Problèmes sur la fonction exponentielle en première

Ces problèmes font tourner la fonction exponentielle sur les situations où elle sert vraiment : une somme qui grossit d'un même pourcentage chaque année, une matière qui se désintègre, un objet qui refroidit. À chaque fois, la question est la même - qu'est-ce qui reste constant, la quantité ajoutée ou le coefficient multiplicateur ?

Modéliser une croissance exponentielle par une suite géométrique, puis par une fonction du temps.
Reconnaître une décroissance exponentielle et en exploiter la demi-vie.
Dériver une fonction du type $t \mapsto k \, e^{at}$ et en déduire un sens de variation.
Distinguer une évolution linéaire d'une évolution exponentielle sur une situation concrète.

Un livret d'épargne

Camille place $3 \ 500 \ \text{€}$ sur un livret rémunéré à $2{,}5 \ \%$ par an. Les intérêts sont ajoutés au capital chaque $1^{\text{er}}$ janvier. On note $C_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années.

Justifier que $(C_n)$ est une suite géométrique, et donner sa raison.

Chaque année, le capital est multiplié par $1 + 0{,}025 = 1{,}025$.

$$ C_{n+1} = 1{,}025 \times C_n $$

C'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}025$ et de premier terme $C_0 = 3 \ 500$.
Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.

$$ C_n = 3 \ 500 \times 1{,}025^{\,n} $$
Calculer le capital au bout de $8$ ans, arrondi à l'euro.

$$ C_8 = 3 \ 500 \times 1{,}025^{8} $$

$$ C_8 \approx 4 \ 264 \ \text{€} $$
Camille pensait gagner $2{,}5 \ \%$ de $3 \ 500 \ \text{€}$ chaque année, soit $87{,}50 \ \text{€}$ par an. Expliquer l'écart avec le résultat précédent.

Son calcul donnerait $3 \ 500 + 8 \times 87{,}50 = 4 \ 200 \ \text{€}$, soit $64 \ \text{€}$ de moins.

L'écart vient de ce que les intérêts eux-mêmes rapportent des intérêts : le pourcentage porte chaque année sur un capital plus grand. C'est ce qui distingue une croissance exponentielle d'une croissance linéaire.

La décroissance d'un traceur médical

Un traceur injecté pour un examen se désintègre selon la loi $m(t) = m_0 \, e^{-0{,}116 \, t}$, où $m(t)$ est la masse restante en milligrammes et $t$ le temps écoulé en heures. La masse initiale vaut $m_0 = 20 \ \text{mg}$.

Calculer la masse restante au bout de $6$ heures, arrondie au dixième.

$$ m(6) = 20 \, e^{-0{,}116 \times 6} = 20 \, e^{-0{,}696} $$

$$ m(6) \approx 10{,}0 \ \text{mg} $$
Que représente cette durée de $6$ heures pour ce traceur ?

Il en reste la moitié : $6$ heures est la demi-vie du traceur.
Calculer $m'(t)$, et en déduire le sens de variation de $m$.

$$ m'(t) = 20 \times (-0{,}116) \, e^{-0{,}116 \, t} $$

$$ m'(t) = -2{,}32 \, e^{-0{,}116 \, t} $$

L'exponentielle étant strictement positive, $m'(t)$ est strictement négative : la masse décroît sur $\bigl[0 \ ; \ +\infty\bigr[$.
Le traceur est considéré comme éliminé sous $1 \ \text{mg}$. Justifier que ce seuil est atteint, sans le calculer exactement.

La masse est divisée par deux toutes les $6$ heures : $20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 2{,}5 \rightarrow 1{,}25 \rightarrow 0{,}625$.

Le seuil est donc franchi entre la $24^{\text{ème}}$ et la $30^{\text{ème}}$ heure.
La masse peut-elle devenir nulle ?

Non : l'exponentielle ne s'annule jamais, donc $m(t) > 0$ pour tout $t$. La masse se rapproche de zéro sans jamais l'atteindre - c'est le propre d'une décroissance exponentielle.

Deux offres de location

Un loueur de matériel propose deux tarifs pour un même engin, où $t$ est le nombre de jours de location :

Offre A :

$$ A(t) = 40t + 200 $$

Offre B :

$$ B(t) = 150 \, e^{0{,}12 \, t} $$

Calculer le prix de chaque offre pour $5$ jours, puis pour $15$ jours. Arrondir à l'euro.

Durée	Offre A	Offre B
$5$ jours	$400 \ \text{€}$	$273 \ \text{€}$
$15$ jours	$800 \ \text{€}$	$907 \ \text{€}$

comparaison des deux offres

Déterminer le sens de variation de chacune des deux fonctions sur $\bigl[0 \ ; \ +\infty\bigr[$.

$A'(t) = 40 > 0$ : $A$ est strictement croissante, à vitesse constante.

$$ B'(t) = 150 \times 0{,}12 \, e^{0{,}12 \, t} = 18 \, e^{0{,}12 \, t} $$

$B'$ est strictement positive : $B$ est strictement croissante, mais de plus en plus vite.
Entre $5$ et $15$ jours, l'offre la plus avantageuse change. Expliquer pourquoi ce changement était prévisible.

L'offre A augmente de $40 \ \text{€}$ par jour, quelle que soit la durée. L'offre B augmente de $12 \ \%$ par jour : son accroissement journalier grandit avec le prix déjà atteint.

Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, quelle que soit la pente de celle-ci. Le seul enjeu est de savoir quand.
Le loueur veut que l'offre B reste la moins chère jusqu'à $20$ jours. Proposer un coefficient à la place de $0{,}12$, et le justifier par un calcul.

Il faut $B(20) \leqslant A(20) = 1 \ 000$, c'est-à-dire $150 \, e^{20k} \leqslant 1 \ 000$.

Avec $k = 0{,}09$ : $150 \, e^{1{,}8} \approx 907 \ \text{€}$, ce qui convient.

$$ B(t) = 150 \, e^{0{,}09 \, t} $$

Toute valeur de $k$ inférieure ou égale à environ $0{,}0949$ convient également.

Durée	Offre A	Offre B
\(5\) jours	\(400 \ \text{€}\)	\(273 \ \text{€}\)
\(15\) jours	\(800 \ \text{€}\)	\(907 \ \text{€}\)