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On a à de nombreux endroits la démonstration suivante :
\(0.99999...etc = 1\)
On pose le nombre \(\alpha\) défini comme un nombre conceptuel avec une infinité de 9 après la virgule :
Et par suite :
Deux quantités étant égales à une troisième identique, dans les membres de gauche de \((2) \) et \((3)\), sont égales :
Puis on en déduit que :
Et donc que par conséquent,
Le problème dans cette démonstration est de définir ce qui se cache derrière les "...etc" dun nombre \(\alpha\) :
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soit ce nombre \(\alpha\) est déjà une limite et cette limite vaut 1
Si ce nombre est déjà une limite qui vaut 1, alors dans ce cas on ne fait uniquement dans la démonstration :
$$ 10\alpha = 10 \times 1 10\alpha = 10 $$$$ 9 + \alpha = 9 + 1 9 + \alpha =10 $$Ce qui n'a plus d'intérêt, car oui \((\alpha = 1)\) mais on le savait déjà.
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soit ce nombre \(\alpha\), n'est pas une limite, et peut alors accepter des opérations comme des nombres
Dans le cas de \(a\), où le nombre de 9 après la virgule est limité :
$$ a = \underbrace{ 0.99999999... } _\text{\(n \ 9\) après la virgule} \qquad(nombre \ fini) $$Et dans ce cas on peut éventuellement l'écrire,
$$ a = \sum_{k=1}^n 9 \times \left(\frac{1}{10} \right)^n $$Et les deux opérations sont évidemment possibles :
$$ 10a = 10 \sum_{k=1}^n 9 \times \left(\frac{1}{10} \right)^n 10a = \sum_{k=1}^n 9 \times \left(\frac{1}{10} \right)^{n-1} 10a = \underbrace{ 9.99999999... } _\text{\((n-1) \ 9\) après la virgule} $$$$ 9 + a = 9 + \sum_{k=1}^n 9 \times \left(\frac{1}{10} \right)^n $$$$ 9 + a = \underbrace{ 9.99999999... } _\text{\((n-1) \ 9\) après la virgule} $$Mais qu'en est-il, dans le cas de \(\alpha\), où le nombre de 9 après la virgule n'est plus connu :
$$ \alpha = 0.99999...etc $$$$ \alpha = \sum_{k=1}^{\infty} 9 \times \left(\frac{1}{10} \right)^n $$Peut-on considérer ce nombre encore "vivant" (et donc plus une limite finie avec une valeur unique) , sachant qu'il a en tout point l'aspect d'une limite ?
Cela a-t-il un sens mathématique d'effectuer des opérations sur un tel nombre ?