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Les casse-tête des puissances

Une grille de nombres croisés, des cartes à apparier, une course de relais et le triangle des impairs de Nicomaque : quatre casse-tête pour calculer avec des carrés, des cubes et des puissances, sans calculatrice.

Les nombres croisés

Chaque case de la grille reçoit un chiffre. Chaque nombre de la grille est un carré, un cube ou une autre puissance.

Une grille de nombres croisés de sept cases sur sept, cases noires grisées, avec treize définitions : six horizontales et sept verticales A B C D E F G H I J K Horizontalement B
$$ 12^{3} $$
 E
$$ 8^{3} $$
 G
$$ 11^{2} $$
 I
$$ 14^{2} $$
 J Le carré de 6 K
$$ 30^{2} $$
 Verticalement A Le cube de 3 B Le volume d'un cube d'arête 5 cm, en cm³ C L'aire d'un carré de côté 9 cm, en cm² D
$$ 2^{5} $$
 F
$$ 6^{3} $$
 G
$$ 13^{2} $$
 H
$$ 10^{3} $$
La grille remplie : en haut 1 728, au milieu 512 et 121, puis 196, enfin 36 et 900 ; en colonnes 27, 125, 81, 32, 216, 169 et 1 000 2 1 7 2 8 2 1 3 5 1 2 1 2 1 1 9 6 0 3 6 9 0 0 0 A B C D E F G H I J K Horizontalement B
$$ 12^{3} $$
 E
$$ 8^{3} $$
 G
$$ 11^{2} $$
 I
$$ 14^{2} $$
 J Le carré de 6 K
$$ 30^{2} $$
 Verticalement A Le cube de 3 B Le volume d'un cube d'arête 5 cm, en cm³ C L'aire d'un carré de côté 9 cm, en cm² D
$$ 2^{5} $$
 F
$$ 6^{3} $$
 G
$$ 13^{2} $$
 H
$$ 10^{3} $$
  1. Remplir la grille. Une case partagée par deux nombres confirme les deux.

    Par exemple :

    $$ 12^{3} = 12 \times 12 \times 12 = 144 \times 12 = 1 \ 728 $$
    $$ 14^{2} = 14 \times 14 = 196 \quad \text{et} \quad 2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 $$
  2. Pour B vertical, Inès a écrit \(15\). Expliquer son erreur, puis comment la grille la lui montre.

    Inès a calculé \(5 \times 3\). Or le cube de \(5\) est le produit de trois facteurs égaux à \(5\) :

    $$ 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 $$

    La grille prévoit trois cases pour B vertical, et ses chiffres croisent \(1 \ 728\), qui commence par \(1\), et \(512\), qui commence par \(5\) : \(15\) ne tient pas.

Les paires de cartes

Seize cartes forment huit paires : deux cartes vont ensemble quand leurs calculs donnent le même nombre.

Seize cartes de A à P, sur quatre lignes : chacune porte un calcul avec une puissance, une case pour sa valeur et une case pour la lettre de sa paire A
$$ 2 \times 5^{2} $$
 = avec B
$$ (1 + 2)^{3} $$
 = avec C
$$ 2 \times 3^{2} $$
 = avec D
$$ 10^{3} - 10^{2} $$
 = avec E
$$ (3 + 2)^{2} $$
 = avec F
$$ 3 + 2 \times 4^{2} $$
 = avec G
$$ 3^{2} + 4^{2} $$
 = avec H
$$ 3 \times 3^{2} $$
 = avec I
$$ 3^{2} + 3^{2} $$
 = avec J
$$ 4 \times 5^{2} $$
 = avec K
$$ (3 \times 10)^{2} $$
 = avec L
$$ (2 \times 5)^{2} $$
 = avec M
$$ 4 \times 3^{2} $$
 = avec N
$$ 6^{2} - 1 $$
 = avec O
$$ 10^{2} - 8^{2} $$
 = avec P
$$ 7^{2} + 1 $$
 = avec
Les seize cartes calculées : chacune a sa paire, de même valeur, et aucune ne reste seule A
$$ 2 \times 5^{2} $$
 = avec 50 P B
$$ (1 + 2)^{3} $$
 = avec 27 H C
$$ 2 \times 3^{2} $$
 = avec 18 I D
$$ 10^{3} - 10^{2} $$
 = avec 900 K E
$$ (3 + 2)^{2} $$
 = avec 25 G F
$$ 3 + 2 \times 4^{2} $$
 = avec 35 N G
$$ 3^{2} + 4^{2} $$
 = avec 25 E H
$$ 3 \times 3^{2} $$
 = avec 27 B I
$$ 3^{2} + 3^{2} $$
 = avec 18 C J
$$ 4 \times 5^{2} $$
 = avec 100 L K
$$ (3 \times 10)^{2} $$
 = avec 900 D L
$$ (2 \times 5)^{2} $$
 = avec 100 J M
$$ 4 \times 3^{2} $$
 = avec 36 O N
$$ 6^{2} - 1 $$
 = avec 35 F O
$$ 10^{2} - 8^{2} $$
 = avec 36 M P
$$ 7^{2} + 1 $$
 = avec 50 A
  1. Calculer chaque carte, puis écrire la lettre de sa paire. Si tout est juste, aucune carte ne reste seule.

    Une puissance se calcule avant les produits et les sommes, mais après les parenthèses :

    $$ 2 \times 5^{2} = 2 \times 25 = 50 \quad \text{et} \quad 7^{2} + 1 = 49 + 1 = 50 $$
    $$ (2 \times 5)^{2} = 10^{2} = 100 \quad \text{et} \quad 4 \times 5^{2} = 4 \times 25 = 100 $$
    $$ 3 + 2 \times 4^{2} = 3 + 32 = 35 \quad \text{et} \quad 6^{2} - 1 = 36 - 1 = 35 $$
    $$ (3 + 2)^{2} = 5^{2} = 25 \quad \text{et} \quad 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 $$
    $$ 10^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 \quad \text{et} \quad 4 \times 3^{2} = 4 \times 9 = 36 $$
    $$ 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18 \quad \text{et} \quad 3^{2} + 3^{2} = 9 + 9 = 18 $$
    $$ 3 \times 3^{2} = 3 \times 9 = 27 \quad \text{et} \quad (1 + 2)^{3} = 3^{3} = 27 $$
    $$ 10^{3} - 10^{2} = 1 \ 000 - 100 = 900 \quad \text{et} \quad (3 \times 10)^{2} = 30^{2} = 900 $$
  2. Lucas a mis ensemble les cartes C et O. Calculer ces deux cartes, puis expliquer son erreur.
    $$ 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18 \quad \text{et} \quad 10^{2} - 8^{2} = 100 - 64 = 36 $$

    Lucas a calculé \((2 \times 3)^{2} = 36\) : il a fait le produit avant la puissance. Dans \(2 \times 3^{2}\), seul \(3\) est au carré.

Le relais des formules

Chaque coureur remplace \(x\) par le nombre qu'il reçoit dans sa formule, puis passe le résultat au coureur suivant.

Deux équipes de cinq coureurs ; chaque coureur porte une formule en x et une case pour le nombre qu'il passe ; l'équipe 1 part de 3, l'équipe 2 part de 2 Équipe 1 Départ 3 Léa
$$ x^{3} - 25 $$
 passe Hugo
$$ 4x^{2} - 4 $$
 passe Chloé
$$ 150 - x^{2} $$
 passe Louis
$$ (x - 4)^{2} $$
 passe Emma
$$ x^{2} - 13 $$
 passe le dernier rend le nombre de départ ? Équipe 2 Départ 2 Jules
$$ 3x^{2} - 9 $$
 passe Manon
$$ x^{2} - x $$
 passe Paul
$$ (x - 4)^{3} $$
 passe Camille
$$ (x - 6)^{2} $$
 passe Arthur
$$ (x - 2)^{3} - 6 $$
 passe le dernier rend le nombre de départ ?
Les deux relais calculés : l'équipe 1 passe 2, 12, 6, 4 puis 3 ; l'équipe 2 passe 3, 6, 8, 4 puis 2 ; chacune revient à son départ Équipe 1 Départ 3 Léa
$$ x^{3} - 25 $$
 passe 2 Hugo
$$ 4x^{2} - 4 $$
 passe 12 Chloé
$$ 150 - x^{2} $$
 passe 6 Louis
$$ (x - 4)^{2} $$
 passe 4 Emma
$$ x^{2} - 13 $$
 passe 3 le dernier rend le nombre de départ ? Équipe 2 Départ 2 Jules
$$ 3x^{2} - 9 $$
 passe 3 Manon
$$ x^{2} - x $$
 passe 6 Paul
$$ (x - 4)^{3} $$
 passe 8 Camille
$$ (x - 6)^{2} $$
 passe 4 Arthur
$$ (x - 2)^{3} - 6 $$
 passe 2 le dernier rend le nombre de départ ?
  1. Calculer le nombre que passe chaque coureur. Si tout est juste, le dernier coureur de chaque équipe rend le nombre de départ.

    Équipe 1, qui part de \(3\) :

    $$ 3^{3} - 25 = 27 - 25 = 2 \quad \text{et} \quad 4 \times 2^{2} - 4 = 16 - 4 = 12 $$
    $$ 150 - 12^{2} = 150 - 144 = 6 \quad \text{et} \quad (6 - 4)^{2} = 2^{2} = 4 $$
    $$ 4^{2} - 13 = 16 - 13 = 3 $$

    Équipe 2, qui part de \(2\) :

    $$ 3 \times 2^{2} - 9 = 12 - 9 = 3 \quad \text{et} \quad 3^{2} - 3 = 9 - 3 = 6 $$
    $$ (6 - 4)^{3} = 2^{3} = 8 \quad \text{et} \quad (8 - 6)^{2} = 2^{2} = 4 $$
    $$ (4 - 2)^{3} - 6 = 8 - 6 = 2 $$
  2. Le dernier coureur d'une troisième équipe reçoit \(4\) et doit rendre \(5\). Trouver, parmi ces formules, celles qui conviennent :
    $$ x^{2} - 11 \hspace{2em} (x + 1)^{2} \hspace{2em} 2x^{2} - 27 \hspace{2em} (2x)^{2} - 27 \hspace{2em} x^{3} - 59 $$
    $$ 4^{2} - 11 = 16 - 11 = 5 \quad \text{et} \quad (4 + 1)^{2} = 5^{2} = 25 $$
    $$ 2 \times 4^{2} - 27 = 32 - 27 = 5 \quad \text{et} \quad (2 \times 4)^{2} - 27 = 64 - 27 = 37 $$
    $$ 4^{3} - 59 = 64 - 59 = 5 $$

    Les formules \(x^{2} - 11\), \(2x^{2} - 27\) et \(x^{3} - 59\) conviennent.

Le triangle de Nicomaque

Vers l'an \(100\), le mathématicien grec Nicomaque de Gérase range les nombres impairs en triangle, un de plus à chaque ligne.

Les nombres impairs de 1 à 41 rangés en triangle, de la ligne 1 à la ligne 6 ; à droite de chaque ligne, une case pour sa somme et une case pour l'écrire comme un cube Ligne 1 1 somme : = 3 Ligne 2 3 5 somme : = 3 Ligne 3 7 9 11 somme : = 3 Ligne 4 13 15 17 19 somme : = 3 Ligne 5 21 23 25 27 29 somme : = 3 Ligne 6 31 33 35 37 39 41 somme : = 3
Le triangle et ses sommes : 1, 8, 27, 64, 125 et 216, soit les cubes de 1 à 6 Ligne 1 1 somme : = 3 1 1 Ligne 2 3 5 somme : = 3 8 2 Ligne 3 7 9 11 somme : = 3 27 3 Ligne 4 13 15 17 19 somme : = 3 64 4 Ligne 5 21 23 25 27 29 somme : = 3 125 5 Ligne 6 31 33 35 37 39 41 somme : = 3 216 6
  1. Calculer la somme de chaque ligne, puis l'écrire comme un cube. Si une somme n'est pas un cube, une erreur s'est glissée.
    $$ 3 + 5 = 8 = 2^{3} \quad \text{et} \quad 7 + 9 + 11 = 27 = 3^{3} $$
    $$ 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^{3} \quad \text{et} \quad 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5^{3} $$
    $$ 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6^{3} $$

    La ligne \(n\) a pour somme \(n^{3}\).

  2. Dans une ligne paire, les deux nombres du milieu encadrent un carré : à la ligne \(4\), \(15\) et \(17\) encadrent \(16 = 4^{2}\). La ligne \(10\) compte dix impairs qui se suivent, et ses deux nombres du milieu encadrent \(10^{2} = 100\). Écrire les dix nombres de cette ligne, puis calculer leur somme et l'écrire comme un cube.

    Les deux nombres du milieu sont \(99\) et \(101\), avec quatre impairs avant et quatre après :

    $$ 91 \quad 93 \quad 95 \quad 97 \quad 99 \quad 101 \quad 103 \quad 105 \quad 107 \quad 109 $$

    Associés deux à deux depuis les bords, ils font cinq fois \(200\) :

    $$ 91 + 93 + \cdots + 109 = 5 \times 200 = 1 \ 000 = 10^{3} $$
  3. Calculer les trois sommes suivantes, puis écrire chacune comme un carré.
    $$ 1^{3} + 2^{3} \hspace{2em} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} \hspace{2em} 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} $$
    $$ 1^{3} + 2^{3} = 1 + 8 = 9 = 3^{2} $$
    $$ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 9 + 27 = 36 = 6^{2} $$
    $$ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 36 + 64 = 100 = 10^{2} $$

    Chaque somme de cubes qui commence à \(1^{3}\) est un carré : c'est le théorème de Nicomaque.