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La proportionnalité

Une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.

Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Exemple : si le kilogramme de tomates coûte \(3 \text{ €}\), le prix est proportionnel à la masse, et le coefficient vaut \(3\).

Masse en kg
\(1\)
\(3\)
\(4.3\)
Prix en €
\(3\)
\(9\)
\(12.9\)
Masse et prix des tomates

Toutes les situations ne sont pas proportionnelles. L'âge d'une personne et sa taille ne le sont pas : un enfant de \(10\) ans ne mesure pas le double d'un enfant de \(5\) ans.

Reconnaître un tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsque le quotient de chaque valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première est le même partout.

$$ \frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{12.9}{4.3} = 3 $$

Un seul quotient différent suffit à conclure que la situation n'est pas proportionnelle.

Les procédures de calcul

  1. Le coefficient

    On multiplie par le coefficient pour passer d'une ligne à l'autre, on divise pour revenir.

  2. Le retour à l'unité

    On calcule d'abord la valeur pour \(1\), puis on multiplie.

  3. La linéarité

    La valeur pour \(6\) est la somme des valeurs pour \(2\) et pour \(4\) ; la valeur pour \(8\) est le double de celle pour \(4\).

Exemple : une recette prévue pour \(4\) personnes demande \(300 \text{ g}\) de farine. Pour \(6\) personnes, on additionne les quantités pour \(4\) et pour \(2\).

$$ 300 + 150 $$
$$ 450 \text{ g} $$

Le graphique d'une situation de proportionnalité

Les points d'une situation de proportionnalité sont alignés avec l'origine du repère. C'est la signature graphique de la proportionnalité.

Points alignés avec l'origine
Les points sont alignés et la droite passe par l'origine

Les deux conditions comptent. Des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine ne traduisent pas une situation de proportionnalité.

Les pourcentages

Prendre \(t \Bigl[ \% \Bigr]\) d'une quantité, c'est la multiplier par \(\frac{t}{100}\).

$$ t \Bigl[ \% \Bigr] \ \text{de} \ N = \frac{t}{100} \times N $$

Exemple : \(15 \ \%\) de \(80 \text{ €}\) :

$$ \frac{15}{100} \times 80 = 0.15 \times 80 $$
$$ 12 \text{ €} $$

Quelques pourcentages se calculent de tête : \(50 \ \%\) est la moitié, \(25 \ \%\) le quart, \(10 \ \%\) le dixième, \(1 \ \%\) le centième.

Vitesse moyenne et échelle

Deux coefficients de proportionnalité reviennent souvent.

$$ v = \frac{d}{t} $$

Exemple : \(150 \text{ km}\) parcourus en \(2 \text{ h}\) donnent une vitesse moyenne de \(75 \text{ km/h}\).

$$ \text{échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}} $$

À l'échelle \(\frac{1}{25\,000}\), un centimètre sur la carte représente \(25\,000 \text{ cm}\), soit \(250 \text{ m}\), dans la réalité.

Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant de former le quotient.