Les puissances

Le carré d'un nombre

Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même.

$$ a^2 = a \times a $$

On lit $a^2$ « $a$ au carré », ou « $a$ exposant $2$ ».

Le mot vient de la géométrie : $a^2$ est l'aire d'un carré de côté $a$. C'est aussi pourquoi les aires se mesurent en $\text{cm}^2$ ou en $\text{m}^2$.

Exemple :

$$ 7^2 = 7 \times 7 = 49 $$

Le cube d'un nombre

Le cube

Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois.

$$ a^3 = a \times a \times a $$

De même, $a^3$ est le volume d'un cube d'arête $a$, et les volumes se mesurent en $\text{cm}^3$ ou en $\text{m}^3$.

Exemple :

$$ 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 $$

Les carrés à connaître

Ces résultats doivent être disponibles immédiatement, comme les tables de multiplication.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$n^2$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$

Les carrés des entiers de $0$ à $12$

$n$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$n^2$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

La suite des carrés

Il faut également retenir le cube de dix : $10^3 = 1\,000$.

Écrire un nombre sous forme de puissance

Reconnaître un carré ou un cube permet d'écrire un nombre plus brièvement.

$$ 81 = 9 \times 9 = 9^2 \qquad \text{et} \qquad 27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 $$

Un même nombre peut avoir plusieurs écritures : $64 = 8^2$ mais aussi $64 = 4^3$.

Puissances et priorités opératoires

Une puissance se calcule avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions. Seules les parenthèses la précèdent.

Exemple :

$$ 3 + 2 \times 5^2 = 3 + 2 \times 25 = 3 + 50 $$

$$ 3 + 2 \times 5^2 = 53 $$

Les parenthèses changent tout :

$$ (3 + 2) \times 5^2 = 5 \times 25 = 125 $$

Attention à $2 \times 3^2$ : on élève $3$ au carré, pas le produit. Le résultat est $18$, et non $36$.

Puissances dans une expression littérale

On remplace la lettre par sa valeur, puis on applique les priorités.

Exemple : calculer $A = 3x^2 + 1$ pour $x = 4$.

$$ A = 3 \times 4^2 + 1 = 3 \times 16 + 1 $$

$$ A = 49 $$