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Nommer un calcul
Chaque opération porte un nom, et ses nombres aussi. Les employer correctement, c'est déjà comprendre le calcul.
Opération |
Résultat |
Les nombres |
|---|---|---|
Addition |
Somme |
Termes |
Soustraction |
Différence |
Termes |
Multiplication |
Produit |
Facteurs |
Division |
Quotient |
Dividende et diviseur |
Exemple : dans \(7 \times 4\), le résultat \(28\) est un produit et \(7\) et \(4\) en sont les facteurs.
Les priorités opératoires
Dans un calcul qui enchaîne plusieurs opérations, l'ordre n'est pas libre. Il obéit à trois règles, dans cet ordre.
-
Les parenthèses d'abord
On effectue en premier ce qui se trouve entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures.
-
Puis les multiplications et les divisions
Elles se traitent de la gauche vers la droite.
-
Enfin les additions et les soustractions
De la gauche vers la droite également.
Exemple :
Le résultat n'est pas \(32\) : la multiplication passe avant l'addition.
Les parenthèses servent justement à imposer un autre ordre :
Traduire un programme de calcul
Un programme de calcul est une suite d'instructions. On peut le traduire par une seule expression, en ajoutant des parenthèses là où l'ordre l'exige.
Exemple : « choisir un nombre, lui ajouter \(3\), puis multiplier le résultat par \(2\) ».
Le mot résultat impose que l'addition se fasse avant la multiplication : il faut donc des parenthèses.
Sans les parenthèses, \(n + 3 \times 2\) désignerait un tout autre calcul : on multiplierait \(3\) par \(2\) au lieu du résultat.
La distributivité
Distribuer un facteur sur une somme
Multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque terme par ce nombre, puis à additionner.
Exemple : cette règle permet souvent de calculer de tête.
Diviser par un nombre décimal
Un quotient ne change pas si l'on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre. On s'en sert pour ramener le diviseur à un nombre entier.
Exemple :
Multiples et diviseurs
Multiple et diviseur
Lorsque la division de \(a\) par \(b\) tombe juste, on dit que \(a\) est un multiple de \(b\), et que \(b\) est un diviseur de \(a\).
Exemple : \(21 = 3 \times 7\), donc \(21\) est un multiple de \(3\) et de \(7\) ; \(3\) et \(7\) sont des diviseurs de \(21\).
Les deux mots décrivent la même situation, vue depuis l'un ou l'autre nombre.
Les critères de divisibilité
Ces critères permettent de reconnaître un multiple sans poser la division.
Un nombre est divisible par |
Lorsque |
Exemple |
|---|---|---|
\(2\) |
Son chiffre des unités est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\) |
\(354\) |
\(3\) |
La somme de ses chiffres est un multiple de \(3\) |
\(354\) car \(3 + 5 + 4 = 12\) |
\(5\) |
Son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) |
\(470\) |
\(9\) |
La somme de ses chiffres est un multiple de \(9\) |
\(477\) car \(4 + 7 + 7 = 18\) |
\(10\) |
Son chiffre des unités est \(0\) |
\(470\) |
Un nombre divisible par \(9\) est toujours divisible par \(3\), puisque \(9\) est lui-même un multiple de \(3\). La réciproque est fausse : \(12\) est divisible par \(3\) mais pas par \(9\).
La division euclidienne
Lorsque la division ne tombe pas juste, on écrit le dividende sous la forme d'un produit augmenté d'un reste.
Exemple : pour \(17\) partagé par \(5\) :
Le quotient est \(3\) et le reste est \(2\). Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur, sinon le quotient pourrait encore augmenter.