Problèmes sur les fractions

Calcul de parts

Calculer chacune des parts suivantes.

1. Un quart de \(320 \ \text{g}\)
   $$ 320 \div 4 $$

   $$ 80 \ \text{g} $$
2. La moitié du tiers d'un gâteau

   Le gâteau est coupé en trois parts égales, puis l'une d'elles en deux : il faudrait six de ces morceaux pour refaire le gâteau.

   $$ \frac{1}{6} \ \text{du gâteau} $$
3. Les trois quarts de \(2 \ \text{h}\), en minutes
   $$ 2 \ \text{h} = 120 \ \text{min} \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 120 \div 4 = 30 $$

   $$ 3 \times 30 $$

   $$ 90 \ \text{min} $$
4. Le dixième de la circonférence de la Terre, arrondi au kilomètre, en prenant \(\pi \approx 3{,}14\)
   $$ \text{avec} \enspace \left \{ \begin{gather*} \text{Le rayon de la Terre} : R_{T} = 6 \ 372 \ \text{km} \\ \text{Le périmètre d'un cercle} : P_{\text{cercle}} = 2 \pi R \end{gather*} \right \} $$
   $$ P \approx 2 \times 3{,}14 \times 6 \ 372 = 40 \ 016{,}16 \ \text{km} $$

   $$ 40 \ 016{,}16 \div 10 = 4 \ 001{,}616 $$

   $$ \text{environ } 4 \ 002 \ \text{km} $$

Le gâteau d'anniversaire

Pour un goûter d'anniversaire, on a prévu trois gâteaux identiques. À la fin de la journée, les trois quarts de la totalité ont été mangés.

1. Combien de gâteaux ont été mangés ?

   Le quart de \(3\) gâteaux vaut \(\frac{3}{4}\) de gâteau. Les trois quarts en valent trois fois plus :

   $$ 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} $$

   $$ 2 \ \text{gâteaux et } \frac{1}{4} $$
2. Quelle fraction de la totalité reste-t-il ? Combien de gâteaux cela représente-t-il ?
   $$ 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \ \text{de la totalité} $$

   Le quart des trois gâteaux, c'est ce qu'on a calculé à la question précédente :

   $$ \frac{3}{4} \ \text{de gâteau} $$

   Vérification : \(\frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \frac{12}{4} = 3\) gâteaux.

La colocation

Un propriétaire met son logement en colocation. Il répartit la surface de la manière suivante, le reste étant laissé aux pièces communes :

• un quart de la surface pour la première chambre ;
• trois huitièmes de la surface pour la deuxième chambre ;
• deux huitièmes de la surface pour la troisième chambre.

1. Quelle chambre est la plus grande ? Justifier.

   On écrit les trois fractions avec le même dénominateur \(8\) :

   $$ \frac{1}{4} = \frac{2}{8} \hspace{2em} \frac{3}{8} \hspace{2em} \frac{2}{8} $$

   $$ \text{la deuxième chambre} $$

   La première et la troisième ont la même surface.

2. Calculer la fraction de la surface occupée par les trois chambres, puis celle qui reste aux pièces communes.
   $$ \frac{2}{8} + \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{7}{8} $$

   $$ 1 - \frac{7}{8} = \frac{8}{8} - \frac{7}{8} $$

   $$ \frac{7}{8} \ \text{pour les chambres} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{8} \ \text{pour les pièces communes} $$
3. Le logement mesure \(120 \ \text{m}^2\). Calculer la surface de chaque chambre et celle des pièces communes. Cette répartition paraît-elle raisonnable ?

   Un huitième de \(120 \ \text{m}^2\) vaut \(120 \div 8 = 15 \ \text{m}^2\) :

   $$ \text{chambres} : 2 \times 15 = 30 \ \text{m}^2 \hspace{2em} 3 \times 15 = 45 \ \text{m}^2 \hspace{2em} 30 \ \text{m}^2 $$

   $$ \text{pièces communes} : 15 \ \text{m}^2 $$

   Une seule chambre fait trois fois la surface laissée à la cuisine, au salon et à la salle de bains réunis : la répartition est très déséquilibrée.

La bouteille de sirop

Une bouteille de sirop est remplie aux \(\frac{5}{6}\). Après le goûter, il n'en reste plus que \(\frac{1}{4}\) de bouteille. On cherche la fraction de bouteille qui a été bue.

1. Sam écrit : \(\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{4}{2} = 2\). Sans refaire le calcul, expliquer pourquoi ce résultat est impossible, puis repérer son erreur.

   On ne peut pas avoir bu \(2\) bouteilles alors qu'il y en avait moins d'une : le résultat doit être plus petit que \(\frac{5}{6}\).

   Sam a soustrait les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans chercher de dénominateur commun.

2. Calculer la fraction de bouteille qui a été bue.

   \(12\) est un multiple commun de \(6\) et de \(4\) :

   $$ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} $$

   $$ \frac{7}{12} \ \text{de bouteille} $$

   Vérification : \(\frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\).

Le potager partagé

Un potager est quadrillé en \(24\) carreaux égaux. On y cultive des tomates sur \(\frac{1}{3}\) de la surface, des carottes sur \(\frac{1}{4}\) et des fleurs sur \(\frac{1}{6}\). Le reste est réservé aux fraises.

1. Calculer le nombre de carreaux occupés par chaque culture.
   $$ 24 \div 3 = 8 \hspace{2em} 24 \div 4 = 6 \hspace{2em} 24 \div 6 = 4 $$

   $$ 8 \ \text{carreaux de tomates} \hspace{2em} 6 \ \text{de carottes} \hspace{2em} 4 \ \text{de fleurs} $$
2. Colorier sur la figure une couleur par culture.

   Une répartition possible, parmi d'autres :

3. Calculer, avec les fractions, la part du potager réservée aux fraises. Vérifier sur la figure.

   \(12\) est un multiple commun de \(3\), \(4\) et \(6\) :

   $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12} $$

   $$ 1 - \frac{9}{12} = \frac{12}{12} - \frac{9}{12} = \frac{3}{12} $$

   $$ \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \ \text{du potager} $$

   Sur la figure, il reste bien \(6\) carreaux sur \(24\), soit un quart.

4. Le jardinier veut prendre sur les fraises une bande de salades couvrant \(\frac{1}{5}\) du potager. Est-ce possible ? Si oui, quelle part restera-t-il aux fraises ?

   Il faut que \(\frac{1}{5}\) ne dépasse pas \(\frac{1}{4}\). Avec le dénominateur commun \(20\) :

   $$ \frac{1}{5} = \frac{4}{20} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{1}{4} = \frac{5}{20} $$

   C'est donc possible, et il restera aux fraises :

   $$ \frac{5}{20} - \frac{4}{20} $$

   $$ \frac{1}{20} \ \text{du potager} $$

Les quatre cartes

On pose les quatre cartes dans les quatre cases, une carte par case, pour former une somme de deux fractions. L'ordre des deux fractions ne compte pas.

1. Tom forme \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\) et Lina \(\frac{1}{3} + \frac{2}{4}\). Calculer les deux sommes. Laquelle est la plus proche de \(1\) ?
   $$ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4} $$

   $$ \frac{1}{3} + \frac{2}{4} = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} = \frac{10}{12} $$

   La somme de Tom dépasse \(1\), celle de Lina n'y arrive pas. On compare les deux écarts avec \(1\), en douzièmes :

   $$ \frac{5}{4} - 1 = \frac{15}{12} - \frac{12}{12} = \frac{3}{12} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 1 - \frac{10}{12} = \frac{2}{12} $$

   $$ \text{la somme de Lina} $$
2. Trouver le placement qui donne la plus grande somme, et prouver qu'aucun autre ne fait mieux.

   Si la carte \(1\) est un numérateur : les deux dénominateurs valent au moins \(2\), et les numérateurs au plus \(4\). Chaque fraction vaut au plus \(\frac{4}{2} = 2\), donc la somme au plus \(4\).

   Si la carte \(1\) est un dénominateur : la fraction posée sur \(1\) est égale à son numérateur, et l'autre fraction se forme avec les deux cartes restantes. On passe en revue les six cas :

   $$ \frac{4}{1} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} \hspace{2em} \frac{4}{1} + \frac{2}{3} = \frac{12}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3} $$

   $$ \frac{3}{1} + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5 \hspace{2em} \frac{3}{1} + \frac{2}{4} = \frac{12}{4} + \frac{2}{4} = \frac{14}{4} $$

   $$ \frac{2}{1} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \hspace{2em} \frac{2}{1} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} $$

   On écrit chaque somme comme un entier plus une fraction inférieure à \(1\) : \(\frac{14}{3} = 4 + \frac{2}{3}\), \(\frac{14}{4} = 3 + \frac{2}{4}\), \(\frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{3}\) et \(\frac{11}{4} = 2 + \frac{3}{4}\) restent sous \(5\), et la troisième somme vaut \(5\) tout juste. Seule \(\frac{11}{2} = 5 + \frac{1}{2}\) dépasse \(5\), et elle dépasse aussi le \(4\) du premier cas.

   $$ \frac{4}{1} + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} $$
3. Peut-on obtenir exactement \(1\) ? Trouver le placement dont la somme est la plus proche de \(1\), et prouver qu'aucun autre ne fait mieux.

   Si la carte \(1\) est un dénominateur : la fraction posée sur \(1\) vaut au moins \(2\), donc la somme dépasse \(2\). Elle est à plus de \(1\) de distance de \(1\).

   Si la carte \(1\) est un numérateur : les cartes \(2\), \(3\) et \(4\) se partagent le dénominateur de cette fraction et l'autre fraction. Il y a six cas, que l'on range selon ce dénominateur, et que l'on écrit en douzièmes pour les comparer :

   Placement	Somme	Écart avec \(1\)
   \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\)	\(\frac{6}{12} + \frac{9}{12} = \frac{15}{12}\)	\(\frac{3}{12}\)
   \(\frac{1}{2} + \frac{4}{3}\)	\(\frac{6}{12} + \frac{16}{12} = \frac{22}{12}\)	\(\frac{10}{12}\)
   \(\frac{1}{3} + \frac{2}{4}\)	\(\frac{4}{12} + \frac{6}{12} = \frac{10}{12}\)	\(\frac{2}{12}\)
   \(\frac{1}{3} + \frac{4}{2}\)	\(\frac{4}{12} + \frac{24}{12} = \frac{28}{12}\)	\(\frac{16}{12}\)
   \(\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\)	\(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}\)	\(\frac{1}{12}\)
   \(\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\)	\(\frac{3}{12} + \frac{18}{12} = \frac{21}{12}\)	\(\frac{9}{12}\)

   Aucune somme ne vaut \(\frac{12}{12}\) : on ne peut pas obtenir exactement \(1\). Le plus petit écart est \(\frac{1}{12}\), et tous les autres dépassent \(\frac{1}{12}\), y compris ceux des placements où \(1\) est un dénominateur.

   $$ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12} $$

   On fait donc mieux que Lina, qui était à \(\frac{2}{12}\) de \(1\).

La haie à tailler

Seule, Nora taille toute la haie en \(4 \ \text{h}\), Malik en \(6 \ \text{h}\) et Sacha en \(12 \ \text{h}\). Chacun garde toujours le même rythme.

1. Quelle fraction de la haie chacun taille-t-il en une heure ? Écrire les trois fractions en douzièmes, puis vérifier sur la bande le résultat de Nora.

   En \(4 \ \text{h}\), Nora taille toute la haie : en \(1 \ \text{h}\), elle en taille le quart. De même pour les deux autres :

   $$ \text{Nora} : \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \hspace{2em} \text{Malik} : \frac{1}{6} = \frac{2}{12} \hspace{2em} \text{Sacha} : \frac{1}{12} $$

   Vérification : à \(3\) parts de la bande par heure, Nora taille bien les \(12\) parts en \(4\) heures.

2. Nora et Malik taillent une haie identique ensemble. En combien de temps la finissent-ils ?

   En une heure, à eux deux :

   $$ \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} $$

   Au bout de \(2 \ \text{h}\), ils ont taillé \(\frac{10}{12}\) de la haie, et il en reste \(\frac{12}{12} - \frac{10}{12} = \frac{2}{12}\). Ils taillent \(5\) parts en \(60 \ \text{min}\), donc une part en \(60 \div 5 = 12 \ \text{min}\), et les \(2\) dernières en \(24 \ \text{min}\).

   $$ 2 \ \text{h} \ 24 \ \text{min} $$

   Vérification : \(12\) parts à \(12 \ \text{min}\) chacune font \(144 \ \text{min}\), soit \(2 \ \text{h} \ 24 \ \text{min}\).

3. Sacha propose de les aider, mais Malik refuse : « Tu es le plus lent, tu vas nous ralentir. » Trancher, en calculant le temps qu'il faut aux trois ensemble.

   En une heure, à trois :

   $$ \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

   Ils taillent la moitié de la haie en une heure, donc toute la haie en deux heures.

   $$ 2 \ \text{h} $$

   Malik a tort : Sacha est plus lent que chacun d'eux, mais il ajoute sa part au travail, et les trois finissent avant les \(2 \ \text{h} \ 24 \ \text{min}\) du travail à deux.

4. Lou se joint aux trois autres. À quatre, ils taillent la haie en \(1 \ \text{h} \ 30 \ \text{min}\). Combien de temps mettrait Lou pour la tailler seul ?

   \(1 \ \text{h} \ 30 \ \text{min}\) font trois demi-heures : à quatre, ils taillent un tiers de la haie par demi-heure, donc deux tiers par heure.

   $$ \frac{2}{3} = \frac{8}{12} $$

   Nora, Malik et Sacha en taillent \(\frac{6}{12}\) par heure. En une heure, Lou taille donc :

   $$ \frac{8}{12} - \frac{6}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$

   Il lui faut une heure par sixième de haie, soit six heures pour la haie entière.

   $$ 6 \ \text{h} $$

   Vérification : à quatre, \(3 + 2 + 1 + 2 = 8\) parts par heure, soit \(4\) parts par demi-heure, et les \(12\) parts en trois demi-heures.