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Problèmes sur les fonctions

Un abonnement au cinéma, un carré qui grandit, deux cuves qui se vident : une formule relie deux grandeurs, le tableau et le graphique la montrent.

L'abonnement au cinéma

Un cinéma propose une carte à \(15 \ \text{€}\), puis chaque séance coûte \(5 \ \text{€}\).

  1. Calculer le prix payé pour \(3\) séances, puis pour \(7\) séances.
    $$ 15 + 5 \times 3 = 15 + 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 15 + 5 \times 7 = 15 + 35 $$
    $$ 30 \ \text{€} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 50 \ \text{€} $$
  2. Écrire le prix \(P\) en fonction du nombre \(n\) de séances.
    $$ P = 15 + 5n $$
  3. Le prix est-il proportionnel au nombre de séances ? Justifier.
    $$ \frac{30}{3} = 10 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{50}{7} \approx 7.1 $$

    Les quotients diffèrent, donc la situation n'est pas proportionnelle. Graphiquement, les points ne seraient pas alignés avec l'origine : pour zéro séance, on paye déjà \(15 \ \text{€}\).

Deux formules d'abonnement

Un second cinéma ne propose pas de carte : chaque séance y coûte \(9 \ \text{€}\).

  1. Écrire le prix \(Q\) en fonction du nombre \(n\) de séances, et dire si la situation est proportionnelle.
    $$ Q = 9n $$

    Cette fois la situation est proportionnelle : le prix s'obtient toujours en multipliant le nombre de séances par \(9\), et zéro séance coûte zéro euro.

  2. Compléter un tableau de valeurs pour \(n = 0\), \(2\), \(4\), \(6\) et \(8\), pour les deux formules.
    Séances
    \(0\)
    \(2\)
    \(4\)
    \(6\)
    \(8\)
    Avec carte
    \(15\)
    \(25\)
    \(35\)
    \(45\)
    \(55\)
    Sans carte
    \(0\)
    \(18\)
    \(36\)
    \(54\)
    \(72\)
    Prix payé selon la formule
  3. À partir de combien de séances la carte devient-elle avantageuse ?

    Le tableau montre que la carte est plus chère pour \(2\) séances, mais moins chère pour \(4\) séances. Il reste à tester \(3\) séances :

    $$ P = 15 + 5 \times 3 = 30 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} Q = 9 \times 3 = 27 $$

    Pour \(3\) séances, la carte est encore plus chère.

    $$ \text{la carte est avantageuse à partir de } 4 \ \text{séances} $$

Le carré qui grandit

On s'intéresse au périmètre et à l'aire d'un carré, en fonction de la longueur \(c\) de son côté.

  1. Écrire les deux formules.
    $$ \mathcal{P} = 4c \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \mathcal{A} = c^2 $$
  2. Compléter un tableau pour \(c = 1\), \(2\), \(3\) et \(4\).
    Côté
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    Périmètre
    \(4\)
    \(8\)
    \(12\)
    \(16\)
    Aire
    \(1\)
    \(4\)
    \(9\)
    \(16\)
    Périmètre et aire d'un carré
  3. Laquelle des deux grandeurs est proportionnelle au côté ? Justifier par les quotients, puis graphiquement.
    $$ \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = \frac{16}{4} = 4 $$
    $$ \text{le périmètre est proportionnel au côté} $$

    Pour l'aire, les quotients valent \(1\), \(2\), \(3\) puis \(4\) : ils changent. Les points du périmètre sont alignés avec l'origine, ceux de l'aire dessinent une courbe qui s'incurve vers le haut.

Lire le graphique à l'envers

Un loueur de vélos affiche le graphique suivant, qui donne le prix de la location en fonction de sa durée, en heures entières.

Graphique du prix de location en fonction de la durée : neuf points alignés, de trois euros pour zéro heure à dix-neuf euros pour huit heures
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
\(2\)
\(4\)
\(6\)
\(8\)
\(10\)
\(12\)
\(14\)
\(16\)
\(18\)
\(20\)
 prix (€) durée (h)
  1. Léa a payé \(15 \ \text{€}\). Lire sur le graphique la durée de sa location.

    On part de \(15\) sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement jusqu'au point, puis on redescend vers l'axe des abscisses.

    $$ 6 \ \text{h} $$
  2. Tom affirme : « Les points sont alignés, donc le prix est proportionnel à la durée. » Expliquer son erreur.

    Pour être proportionnels, les points doivent être alignés et leur alignement doit passer par l'origine. Ici, le point d'abscisse \(0\) a pour ordonnée \(3\) : pour zéro heure, on paye déjà \(3 \ \text{€}\).

    $$ \frac{5}{1} = 5 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} \frac{7}{2} = 3.5 $$
    $$ \text{le prix n'est pas proportionnel à la durée} $$
  3. Retrouver la formule qui donne le prix \(P\), en euros, en fonction de la durée \(h\), en heures.

    Le prix de départ vaut \(3 \ \text{€}\), et chaque heure supplémentaire fait monter le prix de \(2 \ \text{€}\) :

    $$ P = 3 + 2 \times h $$

    On vérifie avec la location de Léa : \(3 + 2 \times 6 = 15\).

Deux cuves qui se vident

On ouvre en même temps les robinets de deux cuves pleines. La cuve A contient \(600 \ \text{L}\) et perd \(40 \ \text{L}\) par minute ; la cuve B contient \(450 \ \text{L}\) et perd \(25 \ \text{L}\) par minute. On note \(t\) le temps écoulé, en minutes.

Deux cuves qui se vident : la cuve A contient six cents litres et perd quarante litres par minute, la cuve B contient quatre cent cinquante litres et perd vingt-cinq litres par minute cuve A
\(600 \ \text{L}\)
\(- 40 \ \text{L}\) par minute
 cuve B
\(450 \ \text{L}\)
\(- 25 \ \text{L}\) par minute
  1. Écrire le volume \(V_A\) restant dans la cuve A en fonction de \(t\), puis le volume \(V_B\) restant dans la cuve B.

    Chaque minute retire le même volume au volume de départ :

    $$ V_A = 600 - 40t \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} V_B = 450 - 25t $$
  2. Compléter un tableau de valeurs de \(V_A\) et de \(V_B\) pour \(t = 0\), \(5\), \(10\) et \(15\).
    Temps (min)
    \(0\)
    \(5\)
    \(10\)
    \(15\)
    Cuve A (L)
    \(600\)
    \(400\)
    \(200\)
    \(0\)
    Cuve B (L)
    \(450\)
    \(325\)
    \(200\)
    \(75\)
    Volume restant dans chaque cuve
  3. Quelle cuve sera vide la première ? Justifier.

    La cuve A contient plus d'eau, mais elle se vide plus vite. On cherche combien de minutes il faut à chacune :

    $$ 600 = 40 \times 15 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 450 = 25 \times 18 $$

    La cuve A est vide au bout de \(15\) minutes, la cuve B au bout de \(18\) minutes.

    $$ \text{la cuve A est vide la première} $$
  4. Existe-t-il un instant où les deux cuves contiennent le même volume d'eau ? Si oui, donner cet instant et ce volume.

    Au départ, la cuve A contient \(150 \ \text{L}\) de plus que la cuve B. Chaque minute, elle perd \(40 - 25 = 15 \ \text{L}\) de plus que la cuve B : l'écart se réduit de \(15 \ \text{L}\) par minute.

    $$ 150 = 15 \times 10 $$

    L'écart est donc nul au bout de \(10\) minutes, ce que confirme le tableau.

    $$ t = 10 \ \text{min} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} V_A = V_B = 200 \ \text{L} $$

L'enclos des poules

Nour construit un enclos rectangulaire contre le mur du poulailler, avec tous ses panneaux de grillage de \(1 \ \text{m}\), sans les couper. Le mur ferme un côté, le grillage les trois autres. On note \(x\) la largeur de l'enclos, en mètres.

Vu de dessus, l'enclos rectangulaire est adossé au mur du poulailler ; le grillage forme les trois autres côtés, dont les deux largeurs x mur du poulailler
\(x\)
\(x\)
 grillage

Le graphique donne l'aire de l'enclos en fonction de sa largeur, pour tous les enclos que Nour peut construire.

Graphique de l'aire de l'enclos en fonction de sa largeur : onze points, pour les largeurs de un à onze mètres ; l'aire monte de vingt-deux à soixante-douze mètres carrés, atteint pour six mètres, puis redescend à vingt-deux
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
\(9\)
\(10\)
\(11\)
\(12\)
\(10\)
\(20\)
\(30\)
\(40\)
\(50\)
\(60\)
\(70\)
\(80\)
 aire (m²) largeur (m)
  1. Lire l'aire de l'enclos de \(2 \ \text{m}\) de largeur. En déduire sa longueur, puis le nombre de panneaux de Nour.

    Au point d'abscisse \(2\), on lit l'ordonnée \(40\) : l'aire vaut \(40 \ \text{m}^2\). La longueur, multipliée par la largeur \(2\), donne \(40\) :

    $$ 40 \div 2 = 20 \ \text{m} $$

    Le grillage couvre les deux largeurs et la longueur :

    $$ 2 + 20 + 2 $$
    $$ 24 \ \text{panneaux} $$

    Vérification sur un autre point : pour \(x = 5\), on lit \(70 \ \text{m}^2\), d'où une longueur de \(70 \div 5 = 14 \ \text{m}\), et \(5 + 14 + 5 = 24\).

  2. Écrire l'aire \(A\) en fonction de \(x\). Quelles largeurs donnent un enclos de \(64 \ \text{m}^2\) ?

    Les deux largeurs utilisent \(2x\) panneaux ; il en reste \(24 - 2x\) pour la longueur :

    $$ A = x \times (24 - 2x) $$

    Sur le graphique, deux points ont pour ordonnée \(64\) : ceux d'abscisses \(4\) et \(8\). La formule le confirme :

    $$ 4 \times (24 - 8) = 4 \times 16 = 64 \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 8 \times (24 - 16) = 8 \times 8 = 64 $$
    $$ x = 4 \ \text{m} \quad \text{ou} \quad x = 8 \ \text{m} $$
  3. Quel est le plus grand enclos que Nour peut construire ? Prouver qu'il n'y en a pas de plus grand.

    Les panneaux ne se coupent pas : la largeur est un nombre entier de mètres, et il reste au moins un panneau pour la longueur, donc \(x\) va de \(1\) à \(11\). Le graphique montre ces onze enclos, tous ; le point le plus haut est celui d'abscisse \(6\) :

    $$ 6 \times (24 - 12) = 6 \times 12 = 72 $$
    $$ 6 \ \text{m} \times 12 \ \text{m} = 72 \ \text{m}^2 $$

    Ses deux voisins, \(5 \times 14\) et \(7 \times 10\), n'atteignent que \(70 \ \text{m}^2\), et les autres enclos moins encore.

  4. On change de nombre de panneaux. Paul affirme : « Le plus grand enclos a toujours une longueur égale au double de sa largeur. » Tester cette affirmation avec \(25\) panneaux, puis avec \(26\) panneaux.

    Avec \(25\) panneaux : la longueur vaut \(25 - 2x\), pour \(x\) de \(1\) à \(12\).

    Largeur (m)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(6\)
    \(7\)
    \(8\)
    \(9\)
    \(10\)
    \(11\)
    \(12\)
    Longueur (m)
    \(23\)
    \(21\)
    \(19\)
    \(17\)
    \(15\)
    \(13\)
    \(11\)
    \(9\)
    \(7\)
    \(5\)
    \(3\)
    \(1\)
    Aire (m²)
    \(23\)
    \(42\)
    \(57\)
    \(68\)
    \(75\)
    \(78\)
    \(77\)
    \(72\)
    \(63\)
    \(50\)
    \(33\)
    \(12\)
    Les enclos possibles avec \(25\) panneaux

    Le plus grand enclos mesure \(6 \ \text{m}\) sur \(13 \ \text{m}\), pour \(78 \ \text{m}^2\) ; or \(13\) n'est pas le double de \(6\).

    Avec \(26\) panneaux : la longueur vaut \(26 - 2x\), pour \(x\) de \(1\) à \(12\).

    Largeur (m)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(6\)
    \(7\)
    \(8\)
    \(9\)
    \(10\)
    \(11\)
    \(12\)
    Longueur (m)
    \(24\)
    \(22\)
    \(20\)
    \(18\)
    \(16\)
    \(14\)
    \(12\)
    \(10\)
    \(8\)
    \(6\)
    \(4\)
    \(2\)
    Aire (m²)
    \(24\)
    \(44\)
    \(60\)
    \(72\)
    \(80\)
    \(84\)
    \(84\)
    \(80\)
    \(72\)
    \(60\)
    \(44\)
    \(24\)
    Les enclos possibles avec \(26\) panneaux

    Deux enclos sont les plus grands, \(6 \ \text{m}\) sur \(14 \ \text{m}\) et \(7 \ \text{m}\) sur \(12 \ \text{m}\), avec \(84 \ \text{m}^2\) chacun ; aucun n'a une longueur double de sa largeur.

    $$ \text{Paul a tort} $$

    Avec \(24\) panneaux, l'affirmation se vérifiait, car \(12 = 2 \times 6\) ; mais un seul contre-exemple suffit à la réfuter.

Les poignées de main

À une réunion, chaque personne serre une fois la main de chacune des autres. Sur la figure, chaque point est une personne et chaque trait une poignée de main.

Cinq personnes représentées par cinq points ; chaque trait relie deux personnes qui se serrent la main, et chaque personne est reliée à toutes les autres
  1. Combien de poignées de main ces \(5\) personnes échangent-elles ? Une sixième personne arrive et salue tout le monde : combien y en a-t-il alors ?

    On compte les traits sans en oublier : le premier point est relié aux \(4\) autres, le deuxième à \(3\) nouveaux points, le troisième à \(2\), le quatrième à \(1\).

    $$ 4 + 3 + 2 + 1 $$
    $$ 10 \ \text{poignées de main} $$

    La sixième personne serre les \(5\) mains déjà présentes :

    $$ 10 + 5 $$
    $$ 15 \ \text{poignées de main} $$
  2. Construire le tableau du nombre de poignées de main en fonction du nombre \(n\) de personnes, pour \(n\) de \(1\) à \(8\), et placer les points dans le repère. Ce nombre est-il proportionnel au nombre de personnes ?
    Un repère vierge : le nombre de personnes en abscisse, de zéro à neuf, le nombre de poignées de main en ordonnée, de zéro à trente
    \(0\)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(6\)
    \(7\)
    \(8\)
    \(9\)
    \(5\)
    \(10\)
    \(15\)
    \(20\)
    \(25\)
    \(30\)
     poignées de main personnes
    à compléter : un point par nombre de personnes

    Chaque nouvelle personne serre la main de toutes celles déjà présentes : on ajoute \(1\), puis \(2\), puis \(3\), et ainsi de suite.

    Personnes
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(6\)
    \(7\)
    \(8\)
    Poignées de main
    \(0\)
    \(1\)
    \(3\)
    \(6\)
    \(10\)
    \(15\)
    \(21\)
    \(28\)
    Poignées de main selon le nombre de personnes
    Nuage de points du nombre de poignées de main en fonction du nombre de personnes, de une à huit personnes : zéro, un, trois, six, dix, quinze, vingt et une, vingt-huit ; les points s'incurvent vers le haut
    \(0\)
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    \(5\)
    \(6\)
    \(7\)
    \(8\)
    \(9\)
    \(5\)
    \(10\)
    \(15\)
    \(20\)
    \(25\)
    \(30\)
     poignées de main personnes

    Les quotients ne sont pas égaux, \(\frac{1}{2} = 0.5\) mais \(\frac{3}{3} = 1\), et les points ne sont pas alignés : ils s'incurvent vers le haut.

    $$ \text{pas de proportionnalité} $$
  3. Écrire le nombre \(P\) de poignées de main en fonction de \(n\), puis calculer ce nombre pour une classe de \(28\) élèves.

    Chacune des \(n\) personnes serre \(n - 1\) mains, soit \(n \times (n - 1)\) mains serrées en tout. Mais chaque poignée de main réunit deux personnes : elle est comptée deux fois.

    $$ P = n \times (n - 1) \div 2 $$

    Vérification sur le tableau : \(8 \times 7 \div 2 = 28\). Pour la classe :

    $$ P = 28 \times 27 \div 2 = 756 \div 2 $$
    $$ 378 \ \text{poignées de main} $$
  4. Un soir, on a compté \(190\) poignées de main. Combien de personnes étaient présentes ? Prouver qu'il n'y a pas d'autre réponse.

    D'après la formule, \(n \times (n - 1) = 190 \times 2 = 380\) : on cherche deux nombres entiers qui se suivent et dont le produit vaut \(380\). Comme \(20^2 = 400\) est proche de \(380\), on essaie :

    $$ 20 \times 19 = 380 $$
    $$ 20 \ \text{personnes} $$

    Quand \(n\) augmente, les deux facteurs \(n\) et \(n - 1\) augmentent, donc leur produit aussi. Pour \(19\) personnes, \(19 \times 18 = 342\) est trop petit ; pour \(21\) personnes, \(21 \times 20 = 420\) est déjà trop grand : il n'y a pas d'autre réponse.

    Vérification : \(20 \times 19 \div 2 = 190\).