La proportionnalité en cinquième

Reconnaître deux grandeurs proportionnelles, puis s'en servir pour calculer un prix, un pourcentage, une vitesse ou une échelle.

Reconnaître un tableau de proportionnalité
Calculer une valeur manquante par le coefficient, le retour à l'unité ou la linéarité
Reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique
Appliquer un pourcentage à une quantité
Utiliser une vitesse moyenne ou une échelle

À la pompe, le litre de carburant est à $1.80 \ \text{€}$. Trente litres coûtent $54 \ \text{€}$, quarante litres $72 \ \text{€}$.

Le prix change, le prix du litre non.

Un même coefficient fait passer d'une ligne à l'autre, dans toutes les colonnes.

Une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant par le même nombre.

Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Exemple : à $3 \text{ €}$ le kilogramme de tomates, le prix est proportionnel à la masse, de coefficient $3$.

Masse en kg	$1$	$3$	$4.3$
Prix en €	$3$	$9$	$12.9$

Masse et prix des tomates

Toutes les situations ne sont pas proportionnelles : un enfant de $10$ ans ne mesure pas le double d'un enfant de $5$ ans.

Un tableau est de proportionnalité lorsque le quotient de chaque valeur de la seconde ligne par celle de la première est le même partout.

$$ \frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{12.9}{4.3} = 3 $$

Un seul quotient différent suffit : la situation n'est pas proportionnelle.

Le coefficient

On multiplie par le coefficient pour passer d'une ligne à l'autre, on divise pour revenir.
Le retour à l'unité

On calcule d'abord la valeur pour $1$, puis on multiplie.
La linéarité

La valeur pour $6$ est la somme des valeurs pour $2$ et pour $4$ ; la valeur pour $8$ est le double de celle pour $4$.

Exemple : une recette pour $4$ personnes demande $300 \text{ g}$ de farine. Pour $6$ personnes, on additionne les quantités pour $4$ et pour $2$.

$$ 300 + 150 $$

$$ 450 \text{ g} $$

Les points d'une situation de proportionnalité sont alignés avec l'origine du repère.

Des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine ne traduisent pas la proportionnalité.

Prendre $t \Bigl[ \% \Bigr]$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\frac{t}{100}$.

$$ t \Bigl[ \% \Bigr] \ \text{de} \ N = \frac{t}{100} \times N $$

Exemple : $15 \ \%$ de $80 \text{ €}$ :

$$ \frac{15}{100} \times 80 = 0.15 \times 80 $$

$$ 12 \text{ €} $$

Quelques pourcentages se calculent de tête : $50 \ \%$ est la moitié, $25 \ \%$ le quart, $10 \ \%$ le dixième, $1 \ \%$ le centième.

Deux coefficients de proportionnalité reviennent souvent.

$$ v = \frac{d}{t} $$

Exemple : $150 \text{ km}$ parcourus en $2 \text{ h}$ donnent une vitesse moyenne de $75 \text{ km/h}$.

$$ \text{échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}} $$

À l'échelle $\frac{1}{25\,000}$, un centimètre sur la carte représente $25\,000 \text{ cm}$, soit $250 \text{ m}$ dans la réalité.

Les deux distances s'expriment dans la même unité.