Problèmes sur les statistiques

Le sondage sur les transports

On demande à \(25\) élèves comment ils viennent au collège.

1. Vérifier que l'effectif total est bien \(25\).
   $$ 10 + 5 + 7 + 3 $$

   $$ 25 $$
2. Calculer la fréquence de chaque mode, en pourcentage.
   $$ \frac{10}{25} = 0.4 \hspace{2em} \frac{5}{25} = 0.2 \hspace{2em} \frac{7}{25} = 0.28 \hspace{2em} \frac{3}{25} = 0.12 $$

   $$ 40 \ \% \ ; \ 20 \ \% \ ; \ 28 \ \% \ ; \ 12 \ \% $$

   La somme vaut bien \(100 \ \%\).

3. Calculer l'angle du secteur « en bus » dans un diagramme circulaire.
   $$ \text{angle} = \frac{7}{25} \times 360 = 0.28 \times 360 $$

   $$ \text{angle} = 100.8° $$

Les notes du trimestre

Un élève a obtenu les notes suivantes : \(12\), \(9\), \(15\), \(14\) et \(10\).

1. Calculer sa moyenne.
   $$ m = \frac{12 + 9 + 15 + 14 + 10}{5} = \frac{60}{5} $$

   $$ m = 12 $$
2. Quelle note doit-il obtenir au prochain devoir pour que sa moyenne atteigne \(13\) ?

   Avec six notes, le total devrait valoir :

   $$ 13 \times 6 = 78 $$

   Les cinq premières notes totalisent déjà \(60\) :

   $$ 78 - 60 $$

   $$ 18 $$
3. Sa moyenne pourrait-elle atteindre \(15\) avec ce sixième devoir ? Justifier.
   $$ 15 \times 6 = 90 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 90 - 60 = 30 $$

   Il faudrait une note de \(30\), ce qui est impossible sur \(20\) : la moyenne ne peut pas atteindre \(15\).

Choisir la bonne représentation

Trois séries de données sont proposées : la répartition des \(24\) élèves d'une classe par langue vivante choisie, la température relevée chaque jour pendant un mois, et le nombre de livres empruntés par six classes.

1. Associer à chaque série la représentation la plus adaptée.

   Chaque représentation met en avant une chose différente.

   Répartition par langue : diagramme circulaire, car on veut voir des parts d'un tout.

   Températures : graphique cartésien, car on suit une évolution dans le temps.

   Emprunts par classe : diagramme en barres, car on compare des catégories.

2. Pourquoi un diagramme circulaire conviendrait-il mal aux températures ?

   Un diagramme circulaire représente des parts d'un total, or la somme des températures d'un mois n'a aucun sens. De plus, il ne montrerait pas la chronologie.

Retrouver les données

1. Un diagramme circulaire représente le sport préféré des \(40\) élèves de cinquième. Le secteur « football » mesure \(126°\). Retrouver le nombre d'élèves qui préfèrent le football.

   Le disque entier, \(360°\), représente les \(40\) élèves. La part du football est donc :

   $$ \frac{126}{360} = 0.35 $$

   $$ 0.35 \times 40 $$

   $$ 14 \ \text{élèves} $$

   On vérifie : \(\frac{14}{40} \times 360 = 126\).

2. On change de série : Inès calcule la moyenne des notes \(8\), \(11\), \(14\) et \(15\), et trouve \(16\). Expliquer, sans refaire le calcul, pourquoi elle s'est trompée, puis calculer la bonne moyenne.

   Une moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur. Or \(16\) est plus grand que la note la plus haute, \(15\).

   $$ m = \frac{8 + 11 + 14 + 15}{4} = \frac{48}{4} $$

   $$ m = 12 $$
3. Une autre situation : dans une classe, \(9\) élèves font partie de la chorale, ce qui représente une fréquence de \(30 \ \%\). Combien d'élèves compte la classe ?

   \(30 \ \%\), c'est \(3\) élèves sur \(10\). Les \(9\) choristes forment trois paquets de \(3\), donc la classe compte trois paquets de \(10\) :

   $$ 10 \times 3 $$

   $$ 30 \ \text{élèves} $$

   On vérifie : \(\frac{9}{30} = 0.3 = 30 \ \%\).

Le club de lecture

Pendant les vacances, on a relevé le nombre de livres lus par chacun des membres d'un club de lecture. Le diagramme ci-dessous donne les résultats.

1. Combien le club compte-t-il de membres ?

   On additionne les effectifs lus sur les barres :

   $$ 3 + 5 + 8 + 6 + 2 + 1 $$

   $$ 25 \ \text{membres} $$
2. La présidente du club affirme : « Plus de la moitié de nos membres ont lu au moins trois livres. » A-t-elle raison ? Justifier par un calcul de fréquence.

   Lire au moins trois livres, c'est en lire \(3\), \(4\) ou \(5\) :

   $$ 6 + 2 + 1 = 9 $$

   $$ f = \frac{9}{25} = 0.36 = 36 \ \% $$

   \(36 \ \%\) est moins de la moitié, qui vaut \(50 \ \%\) :

   $$ \text{la présidente se trompe} $$

   La barre la plus haute, celle des deux livres, attire l'œil, mais elle est à gauche de la limite de trois livres.

3. Calculer le nombre moyen de livres lus par membre.

   On compte d'abord le nombre total de livres lus. Par exemple, les \(8\) membres qui ont lu \(2\) livres en ont lu \(8 \times 2 = 16\) à eux tous :

   $$ 0 \times 3 + 1 \times 5 + 2 \times 8 + 3 \times 6 + 4 \times 2 + 5 \times 1 $$

   $$ 0 + 5 + 16 + 18 + 8 + 5 = 52 $$

   On partage ces \(52\) livres entre les \(25\) membres :

   $$ m = \frac{52}{25} $$

   $$ m = 2.08 \ \text{livres} $$

L'école de musique

Ce diagramme circulaire répartit les élèves d'une école de musique selon leur instrument ; chacun n'en pratique qu'un. L'école compte \(14\) pianistes de plus que de violonistes.

1. Retrouver le nombre d'élèves de l'école, puis l'effectif de chaque instrument.

   Les secteurs du piano et du violon diffèrent de \(132 - 48 = 84\) degrés, et cet écart représente \(14\) élèves. Les angles sont proportionnels aux effectifs, donc un élève compte pour :

   $$ 84 \div 14 = 6° $$

   Le disque entier, \(360°\), représente tous les élèves :

   $$ 360 \div 6 = 60 $$

   $$ 60 \ \text{élèves} $$

   Chaque effectif est l'angle de son secteur divisé par \(6\) :

   $$ 132 \div 6 = 22 \hspace{2em} 108 \div 6 = 18 \hspace{2em} 72 \div 6 = 12 \hspace{2em} 48 \div 6 = 8 $$

   $$ 22 \ \text{pianistes} \ ; \ 18 \ \text{guitaristes} \ ; \ 12 \ \text{batteurs} \ ; \ 8 \ \text{violonistes} $$

   Vérification : \(22 + 18 + 12 + 8 = 60\), et \(22 - 8 = 14\).

2. À la rentrée, seuls de nouveaux violonistes s'inscrivent. Combien en faut-il pour que le secteur du violon mesure \(120°\) ?

   Les \(60 - 8 = 52\) autres élèves ne changent pas. Un secteur de \(120°\) est le tiers du disque : les violonistes doivent être le tiers des élèves, et les \(52\) autres les deux tiers. Il faut donc un violoniste pour deux autres élèves :

   $$ 52 \div 2 = 26 \ \text{violonistes} \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 26 - 8 = 18 $$

   $$ 18 \ \text{nouveaux violonistes} $$

   Vérification : \(26\) violonistes sur \(78\) élèves, et \(\frac{26}{78} \times 360 = \frac{1}{3} \times 360 = 120°\).

3. Combien faut-il de nouveaux violonistes, au minimum, pour que le secteur du violon mesure au moins \(90°\) ? Peut-il mesurer exactement \(90°\) ?

   Un secteur de \(90°\) est le quart du disque : les violonistes forment le quart des élèves quand les \(52\) autres en forment les trois quarts, c'est-à-dire quand il y a un violoniste pour trois autres élèves.

   $$ 52 \div 3 \approx 17.3 $$

   Exactement \(90°\) : il faudrait \(52 \div 3\) violonistes, et ce n'est pas un nombre entier, puisque \(52 = 3 \times 17 + 1\).

   $$ \text{un secteur de } 90° \text{ exactement est impossible} $$

   Au moins \(90°\) : plus il y a de violonistes, plus leur part grandit. Il en faut au moins \(52 \div 3\), un nombre compris entre \(17\) et \(18\) : il faut donc au moins \(18\) violonistes.

   $$ 18 - 8 = 10 $$

   $$ 10 \ \text{nouveaux violonistes au minimum} $$

   Vérification : avec \(17\) violonistes sur \(69\) élèves, \(\frac{17}{69} \times 360 \approx 88.7°\) ; avec \(18\) sur \(70\), \(\frac{18}{70} \times 360 \approx 92.6°\).

Deux équipes de basket

Voici la taille, en centimètres, des joueurs des deux équipes de basket d'un club.

1. Calculer la taille moyenne de chaque équipe. Pour obtenir celle des onze joueurs réunis, l'entraîneur fait la moyenne de ces deux moyennes : a-t-il raison ?
   $$ m_{\text{Aigles}} = \frac{168 + 172 + 175 + 180 + 185}{5} = \frac{880}{5} $$

   $$ m_{\text{Loups}} = \frac{152 + 158 + 160 + 163 + 173 + 178}{6} = \frac{984}{6} $$

   $$ m_{\text{Aigles}} = 176 \ \text{cm} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} m_{\text{Loups}} = 164 \ \text{cm} $$

   La moyenne des deux moyennes vaut \(170 \ \text{cm}\). Mais les onze joueurs mesurent ensemble \(880 + 984 = 1 \ 864 \ \text{cm}\) :

   $$ m = \frac{1 \ 864}{11} \approx 169.5 \ \text{cm} $$

   $$ \text{l'entraîneur se trompe} $$

   Les Loups, plus nombreux, comptent davantage dans la moyenne des onze joueurs.

2. Le joueur de \(172 \ \text{cm}\) passe des Aigles aux Loups. Calculer les nouvelles moyennes des deux équipes. Que remarquer ?
   $$ m_{\text{Aigles}} = \frac{880 - 172}{4} = \frac{708}{4} = 177 \ \text{cm} $$

   $$ m_{\text{Loups}} = \frac{984 + 172}{7} = \frac{1 \ 156}{7} \approx 165.1 \ \text{cm} $$

   $$ \text{les deux moyennes augmentent} $$

   Moins grand que la moyenne des Aigles, il fait monter leur moyenne en partant ; plus grand que la moyenne des Loups, il fait monter la leur en arrivant.

3. Trouver tous les joueurs dont le transfert, seul, d'une équipe vers l'autre, fait augmenter les deux moyennes, et prouver qu'il n'y en a pas d'autre.

   Un Aigle rejoint les Loups : les quatre Aigles restants ont une moyenne supérieure à \(176\) si leur total dépasse \(4 \times 176 = 704\). Or ce total vaut \(880\) moins la taille du partant : celui-ci doit mesurer moins de \(880 - 704 = 176 \ \text{cm}\).

   Les sept Loups ont une moyenne supérieure à \(164\) si leur total dépasse \(7 \times 164 = 1 \ 148\). Or ce total vaut \(984\) plus la taille de l'arrivant : celui-ci doit mesurer plus de \(1 \ 148 - 984 = 164 \ \text{cm}\).

   Il faut donc un Aigle de plus de \(164 \ \text{cm}\) et de moins de \(176 \ \text{cm}\).

   Un Loup rejoint les Aigles : de la même façon, les cinq Loups restants dépassent \(164\) de moyenne si leur total dépasse \(5 \times 164 = 820\) : le partant doit mesurer moins de \(984 - 820 = 164 \ \text{cm}\). Les six Aigles dépassent \(176\) si leur total dépasse \(6 \times 176 = 1 \ 056\) : l'arrivant doit mesurer plus de \(1 \ 056 - 880 = 176 \ \text{cm}\). Aucun joueur ne peut mesurer à la fois moins de \(164 \ \text{cm}\) et plus de \(176 \ \text{cm}\).

   $$ \text{les Aigles de } 168 \ \text{cm} \ ; \ 172 \ \text{cm} \quad \text{et} \quad 175 \ \text{cm} $$

   Sur la droite graduée, ce sont les trois joueurs placés entre les deux moyennes.

4. Le club préfère un échange : un Aigle contre un Loup. Un tel échange peut-il faire augmenter les deux moyennes ? Justifier.

   Après un échange, chaque équipe garde son nombre de joueurs : sa moyenne augmente exactement quand son total augmente. Notons \(a\) la taille de l'Aigle et \(\ell\) celle du Loup.

   Le total des Aigles perd \(a\) et gagne \(\ell\) : il augmente si \(\ell > a\). Le total des Loups perd \(\ell\) et gagne \(a\) : il augmente si \(a > \ell\). Les deux ne peuvent pas être vrais à la fois.

   $$ \text{Non, un échange n'y parvient jamais} $$

   Au mieux, l'une des moyennes monte pendant que l'autre descend ; avec deux joueurs de même taille, rien ne bouge.