Application du théorème de Thalès (corrigé)

Détermination de la similarité de deux triangles

Deux méthodes pour savoir si deux triangles sont semblables.

Dans les deux méthodes, on mesure sur la figure pour si les mesures sont les mêmes (à peu de choses près) ou bien loin d'être les mêmes.

1. Méthode 1 : Comparer les rapports de longueur deux-à-deux
  
  On cherche à voir si les rapports respectifs entre les longeurs supposées proportionnelles sont égaux :
  
  PS : Mes valeurs sont issues de mon zoom, mais peu importe le zoom car on teste des valeurs relatives (rapport de proportionnalité) et non les valeurs dans l'absolu.
  
  $$ \frac{A'B'}{AB} = \frac{2.2}{4.8} \frac{A'B'}{AB} = \frac{11}{24} $$
  
  $$ \frac{A'C'}{AC} = \frac{7}{7.2} \frac{A'C'}{AC} = \frac{35}{36} $$
  
  On voit que :
  
  $$ \frac{A'B'}{AB} \neq \frac{A'C'}{AC} $$
  
  Alors, les triangles ne sont pas semblables .
  
  Cas contraire : Si ces deux rapports avaient été égaux, le troisième le serait aussi automatiquement et les deux triangles auraient été semblables .
2. Méthode 2 : Comparer les angles deux-à-deux
  On cherche à voir si les angles sont égaux deux-à-deux :
  
  $$ \widehat{A} = 100 °$$
  
  $$ \widehat{A'} = 104 °$$
  
  On voit que :
  
  $$ \widehat{A} \neq \widehat{A'} $$
  
  Alors, ce deux angles étant différents, les triangles ne sont pas semblables .
  Cas contraire : Si on avait eu $(\widehat{A} = \widehat{A'})$, on aurait cherché à savoir si $(\widehat{B} = \widehat{B'})$ :
  - si on avait eu $(\widehat{B} = \widehat{B'})$ :
    Alors, on a aussi le troisième $(\widehat{C} = \widehat{C})$ et les triangles auraient bien été semblables .
  - si on avait eu $(\widehat{B} \neq \widehat{B'})$ :
    Alors, les triangles n'auraient pas été semblables .
Pas de rapport de proportionnalité, puisque les triangles ne sont pas semblables.

Cas contraire :

Sinon, on doit prendre un des rapports issue de la méthode 1 (puisqu'à ce stade on sait que les trois sont les mêmes).

Rapports entre longueurs grâce au théorème de Thalès

$$ (BA) \parallel (DE) \Longrightarrow \Biggl( \frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA} = \frac{DE}{BA} \Biggr) $$

Calculs de longueurs

Le bon réflexe est de marquer les trois rapports issus de Thalès :

$$ \textcolor{rgb(54 152 46)}{\frac{CD}{CA} = \frac{\textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE}}{\textcolor{rgb(54 152 46)}{CB}} = } \textcolor{rgb(54 152 46)}{\frac{DE}{AB}} $$

On peut choisir celui des deux que l'on veut entre :

$$ \textcolor{rgb(54 152 46)}{\frac{CD}{CA} = \frac{\textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE}}{\textcolor{rgb(54 152 46)}{CB}} } $$

$$ \textcolor{rgb(54 152 46)}{\frac{\textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE}}{CB}} \textcolor{rgb(54 152 46)}{= \frac{DE}{AB}} $$

pour faire le produit en croix et trouver $\textcolor{rgb(174, 41, 41)}{DE}$.

Puis on remplace par les valeurs :

$$ \textcolor{rgb(54 152 46)}{\frac{70}{140} = \frac{\textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE}}{\textcolor{rgb(54 152 46)}{180}} } \textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE} \textcolor{rgb(54 152 46)}{= \frac{70 \times 180}{140}} \textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE} \textcolor{rgb(54 152 46)}{= 90} $$

$$ \textcolor{rgb(54 152 46)}{\frac{\textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE}}{180}} \textcolor{rgb(54 152 46)}{= \frac{60}{120}} \textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE} \textcolor{rgb(54 152 46)}{= \frac{180 \times 60}{120}} \textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE} \textcolor{rgb(54 152 46)}{= 90} $$

Dans tous les cas,

$$ \textcolor{rgb(174, 41, 41)}{CE} \textcolor{rgb(54 152 46)}{= 90} $$
$$ AD = AC - CD $$

$$ AD = 140 - 70 $$

$$ AD = 70 $$

$$ BE = CB - CE $$

$$ BE = 180 - 90 $$

$$ BE = 90 $$

Vérification du parallélisme

Pour s'assurer du parallélisme, on doit tester au moins deux rapports de longueurs :

$$ \frac{CD}{CA} = \frac{60}{160} \frac{CD}{CA} = \frac{3}{8} $$

$$ \frac{CE}{CB} = \frac{60}{160} \frac{CE}{CB} = \frac{3}{8} $$

Comme on a bien :

$$ \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} \qquad \left( = \frac{3}{8} \right) $$

Alors, les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont bien parallèles .

Cas contraire : Si on avait eu :

$$ \frac{CD}{CA} \neq \frac{CE}{CB} $$

on en aurait conclu que les droites $(AB)$ et $(DE)$ n'étaient pas parallèles .

Détermination des angles d'un triangle avec une variable

Comme la somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$, alors dans notre cas :

$$ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180 $$

On remplace par leurs valeurs :

$$ x + (x + 30) + (x + 20) = 180 $$

Les parenthèses sont facultatives puisque l'on est qu'avec du $(+)$, donc on peut les supprimer :

$$ x + x + 30 + x + 20 = 180 $$

$$ 3x + 50 = 180 $$

$$ 3x = 180 - 50 $$

$$ 3x = 130 $$

$$ x = \frac{130}{3} $$

Ensuite, on va déterminer les trois angles $\widehat{A}, \ \widehat{B}, \ \widehat{C} $ en remplaçant $x$ par sa valeur :

$$ \widehat{A} = x $$

$$ \widehat{A} = \frac{130}{3} $$

$$ \widehat{B} = x + 30 $$

$$ \widehat{B} = \frac{130}{3} + 30 $$

$$ \widehat{B} = \frac{130}{3} + 30 \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{ \times \frac{3}{3}} $$

$$ \widehat{B} = \frac{130}{3} + \frac{90}{3} $$

$$ \widehat{B} = \frac{220}{3} $$

$$ \widehat{C} = x + 20 $$

$$ \widehat{C} = \frac{130}{3} + 20 \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{ \times \frac{3}{3}} $$

$$ \widehat{C} = \frac{130}{3} + \frac{60}{3} $$

$$ \widehat{C} = \frac{190}{3} $$

Pour vérifier, la somme doit faire à nouveau $180°$ :

$$ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \frac{130}{3} + \frac{220}{3} + \frac{190}{3} $$

$$ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \frac{130 + 220 + 190}{3} $$

$$ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = \frac{540}{3} $$

$$ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180 $$

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