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La fonction exponentielle

Une fonction égale à sa propre dérivée : elle change les sommes en produits et décrit toute évolution à taux constant.

Un livret rapporte \(3 \ \%\) par an. Mille euros y deviennent \(1 \ 030 \ \text{€}\), puis \(1 \ 060.90 \ \text{€}\), puis \(1 \ 092.73 \ \text{€}\).

Les intérêts de la deuxième année sont plus élevés que ceux de la première : ils portent aussi sur les intérêts déjà versés.

Une croissance exponentielle multiplie au lieu d'ajouter : l'écart grandit avec ce que l'on possède déjà.

Définition

La fonction exponentielle

Il existe une unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut \(1\) en \(0\):

$$ f' = f \hspace{2em} \text{et} \hspace{2em} f(0) = 1 $$

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle, et se note \(\exp\).

L'existence et l'unicité d'une telle fonction sont admises.

L'unicité, si l'existence est admise

Supposons deux fonctions \(f\) et \(g\) dérivables sur \(\mathbb{R}\), vérifiant toutes deux \(f' = f\), \(g' = g\) et \(f(0) = g(0) = 1\).

On admet d'abord que \(g\) ne s'annule jamais, et on étudie leur quotient :

$$ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $$

Sa dérivée se calcule comme celle d'un quotient :

$$ h'(x) = \frac{f'(x) \, g(x) - f(x) \, g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2} $$

Or \(f' = f\) et \(g' = g\), donc le numérateur vaut \(f(x) \, g(x) - f(x) \, g(x)\), c'est-à-dire \(0\) :

$$ h'(x) = 0 $$

Une fonction de dérivée nulle sur \(\mathbb{R}\) est constante. Comme \(h(0) = \frac{1}{1} = 1\), cette constante vaut \(1\):

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad f = g $$

Les propriétés algébriques

L'exponentielle transforme les sommes en produits. C'est de là que découle tout le reste.

$$ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, \quad \exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y) $$

En particulier, en prenant \((y = -x)\) :

$$ \exp(x) \times \exp(-x) = \exp(0) = 1 $$

Aucune exponentielle n'est donc nulle : chacune a un inverse, qui est l'exponentielle de l'opposé.

\(\exp(x) \times \exp(-x) = 1\)

On pose la fonction produit, et on la dérive :

$$ p(x) = \exp(x) \times \exp(-x) $$
$$ p'(x) = \exp'(x) \times \exp(-x) + \exp(x) \times \bigl[-\exp(-x)\bigr] $$

La dérivée de \(\exp\) est \(\exp\) elle-même, et celle de \(x \mapsto \exp(-x)\) porte le signe \(-\) de la dérivée de \(-x\) :

$$ p'(x) = \exp(x)\exp(-x) - \exp(x)\exp(-x) $$
$$ p'(x) = 0 $$

La fonction \(p\) est donc constante, et \(p(0) = \exp(0) \times \exp(0) = 1\).

Le nombre \(e\) et la notation \(e^x\)

L'image de \(1\) par l'exponentielle s'appelle le nombre \(e\):

$$ e = \exp(1) \approx 2.718 $$

Comme l'exponentielle change les sommes en produits, elle se comporte exactement comme une puissance : \(\exp(2) = \exp(1+1) = e \times e = e^2\). On écrit donc \(e^x\) au lieu de \(\exp(x)\), et les règles des puissances s'appliquent telles quelles.

Règle
Écriture exponentielle
Produit
$$ e^x \times e^y = e^{x+y} $$
Inverse
$$ \frac{1}{e^x} = e^{-x} $$
Quotient
$$ \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} $$
Puissance
$$ \bigl(e^x\bigr)^n = e^{nx} $$
les quatre règles de calcul, héritées des puissances

Exemple :

$$ A = \frac{e^{5} \times e^{-2}}{e^{4}} $$
$$ A = \frac{e^{5-2}}{e^{4}} = \frac{e^{3}}{e^{4}} $$
$$ A = e^{-1} = \frac{1}{e} $$

Signe, variations et courbe

Signe et sens de variation

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

$$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x > 0 $$

La stricte positivité, puis la croissance

Pour tout réel \(x\), on peut couper l'exposant en deux :

$$ e^x = e^{\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} = e^{\frac{x}{2}} \times e^{\frac{x}{2}} = \left( e^{\frac{x}{2}} \right)^2 $$

Un carré est toujours positif ou nul, et l'exponentielle ne s'annule jamais puisqu'elle admet un inverse :

$$ e^x > 0 $$

La dérivée de l'exponentielle étant l'exponentielle elle-même, elle est donc strictement positive : la fonction est strictement croissante.

$$ x $$
$$ -\infty $$
$$ +\infty $$
$$ \bigl(e^x\bigr)' = e^x $$
$$ + $$
$$ e^x $$
Arrow
variations de la fonction exponentielle

Deux conséquences immédiates, qui servent à résoudre équations et inéquations:

$$ e^a = e^b \Longleftrightarrow a = b $$
$$ e^a < e^b \Longleftrightarrow a < b $$

Les courbes de \(t \mapsto e^{kt}\) et \(t \mapsto e^{-kt}\)

Pour \(k\) strictement positif, les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées, et passent toutes deux par le point de coordonnées \((0 \ ; \ 1)\).

  1. \(t \mapsto e^{kt}\) : la croissance

    Elle part de valeurs très proches de zéro à gauche, et croît de plus en plus vite. Plus \(k\) est grand, plus la montée est raide.

  2. \(t \mapsto e^{-kt}\) : la décroissance

    Elle décroît en se rapprochant de zéro sans jamais l'atteindre. C'est la forme de toute décroissance dite exponentielle.

Dériver \(t \mapsto e^{at}\)

Dériver une exponentielle dont l'exposant est multiplié par un réel \(a\) fait sortir ce réel en facteur:

$$ \bigl(e^{at}\bigr)' = a \, e^{at} $$

Exemples :

$$ \bigl(e^{3t}\bigr)' = 3 \, e^{3t} \hspace{2em} \hspace{2em} \bigl(e^{-0.5t}\bigr)' = -0.5 \, e^{-0.5t} $$

Le signe de \(a\) donne aussitôt le sens de variation : l'exponentielle étant toujours positive, la dérivée a le signe de \(a\).

Le lien avec les suites géométriques

Prendre les valeurs de \(t \mapsto e^{at}\) aux entiers donne une suite géométrique:

$$ u_n = e^{an} = \left(e^{a}\right)^n $$
$$ u_{n+1} = e^{a} \times u_n $$

C'est une suite géométrique de raison \(q = e^{a}\).

La réciproque est vraie : toute suite géométrique de raison \(q\) strictement positive s'écrit sous forme exponentielle. L'exponentielle est la version continue d'une suite géométrique - l'une avance par sauts d'un rang, l'autre coule sans interruption.

Modéliser une évolution

Une grandeur qui, à chaque unité de temps, est multipliée par un même coefficient suit une évolution exponentielle.

  1. Un capital à taux fixe

    Un capital \(C_0\) placé au taux annuel \(t\) devient, au bout de \(n\) années :

    $$ C_n = C_0 \times (1 + t)^n $$

    Exemple :

    \(2 \ 000 \ \text{€}\) placés à \(3 \ \%\) pendant \(10\) ans :

    $$ C_{10} = 2 \ 000 \times 1.03^{10} $$
    $$ C_{10} \approx 2 \ 688 \ \text{€} $$
  2. Une décroissance radioactive

    La masse d'un échantillon radioactif suit une décroissance exponentielle:

    $$ m(t) = m_0 \, e^{-\lambda t} $$
    $$ \text{avec} \enspace \left \{ \begin{gather*} m_0 : \text{la masse initiale} \\ \lambda : \text{la constante de désintégration, positive} \\ t : \text{le temps écoulé} \end{gather*} \right \} $$

    La demi-vie est la durée au bout de laquelle il ne reste que la moitié de la masse initiale.

Une évolution est exponentielle quand c'est le pourcentage d'évolution qui reste constant, et non la quantité ajoutée. Un capital qui gagne \(60 \ \text{€}\) par an croît linéairement ; un capital qui gagne \(3 \ \%\) par an croît exponentiellement.