Problèmes sur la proportionnalité

La recette de crêpes

Une recette prévue pour \(4\) personnes demande \(250 \text{ g}\) de farine, \(3\) œufs et \(50 \text{ cL}\) de lait.

1. Quelles quantités faut-il pour \(8\) personnes ?

   On double tout, puisque \(8\) est le double de \(4\).

   $$ 500 \text{ g} \ ; \ 6 \text{ œufs} \ ; \ 100 \text{ cL} $$
2. Quelles quantités faut-il pour \(6\) personnes ?

   On additionne les quantités pour \(4\) et pour \(2\), c'est-à-dire une fois et demie la recette.

   $$ 250 + 125 = 375 $$

   $$ 375 \text{ g de farine} \ ; \ 4.5 \text{ œufs} \ ; \ 75 \text{ cL} $$

   On arrondira à \(5\) œufs en pratique : toutes les grandeurs d'une recette ne se divisent pas aussi librement.

3. Combien de personnes peut-on servir avec \(1 \text{ kg}\) de farine ?
   $$ 1\,000 \div 250 = 4 \qquad \text{puis} \qquad 4 \times 4 $$

   $$ 16 \text{ personnes} $$

Les soldes

Un manteau coûte \(120 \text{ €}\). Il est soldé à \(-30 \ \%\).

1. Calculer le montant de la remise.
   $$ \frac{30}{100} \times 120 = 0.3 \times 120 $$

   $$ 36 \text{ €} $$
2. En déduire le prix soldé, de deux façons différentes.

   Première façon, en soustrayant la remise :

   $$ 120 - 36 $$

   Seconde façon, en calculant directement les \(70 \ \%\) restants :

   $$ 0.7 \times 120 $$

   $$ 84 \text{ €} $$
3. Une seconde démarque de \(-30 \ \%\) est appliquée sur le prix soldé. Le prix final est-il \(120 - 60 \ \% = 48 \text{ €}\) ?
   $$ 0.7 \times 84 = 58.8 $$

   $$ 58.80 \text{ €} $$

   Deux remises de \(30 \ \%\) n'en font pas une de \(60 \ \%\) : la seconde porte sur un prix déjà réduit.

La randonnée

Un groupe marche à allure régulière et parcourt \(12 \text{ km}\) en \(3 \text{ h}\).

1. Calculer sa vitesse moyenne.
   $$ v = \frac{12}{3} $$

   $$ v = 4 \text{ km/h} $$
2. Quelle distance parcourt-il en \(5 \text{ h}\) à cette allure ?
   $$ 4 \times 5 $$

   $$ 20 \text{ km} $$
3. Combien de temps lui faut-il pour parcourir \(18 \text{ km}\) ?
   $$ 18 \div 4 = 4.5 $$

   $$ 4 \text{ h } 30 \text{ min} $$

   Le \(0.5\) désigne une demi-heure, soit \(30\) minutes, et non \(50\) minutes.

La carte au 1/25 000

Sur une carte à l'échelle \(\frac{1}{25\,000}\), deux refuges sont distants de \(8.4 \text{ cm}\).

1. Calculer la distance réelle, en kilomètres.
   $$ 8.4 \times 25\,000 = 210\,000 \text{ cm} $$

   $$ 2.1 \text{ km} $$
2. Un sentier mesure \(4.5 \text{ km}\) dans la réalité. Quelle longueur occupe-t-il sur la carte ?
   $$ 4.5 \text{ km} = 450\,000 \text{ cm} $$

   $$ 450\,000 \div 25\,000 $$

   $$ 18 \text{ cm} $$
3. Sur une carte au \(\frac{1}{50\,000}\), ce même sentier serait-il plus long ou plus court ? Justifier sans calcul.

   L'échelle est deux fois plus petite, donc tout est réduit de moitié : le sentier mesurerait \(9 \text{ cm}\).