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Problèmes sur les fonctions

L'abonnement au cinéma

Un cinéma propose une carte à \(15 \text{ €}\), puis chaque séance coûte \(5 \text{ €}\).

  1. Calculer le prix payé pour \(3\) séances, puis pour \(7\) séances.
    $$ 15 + 5 \times 3 = 30 \qquad \text{et} \qquad 15 + 5 \times 7 = 50 $$
    $$ 30 \text{ €} \qquad \text{et} \qquad 50 \text{ €} $$
  2. Écrire le prix \(P\) en fonction du nombre \(n\) de séances.
    $$ P = 15 + 5n $$
  3. Le prix est-il proportionnel au nombre de séances ? Justifier.
    $$ \frac{30}{3} = 10 \qquad \text{et} \qquad \frac{50}{7} \approx 7.1 $$

    Les quotients diffèrent, donc la situation n'est pas proportionnelle. Graphiquement, la droite ne passe pas par l'origine : pour zéro séance, on paye déjà \(15 \text{ €}\).

Deux formules d'abonnement

Un second cinéma ne propose pas de carte : chaque séance y coûte \(9 \text{ €}\).

  1. Écrire le prix \(Q\) en fonction du nombre \(n\) de séances, et dire si la situation est proportionnelle.
    $$ Q = 9n $$

    Cette fois la situation est proportionnelle : zéro séance coûte zéro euro, et la droite passe par l'origine.

  2. Compléter un tableau de valeurs pour \(n = 0\), \(2\), \(4\), \(6\) et \(8\), pour les deux formules.
    Séances
    \(0\)
    \(2\)
    \(4\)
    \(6\)
    \(8\)
    Avec carte
    \(15\)
    \(25\)
    \(35\)
    \(45\)
    \(55\)
    Sans carte
    \(0\)
    \(18\)
    \(36\)
    \(54\)
    \(72\)
    Prix payé selon la formule
  3. À partir de combien de séances la carte devient-elle avantageuse ?

    Le tableau montre que la carte est plus chère pour \(2\) séances, mais moins chère dès \(4\) séances. On cherche l'égalité :

    $$ 15 + 5n = 9n \qquad \longrightarrow \qquad 15 = 4n $$
    $$ n = 3.75 $$

    La carte devient donc avantageuse à partir de la quatrième séance.

Le carré qui grandit

On s'intéresse au périmètre et à l'aire d'un carré, en fonction de la longueur \(c\) de son côté.

  1. Écrire les deux formules.
    $$ \mathcal{P} = 4c \qquad \text{et} \qquad \mathcal{A} = c^2 $$
  2. Compléter un tableau pour \(c = 1\), \(2\), \(3\) et \(4\).
    Côté
    \(1\)
    \(2\)
    \(3\)
    \(4\)
    Périmètre
    \(4\)
    \(8\)
    \(12\)
    \(16\)
    Aire
    \(1\)
    \(4\)
    \(9\)
    \(16\)
    Périmètre et aire d'un carré
  3. Laquelle des deux grandeurs est proportionnelle au côté ? Justifier par les quotients, puis graphiquement.
    $$ \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = \frac{16}{4} = 4 $$
    $$ \text{le périmètre est proportionnel au côté} $$

    Pour l'aire, les quotients valent \(1\), \(2\), \(3\) puis \(4\) : ils changent. Les points du périmètre sont alignés avec l'origine, ceux de l'aire dessinent une courbe qui s'incurve vers le haut.