Problèmes sur les nombres relatifs

Le relevé de températures

Un relevé donne les températures suivantes au cours d'une semaine, en degrés Celsius :

1. Ranger ces températures dans l'ordre croissant.
   $$ -7 < -5 < -3.5 < -3 < 0.5 < 2 < 4.5 $$

   Entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui dont la valeur absolue est la plus grande : \(-3.5 < -3\), car \(3.5 > 3\).

2. Quel est l'écart entre la température la plus haute et la plus basse ?
   $$ 4.5 - (-7) = 4.5 + 7 $$

   $$ 11.5 \ \text{°C} $$
3. Le lendemain du jour le plus froid, la température a augmenté de \(9.5 \ \text{°C}\). Quelle température a-t-on relevée ?
   $$ -7 + 9.5 $$

   $$ 2.5 \ \text{°C} $$

Le compte bancaire

Le compte de Madame Roux affiche un solde de \(-45.60 \ \text{€}\) en début de mois. Elle dépose \(320 \ \text{€}\), puis retire \(180 \ \text{€}\), puis paye une facture de \(95.90 \ \text{€}\).

1. Écrire un calcul unique donnant le solde en fin de mois.
   $$ -45.60 + 320 - 180 - 95.90 $$
2. Calculer ce solde.

   On regroupe les montants de même signe :

   $$ (-45.60 - 180 - 95.90) + 320 = -321.50 + 320 $$

   $$ -1.50 \ \text{€} $$

   Le compte reste très légèrement à découvert.

3. Quelle somme aurait-il fallu déposer, au lieu des \(320 \ \text{€}\), pour que le solde de fin de mois soit exactement \(0 \ \text{€}\) ?

   Il manque exactement \(1.50 \ \text{€}\) pour atteindre \(0\).

   $$ 320 + 1.50 = 321.50 \ \text{€} $$

La plongée

Un plongeur part de la surface et descend à \(-18.5 \ \text{m}\). Il remonte de \(7 \ \text{m}\), redescend de \(12.5 \ \text{m}\), puis remonte de \(9 \ \text{m}\).

1. À quelle profondeur se trouve-t-il alors ?
   $$ -18.5 + 7 - 12.5 + 9 $$

   $$ (-18.5 - 12.5) + (7 + 9) = -31 + 16 $$

   $$ -15 \ \text{m} $$
2. Quelle distance verticale totale ce même plongeur a-t-il parcourue depuis la surface ?

   On additionne les longueurs parcourues, sans tenir compte du sens, en comptant la première descente :

   $$ 18.5 + 7 + 12.5 + 9 $$

   $$ 47 \ \text{m} $$

   Cette distance n'a rien à voir avec la profondeur finale : le plongeur est passé plusieurs fois par les mêmes niveaux.

L'altitude et la mer Morte

Le point le plus bas de la mer Morte est à \(-430 \ \text{m}\) d'altitude. Le sommet du mont Everest culmine à \(8\,849 \ \text{m}\).

1. Quel est le dénivelé entre ces deux points ?
   $$ 8\,849 - (-430) = 8\,849 + 430 $$

   $$ 9\,279 \ \text{m} $$
2. Un randonneur part de \(-430 \ \text{m}\) et monte de \(1\,250 \ \text{m}\). À quelle altitude se trouve-t-il ?
   $$ -430 + 1\,250 $$

   $$ 820 \ \text{m} $$
3. Un second randonneur part de \(300 \ \text{m}\) et descend de \(1\,000 \ \text{m}\). Comparer les altitudes atteintes par les deux randonneurs.
   $$ 300 - 1\,000 = -700 $$

   $$ -700 < 820 $$

   Le second se trouve donc bien plus bas que le premier.

Remonter le calcul

1. Pour calculer \(-8.5 - (-5)\), Léo écrit \(-8.5 - (-5) = -13.5\). Expliquer son erreur, puis donner le bon résultat.

   Léo a ajouté \(-5\) au lieu de le soustraire. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé, et l'opposé de \(-5\) est \(5\) :

   $$ -8.5 - (-5) = -8.5 + 5 $$

   $$ -3.5 $$
2. On change de question : quel nombre faut-il ajouter à \(-9\) pour obtenir \(4\) ?

   Le nombre cherché est l'écart entre \(4\) et \(-9\) :

   $$ 4 - (-9) = 4 + 9 $$

   $$ 13 $$

   On vérifie : \(-9 + 13 = 4\).

3. Une autre situation : un matin, la température monte de \(6.5 \ \text{°C}\), puis baisse de \(11 \ \text{°C}\) dans la soirée. Elle vaut alors \(-3 \ \text{°C}\). Retrouver la température du matin.

   On remonte les étapes à l'envers : on annule la baisse, puis la hausse.

   $$ -3 + 11 - 6.5 $$

   $$ 1.5 \ \text{°C} $$

   On vérifie : \(1.5 + 6.5 - 11 = -3\).

L'ascenseur de l'immeuble

Dans un immeuble, l'ascenseur dessert les niveaux \(-3\) à \(8\) : le niveau \(0\) est le rez-de-chaussée et les niveaux négatifs sont ceux du parking. Un déplacement de \(+4\) fait monter de quatre niveaux, un déplacement de \(-4\) fait descendre de quatre niveaux.

Un livreur part du rez-de-chaussée et enchaîne les déplacements suivants :

1. Calculer le niveau où le livreur termine sa tournée.
   $$ 0 + 6 - 8 + 4 - 5 + 7 $$

   $$ (6 + 4 + 7) - (8 + 5) = 17 - 13 $$

   $$ \text{niveau} \ 4 $$
2. Quel est le niveau le plus bas atteint par ce même livreur pendant sa tournée ?

   On calcule le niveau après chaque déplacement :

   $$ 0 + 6 = 6 \hspace{2em} 6 - 8 = -2 \hspace{2em} -2 + 4 = 2 $$

   $$ 2 - 5 = -3 \hspace{2em} -3 + 7 = 4 $$

   $$ \text{niveau} \ {-}3 $$

   La tournée est passée par le niveau le plus bas du parking.

3. Un collègue part du niveau \(-1\) et affirme avoir fait les déplacements \(+9\), puis \(-12\), puis \(+5\). Ce trajet est-il possible dans cet immeuble ? Justifier.
   $$ -1 + 9 = 8 \hspace{2em} 8 - 12 = -4 $$

   Le premier déplacement l'amène au dernier étage, ce qui est possible. Le deuxième l'amènerait au niveau \(-4\), plus bas que le niveau \(-3\) :

   $$ \text{le trajet est impossible} $$
4. Le lendemain, le livreur part du niveau \(5\), fait \(-7\) puis \(+3\), puis un dernier déplacement qui l'amène au niveau \(-2\). Trouver ce dernier déplacement.

   Avant le dernier déplacement, le livreur est au niveau :

   $$ 5 - 7 + 3 = 1 $$

   Le dernier déplacement est l'écart entre le niveau d'arrivée et ce niveau :

   $$ -2 - 1 $$

   $$ -3 $$

   Le livreur est donc descendu de trois niveaux.

Le niveau du jeu vidéo

Le personnage va de la case Départ à la case Arrivée, en avançant à chaque coup d'une case vers la droite ou vers le bas. Son score est la somme des nombres des cases qu'il traverse.

1. Calculer le score du chemin colorié en bleu.

   On regroupe les nombres négatifs, puis les positifs :

   $$ ({-}7) + ({-}6) + 3 + 3 + 8 = ({-}13) + 14 $$

   $$ 1 $$
2. Maya joue autrement : à chaque coup, elle va sur celle des deux cases, à droite ou en dessous, qui porte le plus grand nombre. Décrire son chemin et calculer son score.

   Au départ, \(-7 > -9\) : elle descend. Puis \(-1 > -6\) : elle va à droite. Puis \(1 > -9\) : à droite. Puis \(5 > 4\) : encore à droite. Arrivée au bord de la grille, elle ne peut plus que descendre, sur le \(-9\), puis sur l'arrivée.

   $$ ({-}7) + ({-}1) + 1 + 5 + ({-}9) = ({-}17) + 6 $$

   $$ -11 $$

   En évitant le \(-9\) du départ, Maya fait moins bien que le chemin bleu.

3. Quel est le meilleur score possible ? Pour le trouver, compléter la grille ci-dessous : chaque case reçoit le meilleur score avec lequel le personnage peut y arriver, sachant qu'il y arrive toujours par la case de gauche ou par celle du dessus. Les deux premières cases sont remplies. En déduire le chemin qui obtient ce score, et prouver qu'aucun chemin ne fait mieux.

   Pour entrer dans une case, on arrive forcément de la case de gauche ou de celle du dessus. Le meilleur score possible en arrivant dans une case est donc le plus grand des deux meilleurs scores de ces voisines, augmenté du nombre de la case. On remplit ainsi la grille ligne par ligne, en partant du départ, qui vaut \(0\).

   Première ligne et première colonne : un seul chemin mène à chaque case.

   $$ 0 + ({-}9) = -9 \hspace{2em} -9 + 9 = 0 \hspace{2em} 0 + ({-}6) = -6 $$

   $$ 0 + ({-}7) = -7 \hspace{2em} -7 + ({-}6) = -13 \hspace{2em} -13 + 3 = -10 $$

   Les autres cases : par exemple, on arrive sur le \(+1\) avec au mieux \(0\) par le dessus, contre \(-8\) par la gauche : son meilleur score est \(0 + 1 = 1\). Chaque calcul ci-dessous part du meilleur score des deux voisines :

   $$ \text{deuxième ligne} : \ {-}7 + ({-}1) = -8 \hspace{2em} 0 + 1 = 1 \hspace{2em} 1 + 5 = 6 $$

   $$ \text{troisième ligne} : \ {-}8 + ({-}9) = -17 \hspace{2em} 1 + 4 = 5 \hspace{2em} 6 + ({-}9) = -3 $$

   $$ \text{quatrième ligne} : \ {-}10 + 3 = -7 \hspace{2em} 5 + 8 = 13 \hspace{2em} 13 + 0 = 13 $$

   Sur l'arrivée, on vient au mieux de sa gauche avec \(13\), contre \(-3\) par le dessus. En remontant les choix qui ont donné chaque meilleur score, on retrouve un seul chemin : droite, droite, bas, bas, bas, droite.

   $$ ({-}9) + 9 + 1 + 4 + 8 = ({-}9) + 22 $$

   $$ 13 $$

   Le meilleur chemin commence par le \(-9\) que Maya avait évité.

Les fuseaux horaires

En janvier, chaque ville a un décalage horaire avec Londres, en heures : on l'ajoute à l'heure de Londres pour obtenir l'heure de la ville.

1. Il est \(12\text{h}00\) à Londres. Quelle heure est-il à Tokyo ? À New York ? Calculer l'écart entre Tokyo et New York.
   $$ \text{Tokyo} : 12 + 9 = 21 \hspace{2em} \text{New York} : 12 + ({-}5) = 7 $$

   L'écart est la différence des deux décalages :

   $$ 9 - ({-}5) = 9 + 5 $$

   $$ 21\text{h}00 \hspace{2em} 7\text{h}00 \hspace{2em} \text{écart de } 14 \ \text{h} $$

   Vérification : de \(7\text{h}00\) à \(21\text{h}00\), il y a bien \(14 \ \text{h}\).

2. Un avion quitte Paris à \(10\text{h}30\), heure de Paris, et se pose à New York \(8 \ \text{h} \ 30 \ \text{min}\) plus tard. Calculer l'heure de New York à l'atterrissage.

   On passe par l'heure de Londres, où il est \(1 \ \text{h}\) de moins qu'à Paris :

   $$ 10\text{h}30 - 1 \ \text{h} = 9\text{h}30 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 9\text{h}30 + 8 \ \text{h} \ 30 \ \text{min} = 18\text{h}00 $$

   À l'atterrissage, il est \(18\text{h}00\) à Londres. On ajoute le décalage de New York :

   $$ 18 + ({-}5) = 13 $$

   $$ 13\text{h}00 $$
3. Un avion quitte Tokyo le 1^er janvier à \(21\text{h}00\), heure de Tokyo, et se pose à Honolulu après \(7 \ \text{h}\) de vol. Léa affirme que les passagers atterrissent avant d'avoir décollé. Expliquer ce qu'elle veut dire, et trancher.

   Au départ, il est \(21 - 9 = 12\), soit \(12\text{h}00\) à Londres, le 1^er janvier. À l'atterrissage, il y est \(19\text{h}00\), toujours le 1^er janvier. On ajoute le décalage d'Honolulu :

   $$ 19 + ({-}10) = 9 $$

   $$ \text{le } 1^{\text{er}} \text{ janvier à } 9\text{h}00 $$

   À la lecture des horloges, Léa a raison : on atterrit à \(9\text{h}00\) le 1^er janvier, douze heures avant les \(21\text{h}00\) du décollage. Personne ne remonte le temps pour autant : le vol a bien duré \(7 \ \text{h}\), mais Honolulu retarde de \(9 - ({-}10) = 19 \ \text{h}\) sur Tokyo, plus que la durée du vol.

4. Un avion décolle d'une ville de la figure à \(17\text{h}00\) et se pose dans une autre à \(10\text{h}00\) le même jour, en heures locales, après \(10 \ \text{h}\) de vol. Retrouver les deux villes, et prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité.

   Au décollage, l'horloge de la ville d'arrivée affiche \(10 \ \text{h}\) de moins qu'à l'atterrissage : \(0\text{h}00\), le même jour. Au même instant, celle de la ville de départ affiche \(17\text{h}00\). La ville d'arrivée retarde donc de \(17 \ \text{h}\) : son décalage vaut \(17\) de moins que celui de la ville de départ.

   Le plus petit décalage de la figure est \(-10\). Celui de la ville de départ vaut donc au moins \(-10 + 17 = 7\) : il ne reste que Tokyo et Auckland.

   $$ 9 - 17 = -8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 13 - 17 = -4 $$

   \(-8\) est le décalage de Los Angeles ; aucune ville de la figure n'a le décalage \(-4\).

   $$ \text{de Tokyo à Los Angeles} $$

   Vérification : à \(17\text{h}00\) à Tokyo, il est \(17 - 9 = 8\), soit \(8\text{h}00\) à Londres ; \(10 \ \text{h}\) plus tard, il y est \(18\text{h}00\), et à Los Angeles \(18 + ({-}8) = 10\), soit \(10\text{h}00\) le même jour.