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Les puissances

Un produit de facteurs égaux s'écrit en abrégé : le carré, le cube, puis la puissance qui les prolonge.

Plier une feuille en deux double son épaisseur. Au bout de dix pliages, elle compterait \(2^{10} = 1 \ 024\) épaisseurs - plus de dix centimètres de papier.

Le nombre d'épaisseurs d'une feuille pliée : 1, 2, 4, 8, 16, et les puissances de 2 correspondantes
\(1\)
\(2^0\)
\(\times 2\)
\(2\)
\(2^1\)
\(\times 2\)
\(4\)
\(2^2\)
\(\times 2\)
\(8\)
\(2^3\)
\(\times 2\)
\(16\)
\(2^4\)
 Le nombre d'épaisseurs d'une feuille pliée : 1, 2, 4, 8, 16, et les puissances de 2 correspondantes - support à compléter
\(1\)
\(\times 2\)
\(2\)
\(\times 2\)
\(4\)
\(\times 2\)
\(8\)
\(\times 2\)
\(16\)

Multiplier dix fois par deux donne mille, pas vingt : c'est ce que l'exposant résume.

Le carré d'un nombre

Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même.

$$ a^2 = a \times a $$

On lit \(a^2\) « \(a\) au carré », ou « \(a\) exposant \(2\) ».

\(a^2\) est l'aire d'un carré de côté \(a\) ; les aires se mesurent en \(\text{cm}^2\) ou en \(\text{m}^2\).

Exemple : un carré de côté \(7\).

$$ 7^2 = 7 \times 7 = 49 $$
Un carré de côté sept sur un quadrillage : quarante-neuf carreaux
\(7\)
\(7\)
\(7^2 = 49\)
 Un carré de côté sept sur un quadrillage : quarante-neuf carreaux - support à compléter
\(7\)

Le cube d'un nombre

Le cube

Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois.

$$ a^3 = a \times a \times a $$

\(a^3\) est le volume d'un cube d'arête \(a\) ; les volumes se mesurent en \(\text{cm}^3\) ou en \(\text{m}^3\).

Exemple : un cube d'arête \(4\).

$$ 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 $$
Un cube d'arête quatre fait de petits cubes, dont la couche du dessus est coloriée
\(4\)
\(4\)
\(4\)
\(4^3 = 64\)
 Un cube d'arête quatre fait de petits cubes, dont la couche du dessus est coloriée - support à compléter
\(4\)
\(4\)
\(4\)

Les carrés à connaître

Ces résultats doivent être disponibles immédiatement, comme les tables de multiplication.

\(n\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(n^2\)
\(0\)
\(1\)
\(4\)
\(9\)
\(16\)
\(25\)
\(36\)
Les carrés des entiers de \(0\) à \(12\)
\(n\)
\(7\)
\(8\)
\(9\)
\(10\)
\(11\)
\(12\)
\(n^2\)
\(49\)
\(64\)
\(81\)
\(100\)
\(121\)
\(144\)
La suite des carrés

À retenir aussi : \(10^3 = 1\,000\).

Écrire un nombre sous forme de puissance

Reconnaître un carré ou un cube permet d'écrire un nombre plus brièvement.

$$ 81 = 9 \times 9 = 9^2 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 $$

Un nombre peut avoir plusieurs écritures : \(64 = 8^2 = 4^3\).

Puissances et priorités opératoires

Une puissance se calcule avant les autres opérations, mais après les parenthèses.

Exemple :

$$ B = 3 + 2 \times 5^2 $$
$$ B = 3 + 2 \times 25 = 3 + 50 $$
$$ B = 53 $$

Avec des parenthèses :

$$ (3 + 2) \times 5^2 = 5 \times 25 = 125 $$

Dans \(2 \times 3^2\), seul \(3\) est au carré : le résultat est \(18\), et non \(36\).

Puissances dans une expression littérale

On remplace la lettre par sa valeur, puis on applique les priorités.

Exemple : calculer \(A = 3x^2 + 1\) pour \(x = 4\).

$$ A = 3 \times 4^2 + 1 = 3 \times 16 + 1 $$
$$ A = 49 $$