Problèmes sur la dérivation en première

La dérivée mesure une vitesse de variation : celle d'un mobile, celle d'un coût, celle d'une température. Ces trois problèmes l'emploient dans les trois registres - graphique, numérique, algébrique - que le programme demande de savoir relier.

Calculer un taux de variation et l'interpréter comme une pente.
Déterminer l'équation d'une tangente et l'utiliser pour approcher une valeur.
Interpréter le nombre dérivé en contexte : vitesse, coût marginal.
Lire un nombre dérivé sur une représentation graphique.

La chute d'une bille

Une bille lâchée d'un pont parcourt, en $t$ secondes, une distance donnée en mètres par $d(t) = 5t^2$.

Calculer la vitesse moyenne entre $t = 1$ et $t = 3$.

$$ \frac{d(3) - d(1)}{3 - 1} = \frac{45 - 5}{2} $$

$$ 20 \ \text{m/s} $$
Calculer le taux de variation entre $2$ et $2 + h$, puis le simplifier.

$$ \tau(h) = \frac{5(2+h)^2 - 20}{h} = \frac{20h + 5h^2}{h} $$

$$ \tau(h) = 20 + 5h $$
En déduire la vitesse instantanée à $t = 2$.

Quand $h$ tend vers $0$, le taux tend vers $20$ :

$$ d'(2) = 20 \ \text{m/s} $$
Vérifier ce résultat en dérivant $d$.

$$ d'(t) = 10t \qquad \text{donc} \qquad d'(2) = 20 $$

La vitesse moyenne sur $\bigl[1 \ ; \ 3\bigr]$ valait aussi $20 \ \text{m/s}$ : c'est une coïncidence due à la symétrie de l'intervalle autour de $2$.

Le coût marginal

Une entreprise produit $q$ pièces par jour, avec $q$ compris entre $0$ et $60$. Son coût total, en euros, est :

$$ C(q) = 0{,}1 q^2 + 12q + 500 $$

Calculer $C'(q)$.

$$ C'(q) = 0{,}2q + 12 $$
Calculer $C'(40)$, et interpréter ce nombre en termes de coût.

$$ C'(40) = 20 \ \text{€} $$

C'est le coût marginal : produire la $41^{\text{ème}}$ pièce coûte environ $20 \ \text{€}$ de plus.
Vérifier cette interprétation en calculant $C(41) - C(40)$.

$$ C(41) = 168{,}1 + 492 + 500 = 1 \ 160{,}1 $$

$$ C(40) = 160 + 480 + 500 = 1 \ 140 $$

$$ C(41) - C(40) = 20{,}10 \ \text{€} $$

L'écart avec le coût marginal est de $10$ centimes : la dérivée en donne une excellente approximation.
Le coût marginal augmente-t-il avec la production ? Qu'est-ce que cela signifie ?

$C'$ est une fonction affine croissante : le coût marginal augmente avec $q$.

Chaque pièce supplémentaire coûte plus cher que la précédente - heures supplémentaires, usure accrue. C'est ce qui empêche d'augmenter la production indéfiniment.

Lire une tangente

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^3 - 3x$. On s'intéresse à sa tangente au point d'abscisse $a$.

Calculer $f'(x)$, puis l'équation de la tangente en $a = 2$.

$$ f'(x) = 3x^2 - 3 \qquad f'(2) = 9 \qquad f(2) = 2 $$

$$ y = 9(x - 2) + 2 $$

$$ y = 9x - 16 $$
En quels points la tangente est-elle horizontale ?

$$ 3x^2 - 3 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 = 1 $$

$$ x = -1 \ \text{et} \ x = 1 $$

Les points sont $(-1 \ ; \ 2)$ et $(1 \ ; \ -2)$.
Utiliser la tangente en $2$ pour estimer $f(2{,}05)$, puis comparer à la valeur exacte.

$$ f(2{,}05) \approx 9 \times 2{,}05 - 16 = 2{,}45 $$

$$ f(2{,}05) = 2{,}05^3 - 3 \times 2{,}05 \approx 2{,}465 $$

L'écart est de $15$ millièmes : l'approximation est excellente pour un déplacement aussi faible.
Existe-t-il un point où la tangente a pour coefficient directeur $-4$ ? Justifier.

$$ 3x^2 - 3 = -4 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 = -\frac{1}{3} $$

Aucun réel ne convient. La dérivée $3x^2 - 3$ a pour minimum $-3$, atteint en $0$ : aucune tangente ne peut être plus inclinée que celle-là.