Manipuler et résoudre avec l'exponentielle en première

Les exponentielles se manipulent comme des puissances. Trois gestes reviennent sans cesse : les regrouper , les factoriser , et s'en débarrasser pour résoudre .

Simplifier une expression

On ramène tout à une seule exponentielle , en remontant les dénominateurs par la règle de l'inverse.

$$ \frac{1}{e^x} = e^{-x} $$

Exemple :

$$ A = \frac{e^{2x} \times e^{3}}{e^{x-1}} $$

On additionne les exposants au numérateur, puis on soustrait celui du dénominateur :

$$ A = e^{(2x + 3) - (x - 1)} $$

$$ A = e^{x + 4} $$

Le piège est le signe : le dénominateur passe en haut avec tous ses termes changés de signe , parenthèses comprises.

Factoriser par une exponentielle

Pour étudier un signe, il faut un produit. On met en facteur l'exponentielle de plus petit exposant .

Exemple :

$$ B = e^{2x} - 3e^{x} $$

Le plus petit exposant est $x$, donc on factorise par $e^{x}$ :

$$ B = e^{x} \times e^{x} - 3 e^{x} $$

$$ B = e^{x}\left(e^{x} - 3\right) $$

L'intérêt est immédiat : $e^{x}$ étant toujours strictement positif , le signe de $B$ est celui de $\left(e^{x} - 3\right)$ seul.

Résoudre une équation

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants le sont .

$$ e^{u} = e^{v} \Longleftrightarrow u = v $$

Exemple :

$$ e^{3x - 1} = e^{x + 5} $$

On égalise les exposants, et l'équation redevient du premier degré :

$$ 3x - 1 = x + 5 $$

$$ 2x = 6 $$

$$ x = 3 $$

Quand un membre n'est pas une exponentielle

Une équation du type $e^{u} = k$ n'a de solution que si $k$ est strictement positif , puisqu'une exponentielle ne prend jamais de valeur négative ni nulle.

$$ e^{2x} + 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{2x} = -1 $$

Cette équation n'a aucune solution : le réflexe est de vérifier le signe du second membre avant tout calcul.

Résoudre une inéquation

La croissance stricte conserve l'ordre : le sens de l'inégalité ne change pas .

$$ e^{u} < e^{v} \Longleftrightarrow u < v $$

Exemple :

$$ e^{-2x} \geqslant e^{x - 6} $$

$$ -2x \geqslant x - 6 $$

$$ -3x \geqslant -6 $$

On divise par $-3$, qui est négatif : l'inégalité change alors de sens .

$$ x \leqslant 2 $$

Le changement de sens vient de la division par un nombre négatif, jamais de l'exponentielle , qui elle conserve l'ordre.

Dériver

Une exponentielle dont l'exposant est affine se dérive en sortant le coefficient de $t$.

$$ \bigl(e^{at + b}\bigr)' = a \, e^{at + b} $$

Exemple :

$$ f(t) = 5 e^{-0{,}2t} $$

$$ f'(t) = -1 \, e^{-0{,}2t} $$

L'exponentielle étant toujours positive, le signe de la dérivée est celui du coefficient sorti : ici négatif, donc $f$ décroît.