Définition de la dérivée en première

Rapprocher deux points d'une courbe jusqu'à les confondre : la sécante devient tangente, et sa pente le nombre dérivé.

Définir le nombre dérivé comme la limite d'un taux de variation
Interpréter le nombre dérivé comme la pente de la tangente
Déterminer l'équation de la tangente en un point
Calculer un nombre dérivé en simplifiant le taux de variation avant de passer à la limite
Estimer une valeur approchée à l'aide de la tangente

Le compteur d'une voiture n'affiche ni la distance parcourue, ni la vitesse moyenne du trajet : il affiche la vitesse à cet instant précis.

$$ v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{d(t + h) - d(t)}{h} $$

Sur une seconde, la vitesse moyenne est déjà une bonne approximation ; sur un centième de seconde, elle est presque exacte.

La dérivée est la vitesse instantanée d'une grandeur : ce que lit le compteur quand le chronomètre n'a pas le temps d'avancer.

La dérivée est un classique des mathématiques, elle permet d'observer les tendances d'une variation, et notamment de manière infinitésimale.

Cette notion sous-tend beaucoup de concepts introduits en physique, où on dérive par rapport au temps écoulé :

la vitesse instantanée (dérivée de la position $x(t)$) : $v(t) = \frac{d x(t)}{dt}$
l'accélération (dérivée de la vitesse $v(t)$) : $a(t) = \frac{d v(t)}{dt}$
la puissance instantanée (dérivée de l'énergie $E(t)$) : $P(t) = \frac{d E(t)}{dt}$
...etc.

La fonction dérivée : $f'(x)$

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $\mathcal{D}_f$.

Sa fonction dérivée $f'$, est une fonction qui va donner des indications sur les variations de cette fonction de départ.

Plus précisément, c'est la limite d'un taux de variations (ou pente), lorsque celui-ci tend vers une valeur infinitésimale.

Voici en détail en trois étapes :

Étape 1 : on démarre d'une pente (taux de variations) entre deux points :

$$ \text{pente} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \Longleftrightarrow \text{pente} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

Derivee — taux de variation entre deux points

Étape 2 : on rétrécit le pas petit à petit...

Derivee 2 — taux de variation qui tend vers zéro

Étape 3 : on rétrécit le pas jusqu'à obtenir un pas $h$ infinitésimal en passant à la limite :

Derivee 3 — taux de variation très proche de zéro

Finalement, on arrive à la définition d'une dérivée :

« ... la limite du taux de variation lorsque cette variation devient infinitésimale ... »

$$ \frac{d f_x}{d x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} \hspace{2em} (\text{notation de Leibniz}) $$

Soit en écriture plus moderne :

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \hspace{2em} (\text{notation de Lagrange}) $$

La fonction dérivée est alors une expression de la valeur de la pente de la droite tangente à la courbe en tout point $x$.

Par la suite, l'on prendra un point $a$ fixe, on calculera alors un nombre dérivé en ce point particulier.

Le nombre dérivé en un point $a$ : $f'(a)$

Le nombre dérivé $f'(a)$ en un point $a$, est la valeur de la pente de la tangente à la courbe de $f$, prise au point d'abscisse $a$.

Derivee a — nombre dérivé au point d'abscisse $a$

On obtient alors une équation affine au point d'abscisse $a$ :

$$ T_a(x) = f'(a)x + b $$

avec un nombre $b$ à déterminer.

La dérivabilité

On dit qu'une fonction est dérivable en un point fixe $a$, si et seulement si le calcul de sa dérivée en ce point, existe et est un nombre réel.

$$ f \text{ est dérivable en } a \Longleftrightarrow f'(a) \in \mathbb{R} $$

Une fonction dérivée est alors définie sur un intervalle $I$, partout là où ce nombre dérivé existe.

Équation de la tangente à la courbe de $f$ en un point $a$ : $T_a(x)$

Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $a$, on prend un point au hasard d'abscisse inconnue $x$, et on applique la formule de la pente :

$$ \text{pente} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \Longleftrightarrow \text{pente} = \frac{T_a(x) - f(a)}{x-a} $$

Derivee a 2 — calcul de l'ordonnée à l'origine $b$

Mais, on a vu plus haut que la pente est le nombre dérivé en $a$ : $f'(a)$. Alors, on obtient :

$$ f'(a) = \frac{T_a(x) - f(a)}{x-a} $$

$$ f'(a)(x-a) = T_a(x) - f(a) $$

$$ f'(a)(x-a) + f(a) = T_a(x) $$

Enfin, la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ vaut :

$$T_a(x) = f'(a)(x-a) + f(a) $$

Le taux de variation et les sécantes

Avant la tangente vient la sécante: la droite qui joint deux points de la courbe.

Le taux de variation

Entre $a$ et $a + h$, c'est la pente de la sécante:

$$ \tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$

Exemple :

Pour $f(x) = x^2$ en $a = 3$ :

$$ \tau(h) = \frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} $$

$$ \tau(h) = 6 + h $$

Quand $h$ se rapproche de zéro, ce taux se rapproche de $6$: c'est le nombre dérivé de $f$ en $3$.

$h$	$1$	$0.1$	$0.01$	$0.001$
$\tau(h)$	$7$	$6.1$	$6.01$	$6.001$

les sécantes se rapprochent de la tangente

Le nombre dérivé est la limite du taux de variation quand $h$ tend vers zéro. On ne peut pas poser $h = 0$ directement - le quotient n'aurait plus de sens - d'où la nécessité de simplifier d'abord.

L'approximation linéaire

Au voisinage de $a$, la courbe et sa tangente se confondent presque. On peut donc remplacer l'une par l'autre pour un calcul approché.

$$ f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \, h $$

Exemple :

Estimer $\sqrt{4.1}$, sachant que la dérivée de la racine carrée est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ :

$$ f(4) = 2 \hspace{2em} f'(4) = \frac{1}{4} $$

$$ \sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4} \times 0.1 $$

$$ \sqrt{4.1} \approx 2.025 $$

La valeur exacte est $2.0248\ldots$ : l'erreur est inférieure au dix-millième.

L'approximation est d'autant meilleure que $h$ est petit. C'est le principe de tous les calculs approchés en physique, où l'on écrit couramment $\sin(h) \approx h$ - la tangente en zéro de la fonction sinus.

Définition de la dérivée

La fonction dérivée : \(f'(x)\)

Le nombre dérivé en un point \(a\) : \(f'(a)\)

La dérivabilité

Équation de la tangente à la courbe de \(f\) en un point \(a\) : \(T_a(x)\)

Le taux de variation et les sécantes

Le taux de variation

L'approximation linéaire