Problèmes sur l'arithmétique en cinquième

Lister des diviseurs, traduire une phrase en formule, carreler une pièce : l'arithmétique se rédige autant qu'elle se calcule.

Déterminer les diviseurs d'un entier
Traduire un énoncé par une expression
Démontrer une propriété de divisibilité
Utiliser les critères de divisibilité et la division euclidienne dans un problème

Lister les diviseurs d'un nombre

Lister tous les diviseurs de :

$30$

On cherche les produits de deux entiers égaux à $30$ : $1 \times 30$, $2 \times 15$, $3 \times 10$ et $5 \times 6$.

$$ 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ 5 \ ; \ 6 \ ; \ 10 \ ; \ 15 \ ; \ 30 $$
$45$

Les produits égaux à $45$ : $1 \times 45$, $3 \times 15$ et $5 \times 9$.

$$ 1 \ ; \ 3 \ ; \ 5 \ ; \ 9 \ ; \ 15 \ ; \ 45 $$
$60$

Les produits égaux à $60$ : $1 \times 60$, $2 \times 30$, $3 \times 20$, $4 \times 15$, $5 \times 12$ et $6 \times 10$.

$$ 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 \ ; \ 4 \ ; \ 5 \ ; \ 6 \ ; \ 10 \ ; \ 12 \ ; \ 15 \ ; \ 20 \ ; \ 30 \ ; \ 60 $$

Traduire en formule

Traduire chaque phrase par une égalité, en notant $k$ un nombre entier :

$a$ est un multiple de $7$.

$$ a = 7 \times k $$
$d$ est un diviseur de $20$.

La division de $20$ par $d$ tombe juste :

$$ 20 = d \times k $$
$a$ est un multiple de $b$.

$$ a = b \times k $$

Démontrer une divisibilité

Démontrer que si $a$ est un multiple de $8$, alors c'est aussi un multiple de $2$.

Si $a$ est un multiple de $8$, on peut écrire, avec $k$ entier :

$$ a = 8 \times k $$

$$ a = 2 \times 4 \times k = 2 \times (4 \times k) $$

Comme $4 \times k$ est un nombre entier :

$$ a \text{ est un multiple de } 2 $$
Démontrer que si $d$ est un diviseur de $4$, alors c'est aussi un diviseur de $20$.

Si $d$ est un diviseur de $4$, on peut écrire, avec $k$ entier :

$$ 4 = d \times k $$

Or $20 = 4 \times 5$, donc :

$$ 20 = d \times k \times 5 = d \times (k \times 5) $$

Comme $k \times 5$ est un nombre entier :

$$ d \text{ est un diviseur de } 20 $$
Démontrer que si $a$ est un diviseur de $10$ et $b$ un diviseur de $15$, alors le produit $a \times b$ est un diviseur de $150$.

On traduit les deux hypothèses, avec $m$ et $n$ entiers :

$$ 10 = a \times m \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 15 = b \times n $$

Or $150 = 10 \times 15$, donc :

$$ 150 = a \times m \times b \times n = (a \times b) \times (m \times n) $$

Comme $m \times n$ est un nombre entier :

$$ a \times b \text{ est un diviseur de } 150 $$

Retrouver ce qui manque

Dans une division euclidienne par $7$, le quotient est $12$ et le reste est $5$. Retrouver le nombre qui a été divisé.

On reconstitue l'égalité de la division euclidienne :

$$ 7 \times 12 + 5 = 84 + 5 $$

$$ 89 $$
On change de division : pour diviser $58$ par $6$, Tom écrit $58 = 6 \times 8 + 10$. L'égalité est juste, mais ce n'est pas la division euclidienne. Expliquer pourquoi, puis écrire la bonne.

Le reste $10$ est plus grand que le diviseur $6$ : on peut encore faire un paquet de $6$ de plus.

$$ 58 = 6 \times 9 + 4 $$

Cette fois le reste $4$ est bien plus petit que $6$.
Un autre nombre : dans $4 \square 2$, le chiffre des dizaines a été effacé. Trouver tous les nombres possibles divisibles par $3$, puis celui qui est divisible par $9$.

La somme des chiffres vaut $4 + \square + 2 = 6 + \square$. Elle doit être un multiple de $3$, donc le chiffre effacé est $0$, $3$, $6$ ou $9$ :

$$ 402 \ ; \ 432 \ ; \ 462 \ ; \ 492 $$

Pour la divisibilité par $9$, la somme $6 + \square$ doit être un multiple de $9$. Un chiffre ne dépasse pas $9$, donc seule la somme $9$ convient, avec le chiffre $3$ :

$$ 432 $$

Carreler une pièce

Le sol d'une pièce est un rectangle de $360 \ \text{cm}$ sur $225 \ \text{cm}$. On veut le couvrir avec des carreaux carrés identiques, sans en couper aucun. Le côté d'un carreau mesure un nombre entier de centimètres.

Le carreleur propose des carreaux de $20 \ \text{cm}$ de côté. Conviennent-ils ? Justifier.

Dans la longueur, $360 = 20 \times 18$ : la division tombe juste. Mais dans la largeur :

$$ 225 = 20 \times 11 + 5 $$

Il resterait une bande de $5 \ \text{cm}$ à couvrir avec des carreaux coupés.

$$ \text{les carreaux de } 20 \ \text{cm} \text{ ne conviennent pas} $$
Le côté d'un carreau doit donc être un diviseur de $360$ et de $225$. Lister les diviseurs de $225$.

Les produits égaux à $225$ : $1 \times 225$, $3 \times 75$, $5 \times 45$, $9 \times 25$ et $15 \times 15$.

$$ 1 \ ; \ 3 \ ; \ 5 \ ; \ 9 \ ; \ 15 \ ; \ 25 \ ; \ 45 \ ; \ 75 \ ; \ 225 $$
Parmi ces diviseurs de $225$, lesquels sont aussi des diviseurs de $360$ ?

$360$ se termine par $0$ et la somme de ses chiffres vaut $9$ : il est divisible par $3$, par $5$ et par $9$. On vérifie les autres :

$$ 360 = 15 \times 24 \hspace{2em} 360 = 45 \times 8 \hspace{2em} 360 = 25 \times 14 + 10 \hspace{2em} 360 = 75 \times 4 + 60 $$

$25$ et $75$ ne conviennent pas, et $225$ non plus puisque $360 = 225 \times 1 + 135$.

$$ 1 \ ; \ 3 \ ; \ 5 \ ; \ 9 \ ; \ 15 \ ; \ 45 $$
On veut le moins de carreaux possible. Quel côté faut-il choisir, et combien de carreaux faudra-t-il alors ?

Moins de carreaux veut dire des carreaux plus grands : on prend le plus grand côté possible, $45 \ \text{cm}$.

$$ 360 \div 45 = 8 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 225 \div 45 = 5 $$

On pose $8$ rangées de $5$ carreaux :

$$ 8 \times 5 $$

$$ 40 \ \text{carreaux de } 45 \ \text{cm} \ \text{de côté} $$

Les deux phares

Le phare A s'allume toutes les $12$ secondes, le phare B toutes les $18$ secondes. À l'instant $0$, ils s'allument ensemble.

À quel instant s'allument-ils de nouveau ensemble pour la première fois ? Calculer, puis vérifier sur la figure.

On écrit les multiples de $12$ et de $18$ jusqu'au premier qui leur est commun :

$$ \text{A} : 12 \ ; \ 24 \ ; \ 36 \hspace{2em} \text{B} : 18 \ ; \ 36 $$

$$ 36 \ \text{s} $$

Sur la figure, les deux phares ont bien un éclat à $36$, puis de nouveau à $72$.
Combien de fois s'allument-ils ensemble pendant les dix premières minutes, l'instant $0$ compris ?

Après chaque éclat commun, tout recommence comme à l'instant $0$ : les éclats communs ont lieu toutes les $36$ secondes. Dix minutes font $600$ secondes :

$$ 600 = 36 \times 16 + 24 $$

Les éclats communs tombent à $0$, à $36$, à $72$, et ainsi de suite jusqu'à $36 \times 16 = 576$ : l'instant $0$, plus $16$ autres.

$$ 17 \ \text{fois} $$
On ajoute un phare C, qui s'allume toutes les $30$ secondes, lui aussi à l'instant $0$. Au bout de combien de temps les trois phares s'allument-ils de nouveau ensemble ?

A et B ne s'allument ensemble qu'aux multiples de $36$. On cherche le premier qui soit aussi un multiple de $30$, donc terminé par $0$ :

$$ 36 \ ; \ 72 \ ; \ 108 \ ; \ 144 \ ; \ 180 $$

$$ 180 = 30 \times 6 $$

$$ 180 \ \text{s} = 3 \ \text{min} $$
On revient aux deux phares A et B. A ne change pas, mais on règle B pour qu'il s'allume pour la première fois $d$ secondes après l'instant $0$, puis toutes les $18$ secondes ; $d$ est un nombre entier compris entre $1$ et $17$. Pour quelles valeurs de $d$ les deux phares finiront-ils par s'allumer ensemble ? Prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

Un essai : pour $d = 3$, B s'allume à $3$, à $21$, à $39$, à $57$… Ces instants sont tous impairs, alors que ceux de A sont pairs : les deux phares ne s'allument jamais ensemble.

Ce que doit vérifier $d$ : les éclats de A tombent sur des multiples de $12$, qui sont aussi des multiples de $6$. Ceux de B tombent sur $d$, plus un multiple de $18$, qui est aussi un multiple de $6$.

Si les deux phares s'allument ensemble, cet instant est un multiple de $6$, et il vaut $d$ plus un multiple de $6$. En retirant des paquets de $6$ à un nombre fait de paquets de $6$, il reste des paquets de $6$ : $d$ est un multiple de $6$. Entre $1$ et $17$, il ne reste que $6$ et $12$.

Ces deux valeurs conviennent : pour $d = 6$, B s'allume à $6$, puis à $24 = 12 \times 2$, en même temps que A ; pour $d = 12$, B s'allume dès $12$, en même temps que A.

$$ d = 6 \quad \text{ou} \quad d = 12 $$

Retomber sur $1$

On part d'un nombre entier. S'il est pair, on le divise par $2$ ; s'il est impair, on le multiplie par $3$ et on ajoute $1$. On recommence avec le résultat, jusqu'à obtenir $1$. Chaque calcul compte pour une étape.

La figure montre que $6$ retombe sur $1$ en $8$ étapes. Sans refaire tous les calculs, donner le nombre d'étapes pour $3$, pour $12$ et pour $24$.

$3$ est la deuxième case de la figure : il lui manque la première étape. $12$, pair, donne $6$ en une étape, et $24$ donne $12$ en une étape.

$$ \text{pour } 3 : 7 \ \text{étapes} \hspace{2em} \text{pour } 12 : 9 \ \text{étapes} \hspace{2em} \text{pour } 24 : 10 \ \text{étapes} $$
Prouver qu'une flèche rouge mène toujours à un nombre pair.

Une flèche rouge part d'un nombre impair, qui se termine par $1$, $3$, $5$, $7$ ou $9$. Le chiffre des unités de son triple ne dépend que de ce chiffre :

$$ 1 \times 3 = 3 \hspace{2em} 3 \times 3 = 9 \hspace{2em} 5 \times 3 = 15 \hspace{2em} 7 \times 3 = 21 \hspace{2em} 9 \times 3 = 27 $$

Le triple se termine donc par $3$, $9$, $5$, $1$ ou $7$. En ajoutant $1$, le résultat se termine par $4$, $0$, $6$, $2$ ou $8$ :

$$ \text{le résultat est pair} $$

Sur la figure, les flèches rouges mènent bien à $10$ et à $16$.
Trouver tous les nombres qui retombent sur $1$ en exactement $7$ étapes, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

On remonte les étapes à partir de $1$. Un nombre $n$ peut être obtenu de deux façons seulement :

Par une flèche bleue : le nombre d'avant était pair et valait $2 \times n$. C'est toujours possible.

Par une flèche rouge : d'après la question précédente, $n$ est alors pair. Le nombre d'avant valait $(n - 1) \div 3$ : il faut que $n - 1$ soit un multiple de $3$, et que ce nombre ne soit pas $1$, où l'on s'arrête. Il est bien impair, puisque son triple $n - 1$ est impair.

On applique ces deux cas à chaque nombre trouvé, étape après étape :

$$ 1 \longleftarrow 2 \longleftarrow 4 \longleftarrow 8 \longleftarrow 16 $$

$16$ retombe donc sur $1$ en $4$ étapes, et rien d'autre jusque-là : $1$ est impair, $2 - 1 = 1$ et $8 - 1 = 7$ ne sont pas des multiples de $3$, et $(4 - 1) \div 3 = 1$ est exclu.

$5$ étapes : $32$, et $(16 - 1) \div 3 = 5$.

$6$ étapes : $64$ et $10$. $32 - 1 = 31$ n'est pas un multiple de $3$, et $5$ est impair.

$7$ étapes : $128$ et $20$, puis $(64 - 1) \div 3 = 21$ et $(10 - 1) \div 3 = 3$.

$$ 3 \ ; \ 20 \ ; \ 21 \ ; \ 128 $$

Il n'y en a pas d'autre, puisque chaque étape n'a laissé que ces possibilités. Vérification pour $21$ : $64$, $32$, $16$, $8$, $4$, $2$ et $1$, soit $7$ étapes ; et $3$ en demande bien $7$, comme à la première question.