Examens de BTSa GPN

Exam 1

BTS GPN années 2022-2024

(CCF n°12, Épreuve E4.1)

Date : 25 novembre 2023 Durée : 2 heures Conditions du contrôle : Écrit individuel à partir d'une analyse de situation Coefficient : 1,2 Support : Sujet, formulaire

Capacités évaluées :

C4.1 – Choisir et maîtriser un modèle mathématique et une solution informatique adaptés au traitement de données

C4.2 – Utiliser les notions de statistiques en vue d'une modélisation a priori

Partie A

La masse moyenne (espérance mathématique $\mu$) d'une loi normale correspond à l'abscisse du sommet de la courbe (point le plus haut).
$$ i) \hspace{2em} P(X < 2.5) = 0.091 $$

$$ ii) \hspace{2em} P(X > 4.5) = 0.091 $$

(aussi car symétrique)
La probabilité qu'il aille dans l'enclos 2 est le complément des deux autres probabilités :

$$ P(2.5 < X < 4.5) = 1 - P(X < 2.5) - P(X > 4.5) $$

$$ P(2.5 < X < 4.5) = 1 - 0.091 - 0.091 $$

$$ P(2.5 < X < 4.5) = 0.818 $$

$$ \bar{X} \sim \mathcal{N} \left(\mu; \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $$

$$ (\text{avec } n = 100) $$

$$ \bar{X} \sim \mathcal{N} \left(3.5; \frac{0.75}{\sqrt{100}} \right) $$

$$ \bar{X} \sim \mathcal{N} \left(3.5; 0.075 \right) $$
On cherche à déterminer :

$$ P(3.25 \leqslant \bar{X} \leqslant 3.65) $$

Pur que la loi soit une loi centrée réduite , on la standardise avec la formule :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ z_n = \frac{x_n - \mu}{\sigma} $$

$$ z_1 = \frac{3.35 - 3.5}{0.075} = -2 $$
$$ z_2 = \frac{3.65 - 3.5}{0.075} = +2 $$

$$ P(-2 \leqslant Z \leqslant +2) \approx 0.9545 $$
On cherche à déterminer :

$$ P(\bar{X} < 3.30) $$

On standardise :

$$ z = \frac{3.30 - 3.5}{0.075} \approx -2.67 $$

$$ P(Z < -2.67) \approx 0.0038 $$

Interprétation :

Il y a environ 0,38 % de chances d'obtenir une moyenne d'échantillon inférieure à 3,30 kg si la vraie moyenne de la population est bien 3,5 kg. C'est donc une valeur assez exceptionnelle (événement rare).

Partie B

Moyenne :

$$ \bar{X} \approx 2.950 \ kg $$

Écart-type :

$$ s \approx 0.105 \ kg $$

L'intervalle de confiance se calcule avec :

$$ IC_{95 \%} = \left[ \bar{X} \pm t_{95 \%} \times \frac{s}{\sqrt{n}} \right] $$

Le degré de liberté ($ddl$) pour un intervalle de confiance sur la moyenne se calcule par :

$$ ddl = n - 1 $$

$$ ddl = 16 - 1 = 15 $$

Ensuite, pour identifier la valeur critique ($t_{95 \%}$) pour un intervalle de confiance à $95 \%$, on sait que l'on doit chercher dans les tables des loi de Student pour les paramètres :

$$ ddl = 15, \ \alpha = 0.025 $$

On trouve alors une valeur critique ($t_{95 \%}$) de :

$$ t_{95 \%} \approx 2.13 $$

Puis on calcule avec la formule précédente :

$$ IC_{95 \%} = \left[ 2.950 \pm 2.13 \times \frac{0.105}{\sqrt{16}} \right] $$

$$ IC_{95 \%} = \bigl[ 2.950 \pm 0.056 \bigr] $$

$$ IC_{95 \%} = \bigl[2.892; 3.006 \bigr] $$

L'intervalle de confiance à 95 % est-il entièrement supérieur à 3 kg ? Non

Est-il entièrement inférieur à 3 kg ? Non plus

On ne peut pas conclure de façon significative que la moyenne est inférieure à 3 kg (ni qu'elle est supérieure d'ailleurs).

Exam 2

Partie A

Comme nous somme le cas dans un tirage avec remise , alors $X$ soit une loi binomiale :

$$ X \sim \mathcal{B}\bigl(n = 20, \ p = 15 \bigr) $$

$$ P(X = 5) = \binom{20}{5} \times 0.15^5 \times 0.85^{15} \approx 0.103 $$

$$ P(X = 5) \approx 10.3 \text{ %} $$
$$ P(X \geqslant 5) = 1 - P(X \leqslant 4) $$

Mais,

$$ P(X \leqslant 4) = P(X = 4) + P(X = 3) + P(X = 2) + P(X = 1) + P(X = 0) $$

Pour éviter la redondance, on peut l'écrire sous forme de somme :

$$ P(X \leqslant 4) = \sum_{k = 0}^4 P(X = k) $$

$$ P(X \geqslant 5) = 1 - P(X = 4) - P(X = 3) - P(X = 2) - P(X = 1) - P(X = 0) $$

$$ P(X \geqslant 5) \approx 0.405 $$

$$ P(X \geqslant 5) \approx 40.5 \text{ %} $$

Partie B

$$ p = 0.10 $$

$$ p = 10 \text{ %} $$

$$ IC_{95 \%} = \left[ p \pm 1.96 \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right] $$

L'intervalle est environ de :

$$ IC_{95 \%} = \bigl[ 0.06; 0.14 \bigr] $$

$$ (\text{si } n = 100) $$

$\longrightarrow$ 15 % est en dehors de l'intervalle

Si l'intervalle de confiance à 95 % ne contient pas 0,15, le responsable du refuge a raison de dire que la proportion de cormorans blessés dans le nouvel enclos est significativement inférieure à 15 % (au seuil de 5 %).