Problèmes sur les probabilités

Le sac de billes

Un sac contient $5$ billes rouges, $8$ billes vertes et $7$ billes bleues, toutes indiscernables au toucher. On en tire une au hasard.

Combien y a-t-il d'issues possibles ?

$$ 5 + 8 + 7 = 20 $$
Calculer la probabilité de tirer une bille verte, sous forme de fraction puis en pourcentage.

$$ p = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} $$

$$ p = 0.4 = 40 \ \% $$
Calculer la probabilité de ne pas tirer une bille rouge.

Les billes non rouges sont les vertes et les bleues.

$$ p = \frac{8 + 7}{20} = \frac{15}{20} $$

$$ p = 0.75 = 75 \ \% $$

On vérifie que $25 \ \% + 75 \ \% = 100 \ \%$.

On lance un dé équilibré à six faces.

Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.

Les multiples de $3$ sont $3$ et $6$.

$$ p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
Calculer la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à $4$.

Il s'agit de $5$ et $6$.

$$ p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
Le dé vient de donner cinq fois « $6$ » de suite. La probabilité d'obtenir « $6$ » au prochain lancer est-elle modifiée ?

Non. Le dé n'a pas de mémoire : chaque lancer est indépendant des précédents.

$$ p = \frac{1}{6} $$

Une pièce est lancée $200$ fois et donne pile $118$ fois.

Calculer la fréquence observée de « pile ».

$$ f = \frac{118}{200} $$

$$ f = 0.59 = 59 \ \% $$
Comparer cette fréquence à la probabilité théorique d'une pièce équilibrée.

$$ 0.59 > 0.5 $$

L'écart est de $9$ points de pourcentage.
Peut-on en conclure que la pièce est truquée ? Que faudrait-il faire ?

Non : un écart de cette taille reste possible sur $200$ lancers. Pour se prononcer, il faudrait répéter l'expérience un bien plus grand nombre de fois et voir si la fréquence continue de s'écarter de $0.5$.

Une roue est partagée en secteurs de même taille : $4$ secteurs « perdu », $3$ secteurs « rejouer » et $1$ secteur « gagné ».

Calculer la probabilité de chaque issue.

La roue compte $8$ secteurs identiques, il y a donc équiprobabilité.

$$ p(\text{perdu}) = \frac{1}{2} \qquad p(\text{rejouer}) = \frac{3}{8} \qquad p(\text{gagné}) = \frac{1}{8} $$
Vérifier que la somme des trois probabilités vaut $1$.

$$ \frac{4}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} $$

$$ 1 $$
On ajoute un secteur « gagné » sans changer les autres. La probabilité de gagner double-t-elle ?

La roue compte désormais $9$ secteurs, dont $2$ gagnants.

$$ p = \frac{2}{9} \approx 0.22 \qquad \text{contre} \qquad \frac{1}{8} = 0.125 $$

$$ \frac{2}{9} < 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4} $$

Elle augmente sans tout à fait doubler, car le total de secteurs a lui aussi augmenté.