosses.
$$ \frac{3}{4} > \frac{3}{8} $$ -
Cas général
On récrit les deux fractions avec un dénominateur commun, puis on compare les numérateurs.
$$ \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \qquad \text{et} \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12} $$$$ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $$
Comparer une fraction à \(1\) est immédiat : elle est plus petite que \(1\) si son numérateur est plus petit que son dénominateur, plus grande dans le cas contraire.
Trouver un dénominateur commun
On cherche un multiple commun aux deux dénominateurs. Deux situations reviennent souvent.
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L'un est un multiple de l'autre
Il suffit alors de transformer une seule fraction.
$$ \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} $$ -
Aucun n'est multiple de l'autre
Leur produit convient toujours, même s'il n'est pas le plus petit.
$$ \frac{2}{3} \ \text{et} \ \frac{1}{5} \qquad \longrightarrow \qquad \text{dénominateur } 15 $$
Additionner et soustraire des fractions
La règle
On ne peut additionner que des parts de même taille. Il faut donc un dénominateur commun, que l'on conserve ensuite.
Exemple :
On n'additionne jamais les dénominateurs entre eux : \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) ne vaut pas \(\frac{2}{5}\). Un demi plus un tiers dépasse d'ailleurs \(\frac{1}{2}\), alors que \(\frac{2}{5}\) lui est inférieur.
Un entier et une fraction
Un nombre entier s'écrit comme une fraction de dénominateur \(1\), que l'on ramène ensuite au dénominateur voulu.
Réciproquement, on peut décomposer une fraction supérieure à \(1\) en la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à \(1\).