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Les nombres rationnels

Écrire une même fraction de plusieurs façons, pour la simplifier, la comparer et l'additionner.

Trois pizzas pour quatre personnes : chacun reçoit trois quarts de pizza, et il ne reste rien.

$$ 3 \div 4 = \frac{3}{4} = 0.75 $$

Le partage tombe juste, mais aucun entier ne donne la réponse.

Une fraction est un nombre à part entière.

Un nombre rationnel

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers, le dénominateur n'étant pas nul.

$$ \frac{a}{b} \hspace{2em} \text{avec} \ (b \neq 0) $$

Multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul ne le change pas.

$$ \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} $$

Exemple :

$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{10}{15} $$

Simplifier une fraction

Simplifier, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun, tant que c'est possible.

Exemple :

$$ A = \frac{24}{36} $$
$$ A = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} $$
$$ A = \frac{2}{3} $$

Les critères de divisibilité aident à repérer un diviseur commun.

Comparer des fractions

  1. Même dénominateur

    La plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand.

    $$ \frac{5}{7} > \frac{2}{7} $$

  2. Même numérateur

    La plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit.

    $$ \frac{3}{4} > \frac{3}{8} $$

  3. Cas général

    On récrit les deux fractions avec un dénominateur commun, puis on compare les numérateurs.

    $$ \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{3}{4} = \frac{9}{12} $$
    $$ \frac{2}{3} < \frac{3}{4} $$
    Deux bandes de même longueur partagées en douzièmes : deux tiers en couvrent huit, trois quarts en couvrent neuf
    \(\frac{2}{3}\)
    \(\frac{3}{4}\)
         Deux bandes de même longueur partagées en douzièmes : deux tiers en couvrent huit, trois quarts en couvrent neuf - support à compléter
    \(\frac{2}{3}\)
    \(\frac{3}{4}\)

Une fraction est plus petite que \(1\) si son numérateur est plus petit que son dénominateur, plus grande s'il est plus grand.

Trouver un dénominateur commun

On cherche un multiple commun aux deux dénominateurs.

  1. L'un est un multiple de l'autre

    On transforme une seule fraction.

    $$ \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} $$

  2. Aucun n'est multiple de l'autre

    Leur produit convient toujours.

    $$ \frac{2}{3} \quad \text{et} \quad \frac{1}{5} \hspace{2em} \longrightarrow \hspace{2em} \text{dénominateur } 15 $$

Additionner et soustraire des fractions

La règle

On ne peut additionner que des parts de même taille : on prend un dénominateur commun, que l'on conserve.

$$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} $$
$$ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} $$

Exemple :

$$ B = \frac{2}{3} + \frac{1}{5} $$
$$ B = \frac{10}{15} + \frac{3}{15} $$
$$ B = \frac{13}{15} $$

On n'additionne jamais les dénominateurs : \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\) ne vaut pas \(\frac{2}{5}\).

Un entier et une fraction

Un nombre entier s'écrit comme une fraction de dénominateur \(1\), que l'on ramène au dénominateur voulu.

$$ C = 3 + \frac{2}{5} $$
$$ C = \frac{15}{5} + \frac{2}{5} $$
$$ C = \frac{17}{5} $$

Réciproquement, une fraction supérieure à \(1\) se décompose en la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à \(1\).

$$ \frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5} $$
Une demi-droite graduée en cinquièmes, où dix-sept cinquièmes se lit trois unités et deux cinquièmes
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(3\)
\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{17}{5}\)
 Une demi-droite graduée en cinquièmes, où dix-sept cinquièmes se lit trois unités et deux cinquièmes - support à compléter
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)