Manipuler et résoudre avec l'exponentielle en première

Les exponentielles se manipulent comme des puissances. Trois gestes reviennent sans cesse : les regrouper, les factoriser, et s'en débarrasser pour résoudre.

Simplifier une expression

On ramène tout à une seule exponentielle, en remontant les dénominateurs par la règle de l'inverse.

$$ \frac{1}{e^x} = e^{-x} $$

Exemple :

$$ A = \frac{e^{2x} \times e^{3}}{e^{x-1}} $$

On additionne les exposants au numérateur, puis on soustrait celui du dénominateur :

$$ A = e^{(2x + 3) - (x - 1)} $$

$$ A = e^{x + 4} $$

Le piège est le signe : le dénominateur passe en haut avec tous ses termes changés de signe, parenthèses comprises.

Factoriser par une exponentielle

Pour étudier un signe, il faut un produit. On met en facteur l'exponentielle de plus petit exposant.

Exemple :

$$ B = e^{2x} - 3e^{x} $$

Le plus petit exposant est $x$, donc on factorise par $e^{x}$ :

$$ B = e^{x} \times e^{x} - 3 e^{x} $$

$$ B = e^{x}\left(e^{x} - 3\right) $$

L'intérêt est immédiat : $e^{x}$ étant toujours strictement positif, le signe de $B$ est celui de $\left(e^{x} - 3\right)$ seul.

Résoudre une équation

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants le sont.

$$ e^{u} = e^{v} \Longleftrightarrow u = v $$

Exemple :

$$ e^{3x - 1} = e^{x + 5} $$

On égalise les exposants, et l'équation redevient du premier degré :

$$ 3x - 1 = x + 5 $$

$$ 2x = 6 $$

$$ x = 3 $$

Quand un membre n'est pas une exponentielle

Une équation du type $e^{u} = k$ n'a de solution que si $k$ est strictement positif, puisqu'une exponentielle ne prend jamais de valeur négative ni nulle.

$$ e^{2x} + 1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{2x} = -1 $$

Cette équation n'a aucune solution : le réflexe est de vérifier le signe du second membre avant tout calcul.

Résoudre une inéquation

La croissance stricte conserve l'ordre : le sens de l'inégalité ne change pas.

$$ e^{u} < e^{v} \Longleftrightarrow u < v $$

Exemple :

$$ e^{-2x} \geqslant e^{x - 6} $$

$$ -2x \geqslant x - 6 $$

$$ -3x \geqslant -6 $$

On divise par $-3$, qui est négatif : l'inégalité change alors de sens.

$$ x \leqslant 2 $$

Le changement de sens vient de la division par un nombre négatif, jamais de l'exponentielle, qui elle conserve l'ordre.

Dériver

Une exponentielle dont l'exposant est affine se dérive en sortant le coefficient de $t$.

$$ \bigl(e^{at + b}\bigr)' = a \, e^{at + b} $$

Exemple :

$$ f(t) = 5 e^{-0.2t} $$

$$ f'(t) = -1 \, e^{-0.2t} $$

L'exponentielle étant toujours positive, le signe de la dérivée est celui du coefficient sorti : ici négatif, donc $f$ décroît.