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Une cour carrée, un damier, un grand cube peint : le carré et le cube grandissent bien plus vite qu'on ne le croit.
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Calculer avec des carrés et des cubes
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Traduire un programme de calcul contenant une puissance
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Retrouver un nombre à partir de son carré ou de son cube
La cour carrée
La cour d'un collège est un carré de \(35 \ \text{m}\) de côté.
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Calculer son aire.$$ \mathcal{A} = 35^2 = 35 \times 35 $$$$ \mathcal{A} = 1\,225 \ \text{m}^2 $$
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On souhaite doubler le côté de cette même cour. Son aire est-elle doublée ?$$ 70^2 = 4\,900 $$$$ 4\,900 = 4 \times 1\,225 $$
L'aire est multipliée par \(4\), et non par \(2\) : les deux dimensions sont doublées à la fois.
Le cube de rangement
Un cube de rangement a une arête de \(40 \ \text{cm}\).
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Calculer son volume en centimètres cubes.$$ V = 40^3 = 40 \times 40 \times 40 $$$$ V = 64\,000 \ \text{cm}^3 $$
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Exprimer ce volume en litres.
Comme \(1 \ \text{dm}^3 = 1\,000 \ \text{cm}^3\) et \(1 \ \text{dm}^3 = 1 \ \text{L}\) :
$$ 64\,000 \ \text{cm}^3 = 64 \ \text{dm}^3 $$$$ 64 \ \text{L} $$ -
Combien de cubes de \(10 \ \text{cm}\) d'arête peut-on ranger dans ce cube de rangement ?$$ 10^3 = 1\,000 \ \text{cm}^3 $$$$ 64\,000 \div 1\,000 $$$$ 64 \ \text{cubes} $$
On retrouve ce nombre en raisonnant sur les arêtes : \(4 \times 4 \times 4 = 64\).
Le programme de calcul
Voici un programme : « choisir un nombre, l'élever au carré, multiplier le résultat par \(3\), puis retrancher \(5\) ».
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Écrire l'expression littérale correspondante, en notant \(x\) le nombre choisi.$$ 3x^2 - 5 $$
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Appliquer le programme à \(4\), puis à \(7\).$$ 3 \times 4^2 - 5 = 3 \times 16 - 5 $$$$ 3 \times 7^2 - 5 = 3 \times 49 - 5 $$$$ 43 \quad \text{et} \quad 142 $$
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Julie affirme que ce même programme appliqué à \(4\) donne \(139\). Où est son erreur ?
Elle a calculé \((3 \times 4)^2\) au lieu de \(3 \times 4^2\) :
$$ (3 \times 4)^2 - 5 = 12^2 - 5 = 139 $$La puissance ne porte que sur \(x\), pas sur le produit : le bon résultat est \(43\).
Le damier et les grains de riz
Une légende raconte qu'on dépose \(1\) grain de riz sur la première case d'un damier, \(2\) sur la deuxième, \(4\) sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case.
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Combien de grains sur la quatrième case ? Sur la cinquième ?$$ 4 \times 2 = 8 \hspace{2em} 8 \times 2 = 16 $$$$ 8 \quad \text{puis} \quad 16 $$
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Écrire le nombre de grains de la quatrième case sous forme de puissance.
\(8 = 2 \times 2 \times 2\), c'est le cube de \(2\) :
$$ 8 = 2^3 $$ -
Combien de grains au total sur les quatre premières cases ? Comparer ce total au nombre de grains de la cinquième case.$$ 1 + 2 + 4 + 8 = 15 $$$$ 15 = 16 - 1 $$
La cinquième case contient un grain de plus que les quatre premières réunies.
Remonter au nombre de départ
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Nina écrit \(5^3 = 15\). Expliquer son erreur, puis calculer \(5^3\).
Nina a multiplié \(5\) par \(3\). Or \(5^3\) est le produit de trois facteurs égaux à \(5\) :
$$ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 $$$$ 5^3 = 125 $$ -
On change de question : trouver le nombre entier dont le carré vaut \(144\), puis celui dont le cube vaut \(27\).$$ 12 \times 12 = 144 \hspace{2em} 3 \times 3 \times 3 = 27 $$$$ 12 \quad \text{et} \quad 3 $$
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On reprend le programme de calcul « élever au carré, multiplier par \(3\), retrancher \(5\) ». Un élève a choisi un nombre entier et obtenu \(22\). Retrouver le nombre choisi.
On remonte le programme en faisant l'opération contraire à chaque étape :
$$ 22 + 5 = 27 \hspace{2em} 27 \div 3 = 9 \hspace{2em} 9 = 3^2 $$$$ 3 $$On vérifie : \(3 \times 3^2 - 5 = 27 - 5 = 22\).
Le grand cube peint
On assemble des petits cubes identiques pour former un grand cube, avec \(5\) petits cubes sur chaque arête. On peint ensuite les six faces du grand cube.
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Combien de petits cubes forment le grand cube ?$$ 5^3 = 5 \times 5 \times 5 $$$$ 125 \ \text{petits cubes} $$
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Combien de ces petits cubes ne reçoivent aucune goutte de peinture ?
Les petits cubes jamais peints sont ceux de l'intérieur. En retirant une couche de chaque côté, il reste \(5 - 2 = 3\) petits cubes sur chaque arête :
$$ 3^3 = 3 \times 3 \times 3 $$$$ 27 \ \text{petits cubes} $$ -
Combien de petits cubes de ce même grand cube ont au moins une face peinte ?$$ 125 - 27 $$$$ 98 \ \text{petits cubes} $$
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On construit un autre grand cube, avec \(10\) petits cubes sur chaque arête, et on le peint de la même façon. Léa affirme que plus de la moitié des petits cubes resteront sans peinture. A-t-elle raison ? Justifier.
Le grand cube compte \(10^3 = 1\,000\) petits cubes. À l'intérieur, il reste \(10 - 2 = 8\) petits cubes sur chaque arête :
$$ 8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512 $$La moitié de \(1\,000\) est \(500\), et \(512 > 500\) :
$$ \text{Léa a raison} $$Plus le cube est grand, plus la part de petits cubes cachés à l'intérieur augmente.
Le numéro du taxi
On construit deux assemblages avec des petits cubes identiques. Sous chaque cube est écrit le nombre de petits cubes sur une de ses arêtes.
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Combien de petits cubes chaque assemblage utilise-t-il ?
On compte les petits cubes de chaque cube, puis on additionne :
$$ \mathrm{A} : \ 12^3 + 1^3 = 144 \times 12 + 1 = 1 \ 728 + 1 $$$$ \mathrm{B} : \ 10^3 + 9^3 = 1 \ 000 + 81 \times 9 = 1 \ 000 + 729 $$$$ 1 \ 729 \ \text{petits cubes dans chaque assemblage} $$Un grand cube et un cube minuscule, ou deux cubes presque égaux : le compte est le même.
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Le nombre \(1 \ 729\) était le numéro du taxi pris par le mathématicien Hardy pour rendre visite à son ami Ramanujan. Trouver toutes les façons d'écrire \(1 \ 729\) comme somme de deux cubes de nombres entiers non nuls, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.
Comme \(13^3 = 2 \ 197\) dépasse \(1 \ 729\), les deux cubes sont parmi ceux des nombres de \(1\) à \(12\). Le plus petit des deux, \(a^3\), ne dépasse pas la moitié de \(1 \ 729\), soit \(864.5\) : comme \(10^3 = 1 \ 000\), le nombre \(a\) vaut au plus \(9\). On teste les neuf cas :
\(a\)\(a^3\)\(1 \ 729 - a^3\)Un cube ?\(1\)\(1\)\(1 \ 728\)\(12^3\)\(2\)\(8\)\(1 \ 721\)non\(3\)\(27\)\(1 \ 702\)non\(4\)\(64\)\(1 \ 665\)non\(5\)\(125\)\(1 \ 604\)non\(6\)\(216\)\(1 \ 513\)non\(7\)\(343\)\(1 \ 386\)non\(8\)\(512\)\(1 \ 217\)non\(9\)\(729\)\(1 \ 000\)\(10^3\)Ce qui reste après avoir retiré le plus petit cube Les cubes voisins sont \(10^3 = 1 \ 000\), \(11^3 = 1 \ 331\) et \(12^3 = 1 \ 728\). Les sept restes marqués « non » tombent strictement entre deux d'entre eux : \(1 \ 000 < 1 \ 217 < 1 \ 331\), et les six autres sont compris entre \(1 \ 331\) et \(1 \ 728\). Ce ne sont pas des cubes.
$$ 1 \ 729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 $$Il n'y a pas d'autre façon : ce sont les deux assemblages de la figure.
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On passe aux carrés. Trouver le plus petit nombre qui s'écrit de deux façons comme somme de deux carrés de nombres entiers non nuls, et prouver qu'aucun nombre plus petit ne convient.
On range dans un tableau les sommes de deux carrés, en ne remplissant que les cases où le carré de la ligne ne dépasse pas celui de la colonne :
\(+\)\(1\)\(4\)\(9\)\(16\)\(25\)\(36\)\(49\)\(1\)\(2\)\(5\)\(10\)\(17\)\(26\)\(37\)\(50\)\(4\)\(8\)\(13\)\(20\)\(29\)\(40\)\(53\)\(9\)\(18\)\(25\)\(34\)\(45\)\(58\)\(16\)\(32\)\(41\)\(52\)\(65\)\(25\)\(50\)\(61\)\(74\)\(36\)\(72\)\(85\)\(49\)\(98\)Sommes de deux carrés de \(1^2\) à \(7^2\) Une somme de deux carrés non nuls plus petite que \(50\) n'utilise que des carrés plus petits que \(49\), donc de \(1^2\) à \(6^2\) : elle figure dans le tableau. Or les nombres du tableau plus petits que \(50\) sont tous différents, aucun ne s'écrit de deux façons. Le nombre \(50\), lui, apparaît deux fois :
$$ 50 = 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2 $$Vérification : \(1 + 49 = 50\) et \(25 + 25 = 50\).
La fanfare en carré
Une fanfare défile en carré. Pour passer d'un carré au carré suivant, on ajoute une bande en équerre le long du haut et de la droite. La figure montre les cinq premières bandes, de couleurs alternées.
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Compter les musiciens de chaque bande, puis écrire \(1 + 3 + 5 + 7 + 9\) sous forme de puissance.
Les bandes comptent \(1\), puis \(3\), \(5\), \(7\) et \(9\) musiciens. Réunies, elles forment le carré de \(5\) musiciens de côté :
$$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 $$$$ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^2 $$ -
Sans poser l'addition, calculer la somme des nombres impairs de \(1\) à \(23\), \(1 + 3 + 5 + \cdots + 21 + 23\). Justifier à l'aide de la figure.
La bande qui complète le carré de côté \(n\) compte \(n\) musiciens sur le haut et \(n\) sur la droite, le musicien du coin étant compté deux fois : elle en compte \(n + n - 1\). Or \(12 + 12 - 1 = 23\) : la bande de \(23\) musiciens complète le carré de côté \(12\), et les douze premières bandes forment ce carré.
$$ 1 + 3 + 5 + \cdots + 23 = 12^2 $$$$ 1 + 3 + 5 + \cdots + 23 = 144 $$ -
Le chef veut une fanfare en carré d'exactement \(1 \ 000\) musiciens. Est-ce possible ? Sinon, combien de musiciens faut-il ajouter, au minimum, pour obtenir un carré complet ?
On cherche les carrés qui encadrent \(1 \ 000\) :
$$ 31^2 = 961 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 32^2 = 1 \ 024 $$\(1 \ 000\) est compris entre deux carrés consécutifs : ce n'est pas un carré, la fanfare de \(1 \ 000\) musiciens est impossible. Le premier carré au-dessus est celui de côté \(32\) :
$$ 1 \ 024 - 1 \ 000 $$$$ 24 \ \text{musiciens} $$ -
Sans poser l'addition, calculer la somme des nombres impairs de \(25\) à \(49\), \(25 + 27 + 29 + \cdots + 47 + 49\).
D'après la question 2, la bande de \(25\) musiciens complète le carré de côté \(13\), car \(13 + 13 - 1 = 25\) ; celle de \(49\) musiciens complète le carré de côté \(25\), car \(25 + 25 - 1 = 49\). Les bandes de \(25\) à \(49\) musiciens forment donc le carré de côté \(25\), privé du carré de côté \(12\) :
$$ 25^2 - 12^2 = 625 - 144 $$$$ 25 + 27 + \cdots + 49 = 481 $$Vérification par un second calcul : la somme compte \(13\) nombres, qui forment six paires de même somme, \(25 + 49 = 27 + 47 = 74\), autour du nombre du milieu, \(37\). On retrouve \(6 \times 74 + 37 = 444 + 37 = 481\).