Problèmes sur la proportionnalité en cinquième

Une recette, des soldes, une carte au 1/25 000, un rayon de supermarché : la proportionnalité relie toutes ces situations, le pourcentage et l'échelle en sont deux visages.

Calculer une quatrième proportionnelle
Appliquer un pourcentage et retrouver un prix de départ
Utiliser une échelle sur une carte
Comparer des prix au kilogramme pour choisir le meilleur achat

La recette de crêpes

Une recette prévue pour $4$ personnes demande $250 \ \text{g}$ de farine, $4$ œufs et $50 \ \text{cL}$ de lait.

Quelles quantités faut-il pour $8$ personnes ?

On double tout, puisque $8$ est le double de $4$.

$$ 500 \ \text{g de farine} \ ; \ 8 \ \text{œufs} \ ; \ 100 \ \text{cL de lait} $$
Quelles quantités faut-il pour $6$ personnes ?

$6$ personnes, c'est $4$ personnes plus $2$ personnes : on ajoute à la recette sa moitié.

$$ 250 + 125 = 375 \hspace{2em} 4 + 2 = 6 \hspace{2em} 50 + 25 = 75 $$

$$ 375 \ \text{g de farine} \ ; \ 6 \ \text{œufs} \ ; \ 75 \ \text{cL de lait} $$
Combien de personnes peut-on servir avec $1 \ \text{kg}$ de farine ?

$1 \ \text{kg} = 1\,000 \ \text{g}$, soit quatre fois $250 \ \text{g}$ :

$$ 1\,000 \div 250 = 4 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 4 \times 4 $$

$$ 16 \ \text{personnes} $$

Les soldes

Un manteau coûte $120 \ \text{€}$. Il est soldé à $-30 \ \%$.

Calculer le montant de la remise.

$$ \frac{30}{100} \times 120 = 0.3 \times 120 $$

$$ 36 \ \text{€} $$
En déduire le prix soldé, de deux façons différentes.

Première façon, en soustrayant la remise :

$$ 120 - 36 $$

Seconde façon, en calculant directement les $70 \ \%$ restants :

$$ 0.7 \times 120 $$

$$ 84 \ \text{€} $$
Une seconde démarque de $-30 \ \%$ est appliquée sur le prix soldé. Le prix final est-il le même qu'avec une seule remise de $60 \ \%$ sur $120 \ \text{€}$, c'est-à-dire $48 \ \text{€}$ ?

La seconde remise porte sur le prix soldé, $84 \ \text{€}$ :

$$ 0.7 \times 84 = 58.8 $$

$$ 58.80 \ \text{€} $$

Deux remises de $30 \ \%$ n'en font pas une de $60 \ \%$ : la seconde porte sur un prix déjà réduit.

La randonnée

Un groupe marche à allure régulière et parcourt $12 \ \text{km}$ en $3 \ \text{h}$.

Calculer sa vitesse moyenne.

$$ v = \frac{12}{3} $$

$$ v = 4 \ \text{km/h} $$
Quelle distance ce groupe parcourt-il en $5 \ \text{h}$ à cette allure ?

$$ 4 \times 5 $$

$$ 20 \ \text{km} $$
Combien de temps lui faut-il pour parcourir $18 \ \text{km}$ ?

$$ 18 \div 4 = 4.5 $$

$$ 4 \ \text{h} \ 30 \ \text{min} $$

Le $0.5$ désigne une demi-heure, soit $30$ minutes, et non $50$ minutes.

La carte au 1/25 000

Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{25\,000}$, deux refuges sont distants de $8.4 \ \text{cm}$.

Calculer la distance réelle, en kilomètres.

$1 \ \text{cm}$ sur la carte représente $25\,000 \ \text{cm}$ dans la réalité :

$$ 8.4 \times 25\,000 = 210\,000 \ \text{cm} $$

$$ 2.1 \ \text{km} $$
Un sentier mesure $4.5 \ \text{km}$ dans la réalité. Quelle longueur occupe-t-il sur cette même carte ?

$$ 4.5 \ \text{km} = 450\,000 \ \text{cm} $$

$$ 450\,000 \div 25\,000 $$

$$ 18 \ \text{cm} $$
Sur une carte au $\frac{1}{50\,000}$, ce même sentier serait-il plus long ou plus court ? Justifier sans calcul.

Sur la carte au $\frac{1}{50\,000}$, $1 \ \text{cm}$ représente deux fois plus de distance réelle : tout y est dessiné deux fois plus petit.

$$ \text{plus court} $$

Il mesurerait $18 \div 2 = 9 \ \text{cm}$.

Retrouver la donnée de départ

Après une remise de $20 \ \%$, un jean coûte $44 \ \text{€}$.

Jules affirme que le prix de départ s'obtient en ajoutant $20 \ \%$ de $44 \ \text{€}$ à $44 \ \text{€}$, ce qui donne $52.80 \ \text{€}$. Vérifier en appliquant la remise à ce prix.

Après une remise de $20 \ \%$, il reste $80 \ \%$ du prix :

$$ 0.8 \times 52.8 = 42.24 $$

On obtient $42.24 \ \text{€}$ et non $44 \ \text{€}$ : Jules se trompe. Les $20 \ \%$ de la remise se calculent sur le prix de départ, pas sur le prix soldé.
Retrouver le prix de départ de ce jean.

Les $44 \ \text{€}$ représentent $80 \ \%$ du prix de départ. On revient à $1 \ \%$, puis à $100 \ \%$ :

$$ 44 \div 80 = 0.55 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 0.55 \times 100 $$

$$ 55 \ \text{€} $$

On vérifie : $0.8 \times 55 = 44$.
On change de situation : sur le plan d'un jardin, une allée de $20 \ \text{m}$ mesure $5 \ \text{cm}$. Retrouver l'échelle du plan.

On exprime les deux distances dans la même unité : $20 \ \text{m} = 2\,000 \ \text{cm}$.

$$ \text{échelle} = \frac{5}{2\,000} $$

$2\,000 = 5 \times 400$ : on simplifie par $5$.

$$ \text{échelle} = \frac{1}{400} $$

Le meilleur achat

Au rayon des yaourts nature, trois produits sont proposés.

Calculer le prix d'un kilogramme de yaourt pour le pack A.

Le pack A contient $6 \times 125 = 750 \ \text{g}$, soit trois fois $250 \ \text{g}$. Un kilogramme, c'est quatre fois $250 \ \text{g}$ :

$$ 2.40 \div 3 = 0.80 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 0.80 \times 4 $$

$$ 3.20 \ \text{€} \ \text{le kilogramme} $$
Calculer le prix d'un kilogramme de yaourt pour le pack B.

Le pack B contient $4 \times 150 = 600 \ \text{g}$, soit six fois $100 \ \text{g}$. Un kilogramme, c'est dix fois $100 \ \text{g}$ :

$$ 2.16 \div 6 = 0.36 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 0.36 \times 10 $$

$$ 3.60 \ \text{€} \ \text{le kilogramme} $$
Lequel des trois produits est le moins cher au kilogramme ?

Le pot C coûte $3.50 \ \text{€}$ pour $1 \ \text{kg}$. On range les trois prix au kilogramme :

$$ 3.20 < 3.50 < 3.60 $$

$$ \text{le pack A} $$

Le pack B, le moins cher en caisse, est en fait le plus cher au kilogramme.
Le magasin annonce sur le pack B : « le deuxième pack à $-50 \ \%$ ». Pour un client qui achète deux packs B, cette offre change-t-elle le classement ? Justifier.

Le deuxième pack coûte la moitié de $2.16 \ \text{€}$, soit $1.08 \ \text{€}$. Pour deux packs :

$$ 2.16 + 1.08 = 3.24 \ \text{€} \hspace{2em} \text{pour} \hspace{2em} 2 \times 600 = 1\,200 \ \text{g} $$

$1\,200 \ \text{g}$, c'est douze fois $100 \ \text{g}$, et un kilogramme dix fois $100 \ \text{g}$ :

$$ 3.24 \div 12 = 0.27 \hspace{2em} \text{puis} \hspace{2em} 0.27 \times 10 = 2.70 $$

Avec l'offre, le kilogramme revient à $2.70 \ \text{€}$, moins que les $3.20 \ \text{€}$ du pack A :

$$ \text{oui, le pack B devient le meilleur achat} $$

Les lancers francs

À l'entraînement, Maëlle a tiré $20$ lancers francs. Les disques pleins sont ses lancers réussis, les disques vides ses lancers ratés.

Calculer son pourcentage de réussite.

Elle a réussi $7$ lancers sur $20$ :

$$ \frac{7}{20} = \frac{35}{100} $$

$$ 35 \ \% $$
Maëlle continue et réussit tous ses lancers suivants. Combien de lancers réussis de plus lui faut-il, au minimum, pour atteindre $50 \ \%$ de réussite ?

Ses $13$ lancers ratés ne changent plus. À $50 \ \%$, il y a autant de réussites que d'échecs : il faut $13$ réussites.

$$ 13 - 7 $$

$$ 6 \ \text{lancers réussis de plus} $$

Vérification : $13$ réussites sur $26$ lancers font $50 \ \%$ ; avec $5$ seulement, les $12$ réussites seraient moins nombreuses que les $13$ échecs.
Toujours sans rater, combien de lancers réussis de plus lui faut-il pour atteindre $75 \ \%$ ? Peut-elle atteindre $100 \ \%$ ?

À $75 \ \%$ de réussite, les échecs représentent $25 \ \%$ des lancers, c'est-à-dire le quart. Les $13$ échecs sont le quart de $13 \times 4 = 52$ lancers :

$$ 52 - 20 $$

$$ 32 \ \text{lancers réussis de plus} $$

Vérification : $39$ réussites sur $52$ lancers, et $\frac{39}{52} = \frac{3}{4} = \frac{75}{100}$. Avec moins de $52$ lancers, les $13$ échecs dépasseraient le quart.

Les $13$ échecs restent comptés quoi qu'elle fasse : il y a toujours des lancers ratés, et la réussite reste sous $100 \ \%$.

$$ \text{jamais } 100 \ \% $$
On reprend après les $20$ premiers lancers, avec une autre hypothèse : Maëlle tire désormais par séries de $5$ lancers, et en réussit exactement $4$ par série. Au bout de combien de séries atteint-elle $75 \ \%$ de réussite ? Atteindra-t-elle un jour $80 \ \%$ à la fin d'une série ?

Pour $75 \ \%$ : il faut $3$ réussites pour $1$ échec, donc $3$ fois plus de réussites que d'échecs. Au départ, $3 \times 13 = 39$ : il manque $39 - 7 = 32$ réussites. Chaque série apporte $4$ réussites, mais aussi $1$ échec, qui en réclame $3$ de plus : le retard diminue de $4 - 3 = 1$ réussite par série.

$$ 32 \ \text{séries, soit} \ 160 \ \text{lancers de plus} $$

Vérification : $7 + 32 \times 4 = 135$ réussites sur $20 + 160 = 180$ lancers, et $\frac{135}{180} = \frac{3}{4}$.

Pour $80 \ \%$ : il faut $4$ réussites pour $1$ échec. Au départ, $4 \times 13 = 52$ : il manque $52 - 7 = 45$ réussites. Chaque série apporte $4$ réussites, et $1$ échec qui en réclame $4$ de plus : le retard reste de $45$ après chaque série.

$$ \text{jamais } 80 \ \% $$

Chaque série est réussie à $80 \ \%$ exactement : elle ne rattrape rien du retard pris sur les $20$ premiers lancers.

Le kayak sur la rivière

Hugo remonte la rivière en kayak de l'embarcadère jusqu'au moulin, à $8 \ \text{km}$, puis redescend. Contre le courant, il avance à $4 \ \text{km/h}$ ; avec le courant, à $12 \ \text{km/h}$.

Calculer la durée de l'aller, puis celle du retour.

À l'aller, $4 \ \text{km}$ prennent $1 \ \text{h}$ :

$$ 8 \div 4 = 2 \ \text{h} $$

Au retour, $12 \ \text{km}$ prennent $60 \ \text{min}$, donc $4 \ \text{km}$ en prennent $20$, et $8 \ \text{km}$ le double :

$$ 2 \times 20 = 40 \ \text{min} $$

$$ 2 \ \text{h} \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} 40 \ \text{min} $$
Hugo affirme : « Ma vitesse moyenne sur l'aller-retour est de $8 \ \text{km/h}$, la moyenne de $4$ et de $12$. » A-t-il raison ? Justifier.

La vitesse moyenne est la distance parcourue en une heure, sur l'ensemble du trajet. L'aller-retour fait $16 \ \text{km}$ en $120 + 40 = 160 \ \text{min}$, soit $1 \ \text{km}$ toutes les $10 \ \text{min}$ :

$$ v = \frac{16}{160} \times 60 = 0.1 \times 60 $$

$$ v = 6 \ \text{km/h} $$

Hugo a tort : il rame trois fois plus longtemps à $4 \ \text{km/h}$ qu'à $12 \ \text{km/h}$, et la vitesse lente pèse davantage dans la moyenne.

Le lendemain, Hugo remonte encore à $4 \ \text{km/h}$. À quelle vitesse doit-il redescendre pour que sa vitesse moyenne sur l'aller-retour soit de $6.4 \ \text{km/h}$ ?

À $6.4 \ \text{km/h}$, la distance est proportionnelle à la durée :

Durée (min)	$60$	$15$	$150$
Distance (km)	$6.4$	$1.6$	$16$

Distance parcourue à $6.4 \ \text{km/h}$

L'aller-retour de $16 \ \text{km}$ doit donc durer $150 \ \text{min}$. L'aller en prend déjà $120$ :

$$ 150 \ \text{min} - 120 \ \text{min} = 30 \ \text{min} $$

Il faut parcourir les $8 \ \text{km}$ du retour en $30 \ \text{min}$, donc deux fois plus en $60 \ \text{min}$ :

$$ 8 \times 2 $$

$$ 16 \ \text{km/h} $$

Vérification : à $16 \ \text{km/h}$, on parcourt $8 \ \text{km}$ en $30 \ \text{min}$ ; l'aller-retour dure bien $120 + 30 = 150 \ \text{min}$, et $16 \ \text{km}$ en $150 \ \text{min}$ font $6.4 \ \text{km}$ en $60 \ \text{min}$.

Pour gagner $0.4 \ \text{km/h}$ de moyenne, il faut redescendre $4 \ \text{km/h}$ plus vite que la veille.

Hugo remonte toujours à $4 \ \text{km/h}$. Peut-il atteindre $8 \ \text{km/h}$ de moyenne sur l'aller-retour en redescendant assez vite ? Justifier.

À $8 \ \text{km/h}$ de moyenne, les $16 \ \text{km}$ de l'aller-retour prendraient $16 \div 8 = 2 \ \text{h}$, soit $120 \ \text{min}$. Or l'aller, à lui seul, dure déjà $120 \ \text{min}$ : il ne resterait aucune minute pour redescendre.

$$ \text{impossible} $$

Quelle que soit la vitesse du retour, l'aller-retour dure plus de $120 \ \text{min}$ : la vitesse moyenne reste toujours inférieure à $8 \ \text{km/h}$.