Retour
Un nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre muni d'un signe : \(+\) ou \(-\).
Il permet de décrire des grandeurs qui peuvent descendre au-dessous de zéro : une température, une altitude, un solde bancaire, une date avant notre ère.
Exemple : une température de \(-7\) °C se lit « moins sept degrés » et désigne sept degrés au-dessous de zéro.
Un nombre relatif est positif s'il est supérieur ou égal à \(0\), et négatif s'il lui est inférieur ou égal.
Le nombre \(0\) est à la fois positif et négatif : c'est le seul. On dit « strictement positif » pour exclure \(0\), et « strictement négatif » de même.
L'opposé d'un nombre
L'opposé
Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont le même chiffre mais des signes contraires. Leur somme vaut \(0\).
Exemple : l'opposé de \(-4\) est \(4\), car \(-4 + 4 = 0\). L'opposé de \(0\) est \(0\).
La valeur absolue
La valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre relatif est ce nombre privé de son signe. Elle mesure sa distance à zéro, et n'est donc jamais négative.
Exemple :
Deux nombres opposés ont la même valeur absolue : ils sont à la même distance de zéro, de part et d'autre.
Repérer un nombre relatif sur une droite graduée
Sur une droite graduée, les nombres négatifs se placent à gauche de l'origine, les positifs à droite. Le nombre qui repère un point s'appelle son abscisse.
Exemple : le point d'abscisse \(-3\) se situe à trois unités à gauche de \(0\).
Comparer et ranger des nombres relatifs
Le plus petit de deux nombres est celui qui est le plus à gauche sur la droite graduée. Trois cas se présentent.
-
Deux nombres positifs
On les compare comme d'habitude.
$$ 2.5 < 7.1 $$ -
Un négatif et un positif
Le négatif est toujours le plus petit.
$$ -12 < 0.5 $$ -
Deux nombres négatifs
Le plus petit est celui dont la valeur absolue est la plus grande .
$$ -12 < -5 $$
C'est le cas qui trompe le plus souvent : \(-12\) est plus petit que \(-5\), alors que \(12\) est plus grand que \(5\). Une température de \(-12\) °C est bien plus froide qu'une température de \(-5\) °C.
Additionner deux nombres relatifs
-
Deux nombres de même signe
On additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun.
$$ (-3) + (-8) = -11 $$ -
Deux nombres de signes contraires
On soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande, et on garde le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.
$$ (-9) + (+4) = -5 $$$$ (+9) + (-4) = +5 $$
Exemple : une plongée à \(-9\) m suivie d'une remontée de \(4\) m amène à \(-5\) m.
Additionner plusieurs nombres relatifs
Une somme peut se réorganiser librement. On regroupe les positifs entre eux et les négatifs entre eux, puis on termine par une seule addition.
Soustraire un nombre relatif
Soustraire, c'est ajouter l'opposé
Toute soustraction se ramène ainsi à une addition, et les règles précédentes suffisent.
Exemple :
Simplifier une écriture
Une fois les soustractions transformées en additions, on peut alléger l'écriture en supprimant les parenthèses et les signes d'addition.
Écriture |
Se simplifie en |
|---|---|
\(+ (+a)\) |
\(+a\) |
\(+ (-a)\) |
\(-a\) |
\(- (+a)\) |
\(-a\) |
\(- (-a)\) |
\(+a\) |
Deux signes identiques donnent un \(+\), deux signes différents donnent un \(-\).
Exemple :
Les parenthèses restent indispensables lorsque deux symboles d'opération se suivraient sans elles : on n'écrit jamais \(7 - -2\).