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Des nombres qui passent sous zéro : les repérer, les comparer, puis les additionner et les soustraire.
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Connaître l'opposé et la valeur absolue d'un nombre relatif
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Repérer un nombre relatif sur une droite graduée
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Comparer et ranger des nombres décimaux relatifs
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Additionner et soustraire des nombres décimaux relatifs
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Simplifier une écriture avec des parenthèses et des signes
Dans l'ascenseur, le deuxième sous-sol s'affiche \({-}2\) ; dehors, le thermomètre indique \({-}2.5 \ \text{°C}\) ; sur un relevé bancaire, un retrait s'écrit \({-}42.50 \ \text{€}\).
Rez-de-chaussée, \(0 \ \text{°C}\), compte à zéro : partout une origine, et deux sens à partir d'elle.
Le signe ne dit pas qu'il faut soustraire : il dit de quel côté de zéro le nombre se trouve.
Un nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe, \(+\) ou \(-\).
Exemple : \(-7\) °C se lit « moins sept degrés », et \(-2.5\) « moins deux virgule cinq ».
Un nombre relatif est positif s'il est supérieur ou égal à \(0\), et négatif s'il lui est inférieur ou égal.
Exemple : \(3\) et \(0\) sont positifs, \(-4\) et \(-0.5\) sont négatifs.
Le nombre \(0\) est le seul à être à la fois positif et négatif ; « strictement » exclut \(0\).
L'opposé d'un nombre
L'opposé
Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ne diffèrent que par leur signe ; leur somme vaut \(0\).
Exemple : l'opposé de \(-4.5\) est \(4.5\), car \(-4.5 + 4.5 = 0\). L'opposé de \(0\) est \(0\).
La valeur absolue
La valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre relatif est ce nombre privé de son signe ; elle mesure sa distance à zéro.
Exemple :
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.
Repérer un nombre relatif sur une droite graduée
Sur une droite graduée, les nombres négatifs se placent à gauche de l'origine, les positifs à droite. Le nombre qui repère un point s'appelle son abscisse.
Exemple : le point d'abscisse \(-2.5\) se situe à deux unités et demie à gauche de \(0\).
Comparer et ranger des nombres relatifs
Le plus petit de deux nombres est celui qui se trouve le plus à gauche sur la droite graduée.
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Deux nombres positifs
On les compare comme d'habitude.
$$ 2.5 < 7.1 $$ -
Un négatif et un positif
Le négatif est le plus petit.
$$ -12 < 0.5 $$ -
Deux nombres négatifs
Le plus petit est celui dont la valeur absolue est la plus grande.
$$ -3.7 < -3.2 $$
\(-3.7\) est plus petit que \(-3.2\), alors que \(3.7\) est plus grand que \(3.2\).
Additionner deux nombres relatifs
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Deux nombres de même signe
On additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun.
$$ (-3.5) + (-8) = -11.5 $$ -
Deux nombres de signes contraires
On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe du nombre de plus grande valeur absolue.
$$ (-9) + (+4) = -5 $$$$ (+9) + (-4) = +5 $$
Exemple : une plongée à \(-9\) m suivie d'une remontée de \(4\) m amène à \(-5\) m.
Additionner plusieurs nombres relatifs
On regroupe les positifs entre eux et les négatifs entre eux, puis on termine par une seule addition.
Soustraire un nombre relatif
Soustraire, c'est ajouter l'opposé
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé :
Exemple :
Simplifier une écriture
Une fois les soustractions transformées en additions, on supprime les parenthèses et les signes d'addition inutiles.
Écriture |
Se simplifie en |
Pourquoi |
|---|---|---|
\(+ (+a)\) |
\(+a\) |
les deux signes sont identiques |
\(+ (-a)\) |
\(-a\) |
les deux signes sont différents |
\(- (+a)\) |
\(-a\) |
les deux signes sont différents |
\(- (-a)\) |
\(+a\) |
les deux signes sont identiques |
Deux signes identiques donnent un \(+\), deux signes différents donnent un \(-\).
Exemple :
Les parenthèses restent indispensables entre deux signes qui se suivent : on n'écrit jamais \(7 - -2\).