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Dépendre d'une grandeur
Dire qu'une grandeur dépend d'une autre, c'est dire que la seconde détermine la première : à chaque valeur de l'une correspond une valeur de l'autre, et une seule.
On dit alors que la première grandeur est donnée « en fonction de » la seconde.
Exemple : le prix payé à la pompe dépend du volume d'essence. On dit que le prix est fonction du volume.
La grandeur dont on part est la variable ; celle que l'on obtient est le résultat.
Trois manières de décrire une dépendance
Une même situation se décrit par une formule, un tableau de valeurs ou un graphique. Chacune éclaire un aspect différent.
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La formule
Elle donne le calcul à effectuer et permet de traiter n'importe quelle valeur.
$$ P = 1.8 \times V $$ -
Le tableau de valeurs
Il donne quelques résultats exacts, lisibles immédiatement.
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Le graphique
Il montre l'allure générale : croissance, décroissance, valeurs extrêmes.
Construire un tableau de valeurs
On choisit des valeurs de la variable, puis on applique la formule à chacune.
Exemple : pour \(P = 1.8 \times V\), où \(V\) est un volume en litres et \(P\) un prix en euros.
Volume en L |
\(0\) |
\(10\) |
\(20\) |
\(30\) |
|---|---|---|---|---|
Prix en € |
\(0\) |
\(18\) |
\(36\) |
\(54\) |
Ce tableau est un tableau de proportionnalité : le prix s'obtient toujours en multipliant le volume par \(1.8\).
Placer les points dans un repère
Chaque colonne du tableau donne un point : la valeur de la variable en abscisse , le résultat en ordonnée .
Exemple : la colonne \(20\) et \(36\) donne le point de coordonnées \((20 \ ; \ 36)\).
Il faut choisir les unités des deux axes pour que tous les points tiennent sur la figure : elles n'ont aucune raison d'être identiques.
Lire un graphique
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Lire un résultat
On part de la valeur en abscisse, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée en se déplaçant horizontalement.
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Retrouver une variable
On fait le chemin inverse : on part de l'ordonnée et on redescend vers l'axe des abscisses.
Une lecture graphique donne une valeur approchée. Lorsqu'on dispose de la formule, c'est elle qui donne le résultat exact.
Reconnaître la proportionnalité sur un graphique
Les points d'une situation de proportionnalité sont alignés et leur alignement passe par l'origine du repère.
Exemple : le prix de l'essence donne des points alignés passant par \((0 \ ; \ 0)\), puisque zéro litre coûte zéro euro.
En revanche, un abonnement de \(5 \text{ €}\) majoré de \(2 \text{ €}\) par séance donne des points alignés, mais la droite coupe l'axe des ordonnées en \(5\) : la situation n'est pas proportionnelle.
Produire une formule
Traduire un énoncé par une formule, c'est nommer la variable puis écrire le calcul.
Exemple : un taxi facture \(4 \text{ €}\) de prise en charge, puis \(1.2 \text{ €}\) par kilomètre. En notant \(d\) la distance en kilomètres :
La formule permet ensuite de calculer n'importe quel prix, de construire le tableau, puis le graphique.