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Nommer, ordonner et transformer un calcul, puis reconnaître les multiples et les diviseurs d'un nombre.
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Utiliser le vocabulaire des quatre opérations
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Appliquer les priorités opératoires, avec ou sans parenthèses
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Utiliser la distributivité pour calculer de tête
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Diviser par un nombre décimal
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Reconnaître un multiple avec les critères de divisibilité et écrire une division euclidienne
Au supermarché, trois paquets de gâteaux à \(2 \ \text{€}\) et une bouteille à \(5 \ \text{€}\). Le ticket affiche \(11 \ \text{€}\), pas \(21 \ \text{€}\).
Mêmes nombres, mais un seul raconte les courses.
L'ordre des opérations traduit ce que dit l'énoncé.
Nommer un calcul
Chaque opération porte un nom, et ses nombres aussi.
Opération |
Résultat |
Les nombres |
|---|---|---|
Addition |
Somme |
Termes |
Soustraction |
Différence |
Termes |
Multiplication |
Produit |
Facteurs |
Division |
Quotient |
Dividende et diviseur |
Exemple : dans \(7 \times 4\), le résultat \(28\) est un produit et \(7\) et \(4\) en sont les facteurs.
Les priorités opératoires
Un calcul à plusieurs opérations suit trois règles, dans cet ordre.
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Les parenthèses d'abord : \( (... ) \)
On effectue en premier ce qui se trouve entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
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Puis les multiplications et les divisions : \(\times / \div\)
Elles se traitent de la gauche vers la droite.
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Enfin les additions et les soustractions : \(+ / -\)
De la gauche vers la droite également.
Exemple :
Le résultat n'est pas \(32\) : la multiplication passe avant l'addition.
Les parenthèses imposent un autre ordre :
Dans un programme de calcul, le mot résultat annonce une parenthèse.
Exemple : « choisir un nombre, lui ajouter \(3\), puis multiplier le résultat par \(2\) ».
La distributivité
Distribuer un facteur sur une somme
Multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque terme par ce nombre, puis à additionner.
Exemple : pour calculer de tête.
Diviser par un nombre décimal
Un quotient ne change pas si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(10\), \(100\) ou \(1 \ 000\).
Un chiffre après la virgule : on multiplie par \(10\).
Deux chiffres après la virgule : il en faut \(100\).
Multiples et diviseurs
Multiple et diviseur
Lorsque la division de \(a\) par \(b\) tombe juste, on dit que \(a\) est un multiple de \(b\), et que \(b\) est un diviseur de \(a\).
Exemple : \(21 = 3 \times 7\) : \(21\) est un multiple de \(3\) et de \(7\), qui sont ses diviseurs.
Les critères de divisibilité
Ces critères permettent de reconnaître un multiple sans poser la division.
Un nombre est divisible par |
Lorsque |
Exemple |
|---|---|---|
\(2\) |
Son chiffre des unités est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\) |
\(354\) |
\(3\) |
La somme de ses chiffres est un multiple de \(3\) |
\(354\) car \(3 + 5 + 4 = 12\) |
\(5\) |
Son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) |
\(470\) |
\(9\) |
La somme de ses chiffres est un multiple de \(9\) |
\(477\) car \(4 + 7 + 7 = 18\) |
\(10\) |
Son chiffre des unités est \(0\) |
\(470\) |
Un nombre divisible par \(9\) est divisible par \(3\), mais pas l'inverse : \(12\) est divisible par \(3\) et pas par \(9\).
La division euclidienne
Lorsque la division ne tombe pas juste, on écrit le dividende sous la forme d'un produit augmenté d'un reste.
Exemple : pour \(17\) partagé par \(5\) :
Le quotient est \(3\), le reste est \(2\), et il est plus petit que le diviseur.