Problèmes sur les puissances

La cour carrée

La cour d'un collège est un carré de \(35 \text{ m}\) de côté.

1. Calculer son aire.
   $$ \mathcal{A} = 35^2 = 35 \times 35 $$

   $$ \mathcal{A} = 1\,225 \text{ m}^2 $$
2. On souhaite doubler le côté. L'aire est-elle doublée ?
   $$ 70^2 = 4\,900 $$

   $$ 4\,900 = 4 \times 1\,225 $$

   L'aire est multipliée par \(4\), et non par \(2\) : les deux dimensions sont doublées à la fois.

Le cube de rangement

Un cube de rangement a une arête de \(40 \text{ cm}\).

1. Calculer son volume en centimètres cubes.
   $$ V = 40^3 = 40 \times 40 \times 40 $$

   $$ V = 64\,000 \text{ cm}^3 $$
2. Exprimer ce volume en litres.

   Comme \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\) et \(1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\) :

   $$ 64 \text{ L} $$
3. Combien de cubes de \(10 \text{ cm}\) d'arête peut-on y ranger ?
   $$ 10^3 = 1\,000 \text{ cm}^3 $$

   $$ 64\,000 \div 1\,000 $$

   $$ 64 \text{ cubes} $$

   On retrouve ce nombre en raisonnant sur les arêtes : \(4 \times 4 \times 4 = 64\).

Le programme de calcul

Voici un programme : « choisir un nombre, l'élever au carré, multiplier le résultat par \(3\), puis retrancher \(5\) ».

1. Écrire l'expression littérale correspondante, en notant \(x\) le nombre choisi.
   $$ 3x^2 - 5 $$
2. Appliquer le programme à \(4\), puis à \(7\).
   $$ 3 \times 4^2 - 5 = 3 \times 16 - 5 = 43 $$

   $$ 3 \times 7^2 - 5 = 3 \times 49 - 5 = 142 $$
3. Julie affirme que le programme appliqué à \(4\) donne \(139\). Où est son erreur ?

   Elle a calculé \((3 \times 4)^2\) au lieu de \(3 \times 4^2\) :

   $$ 12^2 - 5 = 139 $$

   La puissance ne porte que sur \(x\), pas sur le produit.

Le damier et les grains de riz

Une légende raconte qu'on dépose \(1\) grain de riz sur la première case d'un damier, \(2\) sur la deuxième, \(4\) sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case.

1. Combien de grains sur la quatrième case ? Sur la cinquième ?
   $$ 8 \text{ puis } 16 $$
2. Écrire le nombre de grains de la quatrième case sous forme de puissance.
   $$ 8 = 2^3 $$

   Sur la case numéro \(n\), il y a \(2^{n-1}\) grains.

3. Combien de grains au total sur les quatre premières cases ? Comparer ce total au nombre de grains de la cinquième case.
   $$ 1 + 2 + 4 + 8 = 15 $$

   $$ 15 = 16 - 1 $$

   Chaque case contient un grain de plus que le total de toutes les précédentes.